（北师大版2019课标）高中数学必修第二册 第六章综合测试（Word含答案解析）

第六章综合测试
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列结论正确的是（ ）
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
2.在正方体false中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能的是（ ）
A.等边三角形 B.矩形 C.等腰梯形 D.正方形
3.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为false，则它的一个底面面积是（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为false，则其表面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
5.已知平面false平面false，且false，要得到直线false平面false，还需要补充的条件是（ ）
A.false B.false
C.false D.false且false
6.一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，false，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
7.如图，在棱长为4的正方体false中，P是false上一点，且false，则多面体false的体积为（ ）
A.false B.false C.4 D.5
8.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将false沿BF所在的直线进行翻折，将false沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是（ ）
A.无论翻折到什么位置，A、C两点都不可能重合
B.存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为false
C.存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为false
D.存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为false
二、多项选择题（大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9.已知false，false是两个不重合的平面，false、false是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A.若false，false，则false
B.若false，false，则false
C.若false，false，则false
D.若false，false，false，则false
10.已知false、false为两条不重合的直线，false、false为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若false，false且false，则false
B.若false，false，false，则false
C.若false，false，false，false，则false
D.若false，false，false，则false
11.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，false，侧面PAD为正三角形，且平面PADfalse平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A.在棱AD上存在点M，使ADfalse平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为false
C.二面角P—BC—A的大小为false
D.BDfalse平面PAC
12.在正方体false中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（ ）
A.CM与PN是异面直线
B.false
C.平面PANfalse平面BDD1B1
D.过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）
13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________.
14.已知正四棱锥的侧棱长为false，侧棱与底面所成的角为false，则该四棱锥的高为________.
15.设false，false，false是三个不同平面，false，false是两条不同直线，有下列三个条件：（1）false，false；（2）false，false；（3）false，false，如果命题“false，且________，则false”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的序号填上）.
16.如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PAfalse平面ABC，false，则下列结论中：
①false；②平面ABCfalse平面PBC；③直线false平面PAE；④false，其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知正方体false.
（1）证明：false平面false；
（2）求异面直线false与BD所成的角.
18.如图，正方体false的棱长为false，连接false，得到一个三棱锥.求：
（1）三棱锥false的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥false的体积.
19.在如图的几何体中，四边形ABCD是正方形，MAfalse平面ABCD，false，点E，G，F分别为棱MB，PB，PC的中点，且false.求证：
（1）平面EFGfalse平面PMA；
（2）平面PDCfalse平面EFG.
20.如图平行四边形ABCD中，false，false，false，将false沿BD折起到false的位置，使平面EBDfalse平面ABD.
（1）求证：false；
（2）求三棱锥E—ABD的侧面积.
21.如图，在正方体false中，E是棱false的中点.
（1）求直线BE与平面false所成的角的正弦值；
（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使false平面false？证明你的结论.
22.如图，在三棱柱false中，false底面ABC，false，false，false，点D在侧棱false上.
（1）若D为false的中点，求证：false平面BCD；
（2）若false，求二面角false的大小.
第六章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】A错误，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，
B错误，如图2，若false不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥，
C错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，D正确.
2.【答案】D
【解析】当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形false，如图（1）；
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形false，如图（2）；
当点Q不与点D、false重合时，令Q、R分别为false、false的中点，则截面图形为等腰梯形false，如图（3）D是不可能的.
3.【答案】C
【解析】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径false，则false，得false，所以底面面积为false.
4.【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为false，则底面积为false，易求得高为false，则体积为false，解得false，所以其表面积为false.
5.【答案】D
【解析】选项A，B，C的条件都不能得到直线false平面false，而补充选项D后，可以得到直线false平面false，理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
6.【答案】A
【解析】将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为false，即球的半径为2，故这个球的表面积为false.
7.【答案】B
【解析】】V多面体false正方形false.
8.【答案】D
【解析】在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；
在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为false，故B正确；
在C中，当平面ABFfalse平面BEDF，平面DCEfalse平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；
在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误.
二、
9.【答案】ACD
【解析】若false，则false，false且false使得false，false，又false，则false，false，由线面垂直的判定定理得false，故A对；若false，false，如图，设false，平面false为平面α，false，设平面false为平面false，false，则false，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若false，false，则false，又false，则false，故D对.
10.【答案】BC
【解析】若false，false且false，则可以false，m，n异面，或m，n相交，故A错误；若false，false，则false，又false，故α∥β，B正确；若false，false，则false或false，又false，false，故false，C正确；若false，false，则false，false，则false或false，D错误.
11.【答案】ABC
【解析】对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则false侧面PAD为正三角形，
false，又底面ABCD是菱形，false，false是等边三角形，
false，又false，PM，false平面PMB，false平面PBM，故A正确，对于B，false平面PBM，false，即异面直线AD与PB所成的角为false，故B正确，对于C，false平面false平面false，false，false平面PBM，false，false，false是二面角P—BC—A的平面角，设false，则false，在false中，false，即false，故二面角P—BC—A的大小为false，故C正确，对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误.
12.【答案】BCD
【解析】
C、N、A共线，即CN、PM交于点A，共面，因此CM、PN共面，A错误；
记false，则false，
false，又false，
false，false，即false，B正确；
由于正方体中，false，false平面ABCD，则false，false，可得false平面false，false平面PAN，从而可得平面false平面false，C正确；
取false中点K，连接KP，KC，false，易知false，又正方体中，false，false，PK、AC共面，PKCA就是过P、A、C三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D正确.
三、
13.【答案】false
【解析】设圆锥的底面半径为false，根据题意，得false，解得false，根据勾股定理，得圆锥的高为false，所以圆锥的表面积false，体积false.
14.【答案】3
【解析】
如图，过点S作false平面ABCD，连接OC，则false，
false.
15.【答案】（2）（3）
【解析】false，false，不可以，举出反例如下：使false，false，false，则此时能有false，false，但不一定有false； false，false，可以，由false得a与γ没有公共点，由false，false，false知，false，false在面false内，且没有公共点，故平行； false，false可以，由false，false知，false，false无公共点，再由false，false，可得两直线平行.
综上可知满足的条件有（2）和（3）.
16.【答案】①④
【解析】对于①，因为false平面ABC，所以false，又false，false，所以false平面PAB，从而可得false，故①正确；
对于②，由于false平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确；
对于③，由于在正六边形中false，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确；
对于④，由条件得false为直角三角形，且false，又false，所以false，故④正确，
综上①④正确.
四、
17.【答案】（1）证明：在正方体false中，
false，false，
false四边形false是平行四边形，
false，
false平面false，false平面false，
false平面false，
（2）由（1）知，false，
false异面直线false与false所成的角即为false，
易知false为等边三角形，
false，
即异面直线false与BD所成的角为false，
18.【答案】（1）false是正方体，
false，
false三棱锥false的表面积为false，
而正方体的表面积为false，故三棱锥false的表面积与正方体表面积的比值为false，
（2）三棱锥false是完全一样的，
故false，
false.
19.【答案】（1）false点E、G、F分别为棱MB、PB、PC的中点，
false，
又false平面PMA，false平面PMA，false平面PMA，
false四边形ABCD是正方形，false，false，
false平面PMA，false平面PMA，false平面PMA，
又false，false平面false平面PMA，
（2）由已知false平面ABCD，false，false平面ABCD，
又false平面ABCD，false，
false四边形ABCD为正方形，false，
又false，false平面PDC，
在false中，falseG，F分别为PB，PC的中点，
false，false平面PDC，
又false平面EFG，false平面false平面EFG.
20.【答案】（1）证明：false，false，false，
false，false，
false平面false平面ABD，且平面false平面false，
false平面EBD，
false平面EBD，false，
（2）由（1）知false，
false，false，从而折叠后false，
在false中，false，false，
false，
又false平面EBD，false平面EBD，false，
false，false，
false，平面false平面ABD，false平面ABD，
又false平面ABD，false，
false，
综上，三棱锥E—ABD的侧面积false.
21.【答案】（1）如图（1），取false的中点M，连接EM，BM，
falseE是false的中点，四边形false为正方形，
false，
在正方体false中，false平面false，false平面false，从而false为直线BE与平面false所成的角，
设正方体false的棱长为2，则false，false，
在false中，false，
即直线BE与平面false所成的角的正弦值为false.
（2）在棱false上存在点F，使false平面false，
证明如下：如图（2），分别取false和CD的中点F和G，连接EG，BG，false，FG，false
false，且false，
false四边形false为平行四边形，false，
又falseE，G分别为D1D，CD的中点，false，
false，
false，B，G，E四点共面，false平面false，
在正方体false中，F和G分别为false和CD的中点，
false綊false綊false，false四边形false为平行四边形，
false，
又false平面false，false平面false，false平面false，
22.【答案】（1）证明：由已知，得false，false，则false平面false，又false平面false，则false，①
因为D为false的中点，所以false，又false，则false为等腰直角三角形，所以false，同理false，
所以false，即false，②
结合①②得，false平面BCD，
（2）作false，垂足为E，连接BE，如图，
因为false平面false，所以false，所以false平面BCE，
则false，所以false为二面角false的平面角，
因为false，所以false，
在false中，false，false边上的高为1，则其面积为1，
所以由false得false，在false中，false，则false，
所以二面角false的大小为false.