（九年级数学）锐角三角函数（五）——应用举例（2）
第 周 星期 班别_______ 姓名_________ 学号_____
学习目标：
1.认识坡度、坡角的概念。
2.会解与梯形有关的实际问题。
新课学习
1、小知识：
（1）如图19.4.5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=. 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
（2）坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝=tan a
显然，坡度越大，坡角a就越 ，坡面就越 .
2、试一试
（1）如图，已知Rt△DCF中，DC=4，CF=2，则
斜坡CD的坡度i= .
（2）如图，斜坡AB的坡度i=1：2.5，水平宽度AC=20，
求：∠A和BC
解：
3、例题学习：
（1）某人沿坡角为30°的斜坡前进1000米，那么他在水平方向前进了多少米？在垂直方向升高了几米？我们说这个斜坡的坡度i是多少？
解：依题意得：在Rt△ABC中,AB=_______, ∠A=_____
答：他在水平方向前进______米;在垂直方向升高了_____米;这个斜坡的坡度i是______
（2）一个小球由地面沿着i=1: 的坡面向上前进了10米，此时，小球距离地面的高度是多少？
解：
课堂练习
1、如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．
由题意可知：
DE＝CF＝ ， CD＝EF＝ ．
答： 路基下底的宽约为_________米．
2、如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角a和坝底宽AD．
（i＝CE∶ED，单位米，结果保留根号）
解：
答：坡角a为 ，坝底宽为 米
3、水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度
i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求：
（1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0.1米）
（2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°）
解：作BEAD,CFAD,垂足分别为E、F
4、 如图,一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,根据图示数据计算路基下底宽AD(精确到0.1米)和坡角.
5、某路基横断面为等腰梯形，根据图示数据，求：下底BC；坡角；修筑长4千米的公路需要的立方数（九年级数学） 锐角三角函数（一）——勾股定理
第 周 星期 班别_______ 姓名_________ 学号_____
一、学习目标
1、知道直角三角形中三边关系，并用式子表示。
2、了解勾股定理的证明思路和勾股定理的逆定理。
3、能运用勾股定理解决问题及运用其逆定理识别直角三角形。
二、新课探索
1、直角三角形两锐角的关系：
如图：∵Rt△ACB中，∠C=90°
∴∠A+∠B=____°
2、试一试：如图：剪四个完全相同的直角三角形，将他们拼成如图的图形，用两种方法表示大正方形的面积。
方法一： 方法二：
观察上述结果，你发现了什么？ ______________________
3、直角三角形中，三边之间存在特殊的等量关系
结论：勾股定理：直角三角形___________的平方和等于_______的平方
如图，用几何语言表示：∵△ACB是Rt△
∴____________＝_____
4、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c有如下关系：_____________________，则这个三角形是_______三角形。
几何语言表述：
如图：∵在△ABC中，有
∴△ABC是 三角形，且∠ =90°
三、分层训练 A组：
在Rt△ABC中，∠C=90°,填写下表：
ａ 3 5 1
ｂ 4 6 1
ｃ 10 13 2
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①已知a=9，b=12，则c=
②已知a=2，c=4，则b=________
③已知b=25，c=15，则a=________
3、如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形。通过测量，得到AC长160米，BC长128米。问从点A穿过湖到点B有多远？
解: 在直角三角形ABC中，∠ABC=90°
∵AC= ,BC=
∴AB=
=
=
答:
4、如图，△ABC中，AB=AC，BC=8，中线AD=3。求AB的长度。
解：
5、如图，△ABC中，AB=AC=BC=10cm，AD⊥BC于D.
求（1）高AD的长度 （2）求S△ABC
6、用勾股定理的逆定理判断下列线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形？
①a=7，b=24，c=25。 ___________
②a=1，b=2，c=。 ___________
7、以下列各组线段为边，能组成直角三角形的有：
（1） 1cm , 2cm , 3cm （2） 8 cm ,6 cm ,4 cm （3） 3 cm ，4 cm ，5 cm
（4） 8 cm ,15 cm ,17 cm （5）12 cm ,5 cm ,13 cm （6）10 cm ，8 cm，6 cm
B组
如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CDAB，垂足为D，且AC=3，BC=4，求AB及CD的长
解：
已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长
如果直角三角形的两边长分别为3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？
C组：
1、在Rt△ABC中，已知a=5，b=12，求c
2、若三角形的三边之比是1: :，则这个三角形是 三角形
3、假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图(如图)，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少？（九年级数学）锐角三角函数（六）——综合训练
第 周 星期 班别_______ 姓名_________ 学号_____
一、填空：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=，则∠B= 度。
2、在△ABC中，∠A=45°，AB=6，AC=2，那么S△ABC= 。
3、已知,在Rt△ABC中，sinA=，AB=10，那么BC= ，cosB= 。tgB= 。
4、在△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3，那么tgA的值等于 。
5、在Rt△ABC 中，∠C=90°，b∶a=，则cosB= ；tgA= 。
6、在△ABC中，∠C=90°，S△ABC=，a=8，则∠A= 。
7、在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，a－b=2，则∠C= 。
8、Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD=2，sinA= ；tgB= 。
9、△ABC中，∠C=90°，a=8，b=，则sinA+sinB+sinC= 。
10、△ABC中，∠C=90°，若a=5，S△ABC=12.5，则c= ，∠A= 度。
11、在△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，AB=，则BC= 。
12、在Rt△ABC中，sinA=，b+c=6，则b= ，tgB= 。
13、等腰三角形ABC中，底边长为10，S△ABC=20，则底角的余弦值等于 。
14、 梯形的上底长为4cm，下底长为12cm，两底角分别为60和30，那么梯形的周长等于 cm．
15、Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD=1∶3，则 ABC中，较大的锐角为 度。
16、在△ABC中，∠C=90°，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边。
(1)若a=5cm，∠A=45°，则∠B= ，c= 。
(2)若c=10cm，∠B=30°，则a= ，b= 。
(3)若a=4cm，c=8cm，则cosA= ，tgB= 。
17、在△ABC中，∠C=90°，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，若，则sinB= ，tgA= 。
二、计算：
1、 2、
3、5ctg30°－2cos60°+2sin60° 4、
5、4cos30°－cos220°－sin220°－tg40°·tg50°
三、解答题：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=2，b=1，求∠A的四个三角函数值。
2、已知：，求：的值（其中为锐角）
3、已知：△ABC中，∠C=90°，若AB=3AC，求：∠B的四个三角函数值。
4、已知：6sin2α+6cos2α=13sinα·cosα，求ctgα的值。
5、在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，，求a。（九年级数学） 锐角三角函数（三）——解直角三角形
第 周 星期 班别_______ 姓名_________ 学号_____
学习目标：
1.理解直角三角形各元素之间的关系。
2.知道什么叫做解直角三角形。
3.会由已知条件解直角三角形。
新课学习：
1、知识回顾
如图，在Rt△ABC中，的对边分别为a,b,c,则
①锐角间的关系：
②三边之间的关系：（勾股定理）__________________
③边角之间的关系：
2、问题：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震终于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处，大树在折断之前高多少？
分析： 要求大树在折断之前的高度，即要求图中 的长，
要求 的长，就要先求出 的长
解：依题意得：
答：大树在折断之前高为 米
像这样：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
分层训练： A组
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，c=20，b =10，求∠A
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15，∠B=30°，求c
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形
（1）已知a=20，c=20
解：
∴b= ; ∠A= ; ∠B=
（2）已知
解：
4、在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
B组
1、东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰C与两炮台的距离（精确到1米）
2、求下列各图中，x的值(如图)
（1）
（2）
（3）
（4）
C组
如图，四边形ABCD中，，，CD=2cm,BC=11cm,求AC的长。（九年级数学） 锐角三角函数（二）——锐角三角函数
第 周 星期 班别_______ 姓名_________ 学号_____
学习目标：
1．认识正弦，余弦，正切，余切的概念，熟记四个概念的符号；
2．会用直角三角形的边长求锐角三角函数值。
3. 会运用锐角函数的概念求特殊角的三角函数值
二．新课探索：
小知识：
2．讨论交流。
如右图，当A固定时，在RtABC、RtAB1C1和RtAB2C2中
,,有什么关系？请说明理由？
解：
结论：,当固定时，的对边与斜边的比值_______
3. 锐角的三角函数：锐角的正弦、余弦、正切、余切
阅读课本P108，完成下列填空：
，所对的边分别为a,b,c。
①锐角的正弦：sinA=
②锐角的余弦：cosA=
③ 锐角的正切：tanA=
④锐角的余切：cotA=
备注：”sinA 的平方”记为“”
4、结合右图分析填空：
①sinA的取值范围：_______________
cosA的取值范围：_______________
②=_____________
③tanA 与cotA的关系：_______________
tanA与sinA和cosA的关系：__________________
5、互为余角的三角函数关系：
①_____，_____
②_____，_____
三．课堂训练：
1．如图，，，
sinB=________, cosB=__________;
tanB=________, cotB=__________.
如图，，，已知DE=3，DF=4，
sinE=, cosE=;
tanE=, cotE=;
3．，∠C=90o，∠A=30o，则：∠B=______
sin=_______ ； cos=_______
tan=________ ； cot=_________
sin=_______ ； cos=_______
tan=_______ ； cot= ________
4．，∠C=90o，∠A=45o，则
sin=________ ； cos=________
tan=________ ； cot=_________
注：用2分钟熟记上述、、的三角函数。
分层训练 A组
计算：
①++4tan ②4sin30°-tan
③ ④
⑤ ⑥
2、已知sin,则，已知cot
B组
，AB=7，BC=2，
则sinA==______.
,A、B、C的对边分别为a、b、c，其中a=6,b=8求B的四个三角函数值
解：
,分别求A、B的四个三角函数值
**********************************************************************
1、用计算器求下列锐角三角函数值。
①
②
③
④
2、已知下列锐角三角函数值，用计算器求其对应的锐角（精确到）
① ②
③ ④
3、用计算器求下式的值
sin81 32ˊ17"+cos38 43ˊ47"
解：原式=
4、已知cotA=3.1748，利用计算器求锐角A（精确到1ˊ）（九年级数学） 锐角三角函数（四）——应用举例（1）
第 周 星期 班别_______ 姓名_________ 学号_____
学习目标：
1．了解仰角、俯角的概念。
2．会解有关仰角、俯角的实际问题。
新课探索：
**小知识：“仰角”和“俯角”
1、试一试：
（1）升旗仪式时，同学们看着国旗冉冉升起，当国旗升值旗杆
顶端时，小名视线的仰角恰为45°，请你在右图中标出来：
（2）课间，小卜站在楼上看同学们在操场上跑步，如图所示的角
称为_______角
2、例：如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角=22°，
求电线杆AB的高.（精确到0.1米）
解：依题意得： ⊥
∴△BED是 三角形 , ______=22.7
∵ =
∴BE=
∵AE=
∴AB=
答：电线杆的高度为 米。
三、分层训练：
1、如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角a＝16゜31′，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米）
解：
答：飞机A到控制点B的距离约为 米
小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）
解：
两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（精确到1米）
解：
两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25゜，测得其底部C的俯角a＝50゜，求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）
B组
1、如图，已知直升飞机停留在1000米的高空A处，测得正西方的地面上目标物B的俯角为60°，测得正东方的地面上的目标物C的俯角为30°，又知目标物B、C与点D在同一水平面上，求目标物B、C之间的距离(答案可带根号)。
2、在地面上一点,测得一电视塔尖的仰角为,沿水平方向再向塔底前进50米,又测得塔尖的仰角为,求电视塔的高度.
3、甲、乙两楼相距80米，从乙楼底D望甲楼顶A的仰角为45°，从甲楼顶A望乙楼顶C的俯角为30°，
求甲、乙两楼的高(精确到1米)。
C组
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，∠1=∠A，S DBC∶S ABD=1∶3，求sin∠1。（九年级数学）锐角三角函数（七）——综合训练（2）
第 周 星期 班别_______ 姓名_________ 学号_____
一、应用题：
1、如图，已知直升飞机停留在1000米的高空A处，测得正西方的地面上目标物B的俯角为60°，测得正东方的地面上的目标物C的俯角为30°，又知目标物B、C与点D在同一水平面上，求目标物B、C之间的距离(答案可带根号)。
2、甲、乙两楼相距80米，从乙楼底D望甲楼顶A的仰角为45°，从甲楼顶A望乙楼顶C的俯角为30°，
求甲、乙两楼的高(精确到1米)。
3、如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形。外口宽AB=80cm，里口宽CD=120cm，槽深是60cm，求它的燕尾角C(精确到1′)。
4、一条水渠的横断面为等腰梯形，坡角为40°，渠深为2米，渠底宽3米，求水渠的上口宽和横断面的面积(保留四个有效数字)。
5、设斜坡的坡角为α，坡度为i，铅直高度为h，水平宽度为l。
(1)若h=12米，l=18米，则i= ，α= (精确到1°)。
(2)若米，α=30°，则l= 米，i= 。
(3)若i=1∶1，l=8米，则α= ，h= 米。
6、如图，铁路的路基是等腰梯形ABCD，斜坡的坡度为1∶1.5，路基高为3米，现由单线改为复线，路基需加宽4米，加宽后也成等腰梯形，斜坡的坡度为1∶2，若路长为10000米，求土石方量。
二、填空：
1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，，则AB边上的中线和高的长分别为 和 。
2、斜坡AB=50m，它的垂直距离为30m，则它的水平距离为 ，坡度i= ，坡角α= (精确到1°)。
3、等腰三角形的底边长为30，它的面积为225，则它的底角为_____。
4、菱形的周长为80，一条对角线长为20，求另一条对角线长和内角的度数___。
5、在△ABC中，AC=BC，，其周长为，则∠A= °。
6、满足的△ABC一定是______三角形。
7、在△ABC中，∠C=45°，∠B=30°，BC边上的高为3，则BC的长为 _______
三、解答题：
1、如图，在等腰三角形ABC中，点D在底边BC上，∠BAC=120°，
∠CAD=90°，AB=10，求AD和BC的长。
2、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，∠A=30°，S菱形ABCD=32cm2，求菱形的边长及梯形BCDE的中位线长。
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E为DB上一点，且AD∶DE∶EB=16∶4∶5，求sinB和cos∠ECB的值。
4、在△ABC中，AB=AC，它的一个外角为80°，底角平分线，求AB边上的高。
5、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求BC、AD的值。
6、已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为AC中点，求sin∠ABD和tg∠ABD。(提示：过点D作DE⊥AB，E是垂足。)《锐角三角函数》检测
班级：_____学号：____姓名：________
一、填空题（每空2分）
1、若∠A=50°28′36″，则cosA= （保留4个有效数字）;
若cotB=0.8,则∠B= 。（精确到1′）
2、Rt△ABC中，∠C =90°，∠B=40°，AB=2，则AC= ；BC= 。（结果精确到0.01）
3、在△ABC中，角A、B满足｜tanA－1｜＋＝0，则∠C= .
4、在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＋b=14,则a＝ ，b＝ 。
5、菱形的两条对角线长的比是∶1，那么菱形的相邻两个内角的度数为 .
6、已知45°<α<90°，则sinα、cosα、tanα从小到大排列顺序为 。
7、已知直角三角形的两边的长为5、12，则最小角的正弦值为___ _ ___.
8、如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为 m。(精确到0.1m)
9、某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°，
则跨度AB的长为 (精确到0.01米)。
10、(04重庆) 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为 （入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tan的值为
二、选择题（每题3分）
11、已知α为锐角，tan（90°－α）=，则α的度数为（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）75°
12、如果是锐角，且，那么的值是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
13、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）．
（A） （B） （C） （D）
14、如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（ ）
(A)1 (B) （C） (D)
15、如图是一块长、宽、高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是
（ ）
(A) （） (B)
(C) (D)
16、在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且,
AB = 4, 则AD的长为（ ）．
（A）3 （B） （C） （D）
17、如图，AB⊥x轴，垂足为B，∠BOA = 30 ，OA = 2，则点A的坐标为（ ）
（A）（1，）（B）（，1）（C）（，）（D）（，1）
18、（04河南）如图7，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶
端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°.若梯子底
端距离地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°.则这间房子
的宽AB是（ ）
（A）米 （B）米 （C）b米 （D）a米
三、计算（每题4分）
19、tan30°cot60°＋cos230°－sin245°tan45°+
20、- tan50°cot50°
四、解答题（每题7分）
21、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.
问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？
22、(04重庆北碚区)如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC=45°，∠ACB =30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.
23、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝5米，斜坡AD＝16米，坝高 6米，斜坡BC的坡度.求斜坡AD的坡角∠A（精确到1分）和坝底宽AB．（精确到0.1米）
24、(04荆门)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连结，设，请利用四边形的面积证明勾股定理：.
证明：
25、(04荆门)将一副三角尺如下图摆放在一起，连结，试求的余切值.
解：
26、如图：△ABC中，∠ACB=90°CD⊥AB于D点，若∠A=60°，AB-CD=13，求BC及 。
《锐角三角函数》检测参考答案
1、0.6364 51°20′ 2、1.29 1.53 3、90 ° 4、 5、60° 120°
6、cosα11、A 12、C 13、A 14、B 15、C 16、B 17、D 18、D
19、 20、0 21、AB=≈6.93<8，不在危险区
22、AH=≈366>300,不会穿过 23、22°1′ 37.8
24、证明：四边形为直角梯形,
Rt Rt,.
. 4分
（或：矩形绕点旋转，AC旋转到的位置，则.）
（不证的扣2分）
.
25．解：过点A作DB的延长线的垂线AE，垂足为E.
在等腰Rt中，
在Rt中，tan
在Rt中，.
则sin
在Rt中，，
则cot
26、（1）正确画出示意图. （2）①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角；
②在测点A与小山之间的B出安置测倾器（A、B与N在同一条直线上），测得此时山顶M的仰角；③量出测倾器的高度AC＝BD＝h，以及测点A、B之间的距离AB＝m.根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN.
第10题
第8题
第9题
A
B
6
4
3
ab
A
A
D
A
A
B
C
b
c
C
D
B
A
D
B
A
C
第25题图
ab
A
A
D
A
A
B
C
b
c
第19题图
A
B
D
C
第20题图
E
1
3
4
2
N
M
α
β
B
A
E
C
D
