2020-2021学年八年级数学苏科版下册：9.4正方形 《正方形》能力提优（word版，含答案）

八下数学《正方形》能力提优
(一)
知识点：1.正方形的四条边都相等，两组对边分别平行；2.正方形四个角都相等，都为；3.正方形对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角；4.正方形是轴对称图形，有四条对称轴.
1.如图，在正方形中，为边上一动点，是边上一动点，于点.若点是的中点，则 ；若，则 .
2.如图，在中，，，，的平分线交于点，过点作于点，于点，则四边形的面积为 .
3.如图，在边长为6的正方形中，为上一点，是的中点，，点在上，且，则的长是 .

4.如图，在中，，，分别以为一边向外作正方形，连接，设，，的面积分别为，则的大小关系是 .
5.将个边长都为1 cm的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形的中心，则个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为 .
6.如图，正方形的边长为4，是边上的一点，且，连，过点作于点，交于点，则的长为 .
7.如图，菱形的面积为20，点在对角线上，正方形的面积为10，则菱形的边长是 .
8.如图，在正方形中，对角线，点分别在边，对角线上，，点在边上，，则的长为 .
9.如图，在正方形中，，延长至点，使得，，　　　　
　.分别连接为的中点，则的长为 .
10.如图，是四边形内一点，且满足，，分别为边的中点.
(1)请探究四边形的形状;
(2)直接写出当题目还满足什么条件时，四边形为正方形;
11.如图，在正方形中，是边上一点，将线段绕点逆时针旋转到 的位置，连接，且与交于点.请探究之间的数量关系.
12.如图，为正方形内两点，，且，平分，，若，求线段的长.
13.在正方形中，点分别在边上，且.
(1)如图1，求证:(或的周长是正方形周长的一半);
(2)如图2，连接，分别交于点，交于点，求证: ;
(3)如图3，直线与的延长线分别交于点，若，求证: ;
(4)如图4，将(3)中的正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段之间的数量关系.
变式一：如图，分别是正方形的边上的点，连接分别交对角线于点.若，，求正方形的边长.
变式二：如图，点分别在正方形的边上，和交于点，，，，求的长.
变式三：如图，在正方形中，点分别在上，.
(1)当是中点时，求证:;
(2)当时，求证:.
变式四:如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，四边形为正方形，为轴上一点，且，为轴正半轴上一点，且，求点的坐标.
变式五：如图，在四边形中，分别为边上的点，且，试探究当与满足什么关系时，.
14.如图，在正方形中，为的中点，为上一点，连接，且，.求的长.
15.如图，边长为4的正方形的对角线交于点，点分别在上( )，且，的延长线交于点的延长线交于点，连接为的中点，求的长.
16.如图，正方形的边长为4，为上一点，平分.
(1)若为的中点，求的长;
(2)请直接写出和之间的数量关系.
(二)
1.以正方形的边为一边作等边三角形，则的度数是 .
2.如图，已知正方形的边长为5，点分别在上，， 与相交于点为的中点，连接，则的长为 .
3.如图，在正方形中，是正方形边上一点。若，则线段的长是 .
4.如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为 .
5.如图，为正方形对角线上一点，过点作于点，于点，连接.求证:.
6.如图，在中，分别是边上的中线，与相交于点和 分别为的中点，连接.
(l)当满足什么条件时，四边形是矩形?给出你的结论并证明;
(2)若四边形是正方形，，求的值.
7.如图，在正方形中，，点分别在上，相交于点.若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，求的周长.
8.如图，在正方形中，是边上一动点，连接，过点作，交 的延长线于点，连接交于点.请探究之间的数量关系.
9.如图，为正方形边的中点，，交于点，交于点.在的延长线上取点，使，的角平分线交于点，连接.
(1)求证:是等腰三角形;
(2)求证:;
(3)求证:.
10.如图，点在正方形的边的延长线上，连接，过点作交边于点，连接，作的角平分线交于点，过点作于点.求证:.
11.如图，在正方形中，为上一点，交于点，的垂直平分线交于点，交正方形的边于点，连接.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)求证:;
(4)求证: ;
(5)求证:.
12.如图，在正方形中，是边上的一动点(不与点重合)，连接，点 关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接.
(1)求证:;
(2)用等式表示线段与的数量关系，并证明.
13.已知在正方形中，与交于点，点在线段上，延长交 于点，过点作于点，直线交于点.
(1)如图1，当点在线段上时，求证:;
(2)如图2，当点在线段上时，连接，当时，求证:.

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