北师大版八年级数学下册6.3 三角形的中位线课件（40张）

6.3 三角形的中位线
北师大版 八年级 数学 下册
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个小朋友，要求两人所分的大小相同，请设计合理的解决方案；若平均分给四个小朋友，要求他们所分的大小都相同，请设计合理的解决方案；
想一想：
导入新知
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案.
想一想：
导入新知
已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下, 通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗?
C
M
B
A
N
想一想：
导入新知
1. 理解三角形中位线的概念，探索三角形中位线定理.
素养目标
2. 能够利用平行四边形的性质和判定证明三角形的中位线定理.
3. 能够利用中位线定理解决相关问题．
思考：
（1）你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?
（2）连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?
四个全等的三角形
探究新知
知识点 1
三角形的中位线及其性质
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
两层含义:
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D,E分别为AB,AC的 .
① 如果D,E分别为AB,AC的中点,那么DE为△ABC的 ；
中位线
中点
结论
探究新知
A
B
C
（1）画出△ABC中所有的中位线.
（2）画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别.
D
E
F
探究新知
做一做
思考：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF.
A
D
E
F
C
B
探究新知
猜测：三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？
A
D
E
F
C
B
DE和边BC的关系
数量关系：
位置关系：
平行
DE是BC的一半
能说出理由吗?
探究新知
测量：
(1)∠ADE, ∠ABC度数;
(2) DE,BC 长度.
测量法验证：
探究新知
B
E
D
C
A
已知：如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线.
求证：
DE∥BC,
DE= BC.
E
A
B
C
D
F
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.
∵ AE=CE, ∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴AD=CF,∠A=∠ECF.
∴CF∥AB.
∵AD=BD,
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴BD=CF.
证明法验证：
探究新知
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC,
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
D
A
B
C
E
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC,
结论
探究新知
【定理的理解】
(1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.
(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
探究新知
A
B
C
D
E
中点
中点
（1）三角形中位线定理.
A
B
C
D
中点
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
300
（3）直角三角形300角所对的直角边等于斜边的一半.
CD = AB
DE = BC
BC = AB
证明线段倍分关系的方法常有三种：
探究新知
例 如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分△ABC的周长,则DE的长是_____.?
三角形中位线定理
素养考点 1
探究新知
证明:延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于点N.
∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB.
又AD=DB，∴DE= AM，DE∥AM.
∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°.
∵ CM=CA，∴ ∠ACN=60°，AN=MN.
∴
∴ ∴
探究新知
方法总结
与中位线定理有关的辅助线作法
(1)如果有中线可将中线延长一倍.
(2)如果有线段倍分问题时可考虑作中位线.
(3)如果有中点,可在同一三角形一边上取中点,作中位线,或构造一个三角形,使图形中的线段为所构造三角形的中位线.
探究新知
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD的中点,若BC=2,则EF的长度为 (　 　)
A. B. 1
C. D.
B
巩固练习
变式训练
已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
探究新知
中点多边形
知识点 2
思考:
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
∴EF∥AC, ,
HG∥AC, .
探究新知
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.
顺次连接矩形各边中点的线段组成一个
菱形.
结论
探究新知
猜测:
菱形
（1）?顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是什么？
（2）顺次连结菱形各边中点所得的四边形是什么？
（3）顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么？
平行四边形
矩形
正方形
做一做:
探究新知
（4）顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么？
（5）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是什么？
平行四边形
菱形
探究新知
顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于什么呢？
平行四边形
正方形
平行四边形
菱形
矩形
菱形
思考:
探究新知
（6）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是什么？
（8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？
（7）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？
菱形
矩形
正方形
探究新知
原四边形两条对角线
连接四边中点所得四边形
互相垂直
矩形
相等
菱形
互相垂直且相等
正方形
既不互相垂直也不相等
平行四边形
实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关.
探究新知
总结:
例 如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H
分别是OA,OB,OC,OD的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
中点多边形
素养考点 2
探究新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥ CD,AB= CD.
∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,
∴EF∥ AB,EF= AB,?
GH∥ CD,GH= CD.
∴EF∥ GH,EF= GH,?
∴四边形EFGH是平行四边形.
方法总结
关于中点多边形的几个结论
1.中点多边形与原多边形形状_______________.?
2.中点多边形的各边与原多边形各边_________,且等于原多边形各边的_________.?
3.中点多边形的周长等于原多边形周长的_________,面积等于原多边形面积的______.?
　不一定相同　
　平行　
　一半　
　一半　
探究新知
如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为(　 　)
A.一定不是平行四边形
B.可能是轴对称图形
C.一定不是中心对称图形
D.以上说法都不对
B
巩固练习
变式训练
连接中考
（2020·赤峰）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是 (　 )
A.2　　 B.3
C.4　　 D.5
B
1.如图,点D,E分别是△ABC边BA,BC的中点,AC=3,则DE的长为 (　 　)
A.2　 B. 　
C.3　 D.
D
课堂检测
基础巩固题
2.如果三角形的两边分别为4和6,那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是 (　 　)
A.6 B.8
C.10 D.12
B
课堂检测
基础巩固题
3.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是_______.?
　11　
课堂检测
基础巩固题
4.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点,且AE+EO=4,则平行四边形ABCD的周长为(　 　)
A.20　　 B. 16　　　
C. 12　 　 　 D.8
B
课堂检测
基础巩固题
5.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F,G分别为AD,BD,BC的中点.若∠FEG=25°,∠ABD=20°,则∠BDC的度数为_________.?
　70°　
课堂检测
基础巩固题
1.如图所示，已知点E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
求证：AB=2OF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD=BC．
∵CE=CD，∴AB＝CE，
∴四边形ABEC为平行四边形．
∴BF=FC，∴OF＝ AB，即AB=2OF．
课堂检测
能力提升题
2.已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．
求证：AE,DF互相平分．
证明：连结DE,EF．
∵ AD＝DB，BE＝EC，∴ DE∥AC.
同理EF∥AB．
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴ AE,DF互相平分．
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,D为AC的中点,E为BC的中点,则DE的长为　　　　.?
课堂检测
解析:①当AC,BC为直角边时,根据勾股定理得:
AB= =13,
又∵D为AC的中点,E为BC的中点,∴DE= AB= .
②当BC为斜边,AC为直角边时,根据勾股定理得:
AB= ,
又∵D为AC的中点,E为BC的中点,∴DE= AB= .
答案: 或 .
拓广探索题
三角形中位线
定 义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
课堂小结