北师大版八年级数学下册5.4 分式方程课件（第2课时 34张）

5.4 分式方程
（第2课时）
北师大版 八年级 数学 下册
1.还记得什么是方程的解吗？
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.还记得求解一元一次方程的基本步骤吗？
二元一次方程组
转化
一元一次方程
3.二元一次方程组呢？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
加减消元法、代入消元法
导入新知
4. 解一元一次方程
解：3x-2（x+1）=6
3x-2x=6+2
x=8.
导入新知
1. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.
2. 理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.
素养目标
分式方程
转化
整式方程
思考：你能设法求出上一节课列出的分式方程
的解吗？
探究新知
知识点
分式方程的解法
（1）分析：
探究新知
方程可化为
两边都乘 ，得
化简，得


解得
解：
先约分，再去分母,可以使计算简便
（2）计算：
探究新知
2 .你能试着解这个分式方程吗？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
“去分母”
探究新知
方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x).
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，
因此x=6是原分式方程的解.
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
x=6是原分式方程的解吗？
探究新知
将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
解分式方程的基本思路
结论
探究新知
3.下面我们再讨论一个分式方程：
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
探究新知
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.
探究新知
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却
不是原分式方程的解呢？
探究新知
结论：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程:
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
探究新知
结论：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
我们称它为原方程的增根.
探究新知
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验------必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
结论
探究新知
方法总结
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
探究新知
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
“去分母法”解分式方程的步骤
结论
探究新知
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x =a
检验
x =a是分式
方程的解
x =a不是分式
方程的解
x =a
最简公分母是
否为零？
否
是
探究新知
5.解分式方程容易犯的错误主要有：
（1）去分母时，原方程的整式部分漏乘．
（2）约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．
（3）增根不舍掉.
（4）符号问题.
探究新知
解方程 (1) (2)
检验：将x=3代入原方程，得
左边=1，右边=1，左边=右边.
所以，x=3是原方程的根.
（2）方程两边都乘 ,
得
解这个方程，得 x=2.
检验：当 x=2时，x-2=0,
x=2是原方程的增根，
所以，原方程无解.
解：（1）方程两边都乘 , 得 x=3
解这个方程 ，得 x=3.
分式方程的解法
素养考点 1
探究新知
解：
例1
(1)把未知数的值代入原方程(一般方法);
(2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
检验
方法
分式方程
整式方程
x=a
a 是分式方程的根
a 不是分式方程的根
（a是分式方程的增根）
目标
去分母
解整式方程
最简公分母为0
最简公分母不为0
这里的检验要以解整式方程正确为前提
注意：
探究新知
解方程：
方程两边都乘2x，得


960-600=90x.
解这个方程,得 x=4.
经检验，x＝4是原方程的根.
解：
例2
探究新知
解分式方程 ，去分母得(　　 )
A． B．
C． D．
A
巩固练习
变式训练
下列关于分式方程增根的说法正确的是(　 　)
A．使所有的分母的值都为零的解是增根
B．分式方程的解为0就是增根
C．使最简公分母的值为0的解是增根
D．使分子的值为0的解就是增根
C
巩固练习
变式训练
当m=______时,解分式方程 会出现增根.?
　2　
已知分式方程根的情况求待定字母
素养考点 2
探究新知
例3
解析：方程两边都乘(x-3)，得 x-5=-m，
解这个方程，得 x=5-m，
若x是方程的增根，则有x=3，即5-m=3，解得m=2.
方法总结
分式方程的增根
1.确定分式方程增根的方法:使得分式方程的分母为零的未知数的值.
2.产生增根的原因:在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式.
3.分式方程无解的两种情况:
(1)由分式方程转化得到的整式方程的解,使得最简公分母为零,此时分式方程有增根.
(2)由分式方程转化的整式方程无解,此时分式方程也无解.
探究新知
若关于x的分式方程 无解，求m的值．
分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
巩固练习
变式训练
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
巩固练习
连接中考
（2020·海南）分式方程 的解是 (　 )
A. x=-1　　 B. x=1
C. x=5　　 D. x=2
C
1.关于x的方程 的解为x=1,则a=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1 B. 3 C. -1 D. -3
D
2.关于x的分式方程 +5= 有增根,则m的值为 (　 　)
A.5 B.4 C.3 D.1
B
课堂检测
基础巩固题
3.若关于x的分式方程 =2的解为非负数,则m的取值范围是________________.
　m≥-1且m≠1　
4. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A. 2（x-8)+5x=16(x-7) B. 2(x-8)+5x=8
C. 2(x-8)-5x=16(x-7) D. 2(x-8)-5x=8
A
课堂检测
基础巩固题
5.解方程：
方程两边都乘x(x－1)，
得 3x＝4(x－1)．
解这个方程，得x＝4.
检验：将x＝4代入原方程，得左边＝1＝右边．
所以，x＝4是原方程的根．
解：
方程两边都乘2x－3，
得x－5＝4(2x－3)．
解这个方程，得x＝1.
检验：将x＝1代入原方程，
得左边＝4＝右边．
所以，x＝1是原方程的根．
课堂检测
解：
基础巩固题
(3)
方程两边都乘 (x+1)(x-1)，
得 2(x-1)+3(x+1)＝6．
解这个方程，得x＝1.
检验：当x＝1时， (x+1)(x-1)=0，
所以，x＝1是原方程的増根，
所以，原方程无解.
解：
课堂检测
1.关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是____________．
解析：去分母得,2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵关于x的方程 的解是正数，∴x＞0且x≠1.∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2.∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
a＜－1且a≠－2
课堂检测
能力提升题
2.若关于x的方程 有增根，求m的值.
解：方程两边同乘以x-2，得
2-x+m=2x-4,
合并同类项,得3x=6+m,
∴m=3x-6.
∵该分式方程有增根，
∴x=2，∴m=0.
课堂检测
能力提升题
若关于x的分式方程 =m-3无解,求m的值.
解:分式方程去分母得:m(x+1)-5=(m-3)(2x+1),
整理得:mx+m-5=(2m-6)x+m-3,即(m-6)x=-2,
当m-6=0,即m=6时,方程无解;
由分式方程有增根,得到2x+1=0,即x=- ,
把x=- 代入整式方程得:m=10,
综上,m的值为6或10.
课堂检测
拓广探索题
分式
方程的解法
容易犯的错误
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
步骤
（去分母法）
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)忘记检验
课堂小结