北师大版八年级数学下册4.3 公式法课件（第1课时 26张）

4.3 公式法
（第1课时）
北师大版 八年级 数学 下册
导入新知
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
平方差公式：
1. 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用.
2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
素养目标
探究新知
知识点 1
用平方差公式因式分解
计算下列各式：
????+?????????????= ;
????????+?????????????????= ;
????????+?????????????????????????= .
?
?????????????????
?
?????????????????????
?
?????????????????????????
?
思考：观察这些式子有什么共同特征？
结果都是二项式，其中每一项都是某数或式的平方，且两项符号相反（一正一负）.
对下列各式进行因式分解：
探究新知
?????????????????= ;
?????????????????????= ;
?????????????????????????= .
?
????+?????????????
?
????????+?????????????????
?
????????+?????????????????????????
?
思考：观察这些式子有什么共同特征？
左边：是????,????两数的平方差的形式：
?
□－△
2
2
右边：是????,????两数之和与两数之差的积：
?
（□－△）（□+△）
探究新知
结论
文字语言：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这个公式就是平方差公式.
???????????=?(????+????)?(?????????)
?
平方差公式：
探究新知
?????????????????=?(????+????)(?????????)
?
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
平方差公式的特点
两数的和与差的积
两个数的平方差；只有两项
形象地表示为：
①左边
②右边
相同项
相反项
探究新知
??????????????????=???(????+????)·(?????????)
?
整式乘法
因式分解
下列多项式可以用平方差公式因式分解吗？
(1)?????????????????????;
(2)????????????+????????;
(3)?????????????+????????;
(4)??????????????????????
?
√
×
√
×
注意：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
探究新知
做一做:
探究新知
解：?(1)?????????????????????????=?????????(????????)????=(????+????????)(?????????????)
?
把下列各式因式分解：
例1
(1)?????????????????????????; (2)?????????????????????????????.
?
(2) ?????????????????????????????=(????????)?????(????????????)????=(????????+????????????)(?????????????????????)
?
????????????????=??(????+????)??(?????????)
?
用平方差公式因式分解
素养考点 1
把下列各式因式分解：
巩固练习
变式训练
解：?(1)?????????????????????????
=?????????????????????
=????????+?????????????????；
?
(1)?????????????????????????; (2)?????????????????+????????????????? .?
?
(2) ?????????????????+????????????????
=?????????????????????????????????
=?????????????????????????
=(????????+????????)(?????????????????) .
?
探究新知
素养考点 2
整体思想：整体用平方差公式
把下列各式因式分解：
例2
(1)????(????+????)?????(?????????)????
?
解：?(1)????(????+????)?????(?????????)????
=????(????+????)?????(?????????)????
=????????+????+(?????????)????????+?????(?????????)
=(????????+????????+?????????)(????????+?????????????+????)
=(????????+????????)(????????+????????)
=????(????????+????)(????+????????)
?
多项式
分解要彻底
探究新知
注意1：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
探究新知
(2)?????????????????????.
?
解：?(2)?????????????????????
=????????(?????????????)
=????????(?????????????????)
=????????(????+????)(?????????)
?
当多项式的各项含有公因式时，先提出公因式.
注意2：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
分解因式：
巩固练习
变式训练
(1)??????????????????; (2)?????????????????????.
?
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
分解因式：
巩固练习
变式训练
(????????+????)?????(?????????????)????
?
解：(????????+????)?????(?????????????)????
=????????+????+?????????????????????+?????????+????????
=?????????????????+????????.
?
探究新知
素养考点 3
化简求值
例3 已知????????－????????＝－????，????＋????＝????，求?????????，????，????的值．
?
∴????－????＝－????②.
?
解：∵????????－????????＝(????＋????)(????－????)＝－????，
?
????＋????＝????①，
?
联立①②组成二元一次方程组，
解得
????＝-12
?
????＝32
?
注意3：在与????????－????????，????±????有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
?
探究新知
巩固练习
变式训练
计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4 ×(53.52－46.52)
＝ 4 ×(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
（2020?河北）若(?????????????)(?????????????????)????=????×????????×????????，
则????= .
?
连接中考
????????
?
解析：方程两边都乘以????，
得??????????????????????????????=????×????????×????????????，
∴????+?????????????????????+?????????????????=????×????????×????????????，
∴ ????????×????????????=????×????????×????????????，∴????=????????，
经检验， ????=????????是原方程的解，故????=????????.
?
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．????????＋(?????)????? B．????????????－????????????????
C．－????????－???????? D．－????????＋????
?
D
课堂检测
2.分解因式(????????+????)??????????2的结果是（　　）
A．3(????????+????????+????) B．????(????????+????????+????)
C．(????????+????)(????+????)??????????D．????(????+????)(????+????)?
?
D
基础巩固题
3.若????+????=????，?????????=????，则?????????????????的值为（　　）
?
A．-21 B．21 C．-10 D．10
A
4.若将(????????)?????????????分解成(????????????+????)(????????+????)(?????????????)，则n的值是_____.
?
4
课堂检测
基础巩固题
5.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82－4×1.62
＝6.82－ (2×1.6)2
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
基础巩固题
已知????????=????????+????， ????????=????????+????，????≠????，则
????????+????????????+????????的值为 .
?
16
解析：将????????=????????+????， ????????=????????+????相减，
得?????????????????=?????????????????，
∴????+?????????????=?????(?????????)，
∴ ?????????????+????+????=????，
∵ ????≠????，∴ ????+????+????=????，即????+????=?????，
∴ ????????+????????????+????????=(????+????)????=????????.
?
课堂检测
能力提升题
一天,小明在纸上写了一个算式为4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”
课堂检测
解：
4x2+8x+11
=4(x2+2x)+11
=4(x2+2x+1-1)+11
=4(x+1)2-4+11
=4(x+1)2+7
∵4(x+1)2≥0，
即4x2+8x+11>0，所以小刚说得对.
∴4(x+1)2+7>0
拓广探索题
公 式 法
分 解 因 式
（平方差公式）
公 式
?????????????????=(????+????)(?????????)
?
课堂小结
一找 二套 三彻底
平方差公式因式分解的步骤