北师大版八年级数学下册6.1 平行四边形的性质课件（第2课时 34张）

北师大版 八年级 数学 下册
6.1 平行四边形的性质
（第2课时）
思考：同学们,老人这样分地合理吗？
导入新知
1. 探索并掌握平行四边形对角线性质.
2. 灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.
素养目标
思考：我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢?
如图，在平行四边形ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.
OA与OC,OB与OD有什么关系?
猜一猜：
OA=OC,OB=OD
这个结论正确吗？
探究新知
知识点
平行四边形的对角线的性质
A
B
C
D
O
拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确?
这个方法准确吗？
量一量：
A
B
C
D
O
探究新知
验一验：
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
探究新知
已知：如图： ?ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证一证：
探究新知
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
应用格式：
A
C
D
B
O
结论
探究新知
∵ ? ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD.
（1）△ABO≌ △CDO，
△AOD ≌ △COB，
△ ABD ≌ △CDB，
△ ABC ≌ △CDA ；
（2）△ABO, △AOD, △DOC, △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
5.重要结论：
A
C
D
B
O
探究新知
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ DO=BO，AD∥BC.
∴ ∠ODE=∠OBF.
∴ △DOE≌△BOF（ASA）.
∴ OE=OF.
∵ ∠DOE=∠BOF，
如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E,F，
求证：OE=OF.
例1
平行四边形的对角线互相平分
素养考点 1
探究新知
方法总结
平行四边形对角线的性质
平行四边形的两条对角线交于一点,这个点是平行四边形的中心,也是两条对角线的中点,平行四边形被对角线分成的四部分的面积相等,并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形.
探究新知
议一议：
在上述问题中，若直线EF与边DA,BC的延长线交于点E,F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
(1)
(2)
●
●
●
●
探究新知
●
O
D
C
B
A
E
F
(4)
议一议：在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下图（3）的位置时，上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
(1)
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
(3)
(4)
●
●
●
●
探究新知
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等，且这条直线二等分平行四边形的面积．
归纳总结
探究新知
结论
已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别与AD,BC相交于点E,F,求证:AE=CF.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，?
∴AD∥BC,OA=OC,∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中,
∴ △OAE≌ △OCF.?
∴AE=CF.
巩固练习
变式训练
已知平行四边形一边是10 cm,两条对角线长分别是x cm,y cm,则x,y的取值可能是 (　 　)
A.8,12　　 B.4,24　
C.8,18　　 D.6,14
C
巩固练习
变式训练
例2 如图,在?ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE.
(1)求证:△ABF≌△EDA.
(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE,
求证:BF⊥BC.
综合应用平行四边形的性质
素养考点 2
探究新知
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,
∵BC=BF,CD=DE,∴BF=AD,AB=DE,
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°, ∠EDC=∠CBF,
∴∠ADE=∠ABF,
∴△ABF≌△EDA.
探究新知
(2)延长FB交AD于H.
∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°.
∵△ABF≌△EDA,∴∠EAD=∠AFB.
∵∠EAD+∠FAH=90°,∴∠FAH+∠AFB=90°,
∴∠AHF=90°,即FB⊥AD.
∵AD∥BC,∴FB⊥BC.
探究新知
方法总结
平行四边形性质的应用
探究新知
如图,在?ABCD中,全等三角形的对数共有 (　 　)
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
巩固练习
变式训练
如图,在?ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连接BE,下列结论错误的是(　 　)
D
A.BO=OH B.DF=CE
C.DH=CG D.AB=AE
巩固练习
变式训练
例3 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长.
解：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=5.
∵AB⊥AC,
∴△ABC是直角三角形.
AO= AC=2.
∴BD=2BO=
探究新知
∴
∴
A
O
D
C
B
如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD相交于点O，过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F，已知平行四边形 ABCD 的面积是12cm2,则图中阴影部分的面积是 .。
6 cm2
巩固练习
变式训练
连接中考
（2020·益阳）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC=6，BD=8，则AB的长可能是 (　 )
A.10　　 B.8
C.7　　 D.6
D
1. 平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（　　 ）
A.不稳定性
B.对角线互相平分
C.内角的为360度
D.外角和为360度
B
课堂检测
基础巩固题
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,点D在BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE的最小值是______.?
　5　
课堂检测
基础巩固题
3.如图,?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE,若?ABCD的周长为28,则△ABE的周长为(　 　)
D
A.28 B.24 C.21 D.14
课堂检测
基础巩固题
4.如图,?ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为点E,AB= ,AC=2,BD=4,则AE=______.
课堂检测
基础巩固题
5.如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:BE=DF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OD=OB.
∵AF=CE,∴OE=OF.
在△BEO和△DFO中,
∴△BEO≌△DFO.
∴BE=DF.
课堂检测
基础巩固题
1.如图,在?ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,求∠FED′的大小.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B=52°,
由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°,
∠EAD′=∠DAE=20°,
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,
∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°,
∴∠FED′=108°-72°=36°.
课堂检测
能力提升题
2.如图,在?ABCD中,E为边AD上的一点,将△DEC沿CE折叠至△D′EC处,若∠B=48°,∠ECD=25°,求∠D′EA的度数.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=48°,
由翻折变换的性质得:∠D′=∠D=48°,
∠D′EC=∠DEC=180°-∠D-∠ECD=107°,
∴∠AEC=180°-∠DEC=73°,
∴∠D′EA=∠D′EC-∠AEC=34°.
课堂检测
能力提升题
平行四边形ABCD的周长为56 cm,对角线AC,BD交于点O,△ABO与△BCO的周长相差4 cm,则AD=　　　　cm.?
课堂检测
拓广探索题
解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO,AB=DC,AD=BC.
又∵?ABCD的周长为56 cm，∴AB+BC=28 cm.
∵△ABO与△BCO的周长相差4 cm,
∴AB-BC=4 cm,或BC-AB=4 cm.
∴AB=16 cm，BC=12 cm,或AB=12 cm，BC=16 cm.
∴AD=BC=12 cm或16 cm.
12或16
平行四边形
对角线互相平分
对角线的性质
课堂小结