北师大版八年级数学下册4.3 公式法课件（第2课时 29张）

4.3 公式法
（第2课时）
北师大版 八年级 数学 下册
导入新知
做一做：你能把右面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a?
b?
ab
思考：这个大正方形的面积可以怎么求？
a
b
a
b
a?
ab
ab
b?
(????+????)????=????????+????????????+????????
?
将上面的等式倒过来看，能得到：
????????+????????????+????????=(????+????)????
?
完全平方公式
导入新知
1. 理解并掌握用完全平方公式分解因式.
2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算.
素养目标
判断下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？
如果是，运用了哪种方法？
(1)(a?3)(a+3)=a2?9;
(2)x2+x=x(x+1);
(3)4x2?9=(2x+3)(2x?3);
(4)?x2+4x+4=(x+2)2.
?
探究新知
知识点 1
完全平方公式与完全平方式
不是，是整式乘法
是，运用提公因式法
是，运用平方差公式
是
完全平方公式
探究新知
整式乘法
因式分解
a2±2ab+b2??= (a±b)2
?
完全平方公式与因式分解关系：
形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式.
?
完全平方式：
探究新知
完全平方式的特点：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
观察这两个式子：
a2+2ab+b2，a2?2ab+b2
?
结论
完全平方式的特点：
1. 三项式（或可以看成三项的）；
2. 有两项为数或式的平方和；
3. 有一项为两数或式乘积的2倍，与符号无关.
探究新知
简记口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
探究新知
探究新知
完全平方式
素养考点 1
例 下列各式是不是完全平方式？
（1）????????－????????+????；
（2）????+?????????;
（3）????????????+?????????????；
（4）????????+????????+????????;
（5）????????+????+????.????????.
?
不是，它只有两项；
不是，?????????与?????的符号不统一;
?
不是，因为????????不是????与????的积的2倍;
?
是;
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2）????+?????????;
（3）????????????+?????????????；
（4）????????+????????+????????.
?
????+?????????+????????；
?
????????????+????????+????；
?
????????+????????????+????????.
?
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
（3）a?+4ab+4b?=( )?+2· ( ) ·( )+( )?=( )?
（2）m?-6m+9=( )? - 2· ( ) ·( )+( )? =( )?
（1）x?+4x+4= ( )? +2·( )·( )+( )? =( )?
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a?±2ab+b?=(a±b)?，填空：
?
m
m - 3
3
x
2
m
3
以上等式即为利用完全平方公式得到的因式分解.
探究新知
素养考点 2
用完全平方公式因式分解
把下列完全平方式因式分解：
(1) ????????+????????????+????????； (2) ????+?????????????????+????+????.
?
例
解：?(1)????????+????????????+????????
=????????+??????????????+????????
=(????+????)????
?
?(2)????+?????????????????+????+????
=[????+?????????)]????
=(????+?????????)????
?
找到两个数或式是关键
分解因式：
（1）????????????????+????????????+????； （2）?????????+?????????????????????????.
?
巩固练习
变式训练
解： (1)????????????????+????????????+????
?
?=(????????+????)????；
?
=????????????+????·????????·????+(????)????
?
??(2)?????????+???????????????????????????
?
???=?(?????????????????????+????????????)
?
???=?(?????????????)????.
?
把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99?；
(2)342＋34×32＋162.
巩固练习
变式训练
解：(1)原式=(100－99)?
(2)原式=(34＋16)2
=1.
=2500.
探究新知
知识点 3
公式法
公式法分解因式
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用
乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的
方法叫做公式法.
完全平方公式
平方差公式
公式法
分解因式
提公因式法
一
先提公因式（有公因式）
二
平方差公式（剩余两项）
三
完全平方公式（剩余三项）
四
结果必须到不能分解为止
有一些可以用整体的思想看成两项或三项
因式分解的方法与步骤
探究新知
把下列各式因式分解：
（1）????????????????+????????????????+????????????????；（2）??????????????????????+????????????.
?
(1)????????????????+????????????????+????????????????
=????????????????+????????????+????????
=????????(????+????)????；
?
解：
(2)??????????????????????+????????????
=?????????+?????????????????????????
=????????????????????????????+????????????
=?（?????????????）????.
?
探究新知
素养考点 3
因式分解的综合运用
例1
因式分解：(1)－????????????????????＋????????????????????－????????????????；
(2)(????????＋????)????－????????????????.
?
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
巩固练习
变式训练
探究新知
例4 先分解因式，再计算求值:
已知?????????=????,????????=????，求?????????????????????????????????+????????????的值.
?
解： ?????????????????????????????????+????????????
=?????????????????????????????+????????
=????????(?????????)????
∵ ?????????=????,????????=????，
∴原式=2.
?
已知????????－????????＋????????－????????????＋????????＝????，求????????????????＋????????????＋????的值．
?
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(????－????)????＋(????－????)????＝????.
?
∵(????－????)????≥????，(????－????)????≥????，
?
∴????－????＝????，????－????＝????，
?
∴????＝????，????＝????，
?
∴????????????????＋????????????＋????＝(????????＋????)????
?
变式训练
巩固练习
（2020?眉山）已知????????+????????????????=??????????????????，则?????????????????????的值为 .
?
连接中考
4
?
解析：由????????+????????????????=??????????????????，
得????????+?????????????????????????+????+????=????，
即?????????????????+????+????????????????+????+????=????，
∴(?????????)????+(????????????+????)????=????，可得????=????， ????=?????，
∴ ?????????????????????=????.
?
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．????????＋???? B．????????－????????＋????
C．????????＋???????? D．????????－????????
?
B
2.下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A. ????????+????????+???????? B. ????????+?????????????????????
C. ?????????????????+???????????? D. ?????????????+????????+????????
?
D
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
B
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
基础巩固题
5.利用因式分解计算????????????????????????+????????????+????= ________.
?
1100
?
课堂检测
基础巩固题
6.因式分解:
????(?????????)????+?????????????????????+????+????????+????????= .
?
5x?y????
?
因式分解：?????????????????????????????+?????????????????????.
?
解：分组分解法（方法不唯一）：
?????????????????????????????+??????????????????????
=??????????????????????????????????????+????????????
=(?????????????????????????????)?(?????????????????????)
=????????(?????????????)?????(?????????????)
=(?????????????)(?????????????)
?
课堂检测
能力提升题
已知?????????=????,????????=?????????，
（1）求?????????????????????????的值；（2）求????????+????????的值；
?
解：(1) ∵?????????=????, ????????=?????????，
∴ ?????????????????????????=?????????????????=??????????????=?????????；
(2) ∵?????????=????, ????????=?????????，
∴ (?????????)????=????????，
∴ ?????????????????????+????????=????????， ∴ ????????+????????=????????；
?
课堂检测
拓广探索题
已知?????????=????,????????=?????????，
（3）求????+????的值.
?
解：(3) ∵????????+????????=????????,
∴(????+????)????=????????+????????????=?????????????????=????，
∴ ????+????=±????.
?
课堂检测
公 式 法
分 解 因 式
（完全平方公式）
公 式
a2±2ab+b2=(a±b)2
?
课堂小结
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
特 点