2020-2021学年河南省周口市西华第一高级中学高二（下）入学数学试卷（文科） （Word解析版）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年河南省周口市西华第一高级中学高二（下）入学数学试卷（文科） （Word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-06 14:55:01 | ||
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文档简介
2020-2021学年河南省周口市西华第一高级中学高二（下）入学数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
2．数列{an}的前5项依次为，则数列{an}的一个通项公式an为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知命题p：?x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：?x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
4．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数R＝0.15
B．模型2的相关指数R＝0.85
C．模型3的相关指数R＝0.25
D．模型4的相关指数R＝0.95
5．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣y2＝1 D．x2﹣＝1
6．有如下四个结论：
①“若，则”的逆命题为真命题；
②“x2+x﹣6＞0”是“x＞2”的充分不必要条件；
③如果log2（﹣a）＞log2（﹣b），那么
④命题：“?x∈R，cosx≤1”的否定是“?x0∈R，cosx0＞1”．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A．﹣1 B．2﹣ C． D．
8．△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（ ）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
11．在等差数列{an}中，，则数列{an}的前11项和S11＝（ ）
A．132 B．66 C．48 D．24
12．若数列{an}满足a1＝1，an﹣1+an＝（n∈N，且n≥2），则数列{}的前6项和为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
二、填空题（共4小题）.
13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为 ．
14．抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点坐标是 ．
15．双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则双曲线的离心率为 ．
16．设函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列是等差数列，且，a2＝4a7．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，＝，且a+c＝2．
（1）求角B；
（2）求边长b的最小值．
19．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝+λ，求λ的值．
20．已知函数f（x）＝﹣lnx，x∈[1，3]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值；
（Ⅱ）若f（x）＜4﹣at对任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．
21．如图F1、F2为椭圆C：+＝1的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e＝，S△DEF2＝1﹣．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点F1，的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝ex+ax﹣1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若f（x）≥x2在区间（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
解：集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝（1，3），B＝{x|2＜x＜4}＝（2，4），
则A∩B＝（2，3），
故选：C．
2．数列{an}的前5项依次为，则数列{an}的一个通项公式an为（ ）
A． B．
C． D．
解：数列{an}的前5项依次为，即数列{an}的前5项依次，，，，，
则数列的分母为3，分子为正整数列，
故an＝，
故选：C．
3．已知命题p：?x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：?x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
解：由题意可知命题p：?x∈（0，+∞），3x＞2x，为真命题；
而命题q：?x∈（﹣∞，0），3x＞2x，为假命题，即￢q为真命题，
由复合命题的真假可知p∧（￢q）为真命题，
故选：B．
4．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数R＝0.15
B．模型2的相关指数R＝0.85
C．模型3的相关指数R＝0.25
D．模型4的相关指数R＝0.95
解：根据两个变量y与x的回归模型中，相关指数R的绝对值越接近1，其拟合效果越好，
选项D中相关指数R最接近1，其模拟效果最好．
故选：D．
5．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣y2＝1 D．x2﹣＝1
解：双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，
∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，
∴，
∴b＝a，
∵焦点为F（2，0），
∴a2+b2＝4，
∴a＝1，b＝，
∴双曲线的方程为x2﹣＝1．
故选：D．
6．有如下四个结论：
①“若，则”的逆命题为真命题；
②“x2+x﹣6＞0”是“x＞2”的充分不必要条件；
③如果log2（﹣a）＞log2（﹣b），那么
④命题：“?x∈R，cosx≤1”的否定是“?x0∈R，cosx0＞1”．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①“若，则”的逆命题为“若cosx＝，则x＝”，不正确，可能x＝﹣；
①为假命题；
②“x2+x﹣6＞0”是“x＞2”的充分不必要条件，不正确，由于x2+x﹣6＞0，可得x＞2或x＜﹣3；
③如果log2（﹣a）＞log2（﹣b），那么﹣a＞﹣b＞0，则，正确；
④命题：“?x∈R，cosx≤1”的否定是“?x0∈R，cosx0＞1”，正确．
故选：B．
7．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A．﹣1 B．2﹣ C． D．
解：∵F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，
现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，
过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴|MF2|＝c，|F1F2|＝2c，∠F1MF2＝90°，
∴|MF1|＝＝，
∴2a＝，
∴椭圆的离心率e＝＝＝．
故选：A．
8．△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵bsinB﹣asinA＝asinC，
∴由正弦定理可得：b2﹣a2＝，
又∵c＝2a，
∴a2+c2﹣b2＝4a2﹣＝3a2，
∴利用余弦定理可得：cosB＝＝＝，
∴由于0＜B＜π，解得：sinB＝＝＝．
故选：D．
9．若实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
解：∵+＝，
∴a＞0，b＞0，
∵（当且仅当b＝2a时取等号），
∴，
解可得，ab，即ab的最小值为2，
故选：C．
10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（ ）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，（x＞0）
∴f′（x）＝2f′（1）+，把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，
解得f′（1）＝﹣1，
故选：B．
11．在等差数列{an}中，，则数列{an}的前11项和S11＝（ ）
A．132 B．66 C．48 D．24
解：等差数列{an}中，，
∴，
解得a1+5d＝12，
∴数列{an}的前11项和S11＝＝＝132．
故选：A．
12．若数列{an}满足a1＝1，an﹣1+an＝（n∈N，且n≥2），则数列{}的前6项和为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
解：∵an﹣1+an＝（n∈N，且n≥2），
∴（﹣1）n（）＝，
∴﹣+﹣…+（﹣1）n＝+…+＝1﹣．
当n为奇数时，＝，
∴an＝n．
当n为偶数时，＝1﹣，解得an＝﹣n．
∴an＝（﹣1）n+1n．
∴＝＝．
∴数列{}的前6项和＝﹣…+
＝
＝﹣．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为 4 ．
解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，
由图可知，当直线y＝﹣3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，
此时z有最大值为3×1+1＝4．
故答案为：4．
14．抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点坐标是 （0，） ．
解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2＝y，p＝
∴焦点坐标为 （0，）．
当a＜0时，同样可得．
故答案为：（0，）．
15．双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则双曲线的离心率为 ．
解：中
∴
∴
∴左焦点为（）
抛物线y2＝2px的准线方程为x＝
∴
解得p＝4
对于双曲线有c＝2
∴双曲线的离心率
故答案为
16．设函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是 [，1） ．
解：令g（x）＝（2x﹣1）ex，h（x）＝a（x﹣1），
∵g'（x）＝（2x﹣1）ex+2ex＝（2x+1）ex，
∴当x＜﹣时，g'（x）＜0，则函数g（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减；
当x＞﹣时，g'（x）＞0，则函数g（x）在（﹣，+∞）上单调递增，
而g（﹣1）＝﹣3e﹣1，g（0）＝﹣1，
∵存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0．
即（2x0﹣1）ex＜a（x0﹣1）．
∴结合图形，知 或
即或，
解得≤a＜1或3e2＜a＜．
故答案为：[，1）∪．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列是等差数列，且，a2＝4a7．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Sn．
解：（Ⅰ）由于为等差数列，若设其公差为d，则，，，，解得，
于是，整理得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得＝，
所以＝．
18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，＝，且a+c＝2．
（1）求角B；
（2）求边长b的最小值．
解：（1）在△ABC中，由已知，
即cosCsinB＝（2sinA﹣sinC）cosB，
sin（B+C）＝2sinAcosB，sinA＝2sinAcosB，…4分
△ABC 中，sinA≠0，
故． …6分．
（2）a+c＝2，
由（1），因此b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac …9分
由已知b2＝（a+c）2﹣3ac＝4﹣3ac …10分
…11分
故b 的最小值为1．…12分
19．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝+λ，求λ的值．
解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为（，0），故直线AB的方程为y＝2x﹣p，
联立，可得4x2﹣5px+p2＝0．
∵x1＜x2，p＞0，△＝25p2﹣16p2＝9p2＞0，
解得，x2＝p．
∴经过抛物线焦点的弦|AB|＝x1+x2+p＝p＝9，解得p＝4．
∴抛物线方程为y2＝8x；
（2）由（1）知，x1＝1，x2＝4，代入直线y＝2x﹣4，
可求得，，即A（1，﹣2），B（4，4），
∴＝+λ＝（1，﹣2）+λ（4，4）＝（4λ+1，4λ﹣2），
∴C（4λ+1，4λ﹣2），
∵C点在抛物线上，故，
解得：λ＝0或λ＝2．
20．已知函数f（x）＝﹣lnx，x∈[1，3]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值；
（Ⅱ）若f（x）＜4﹣at对任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）∵函数，∴，令f'（x）＝0，得x＝±2，
∴x∈[1，3]，当1＜x＜2时，f'（x）＜0；当2＜x＜3时，f'（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上是单调减函数，在（2，3）上是单调增函数，
∴f（x）在x＝2处取得极小值；
又，，
∵ln3＞1，∴，
∴f（1）＞f（3），
∴x＝1时f（x）的最大值为，x＝2时函数取得最小值为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当x∈[1，3]时，，故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣at恒成立，
只要对任意t∈[0，2]恒成立，即恒成立，
记g（t）＝at，t∈[0，2]．，解得，
即实数a的取值范围是．
21．如图F1、F2为椭圆C：+＝1的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e＝，S△DEF2＝1﹣．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点F1，的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，∴c＝，b＝，
＝＝＝＝1﹣，
∴a2＝4，即a＝2，∴b＝1，c＝，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣
联立，解得或，
不妨令A（﹣，），B（﹣，﹣），
∴对应的“椭点”坐标P（﹣，），Q（﹣）．而?＝≠0．
∴此时以PQ为直径的圆不过坐标原点．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+），
联立，消去y，得：（4k2+1）x2+8+12k2﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点的“椭点”坐标分别为P（），Q（），
由根与系数的关系，得，，
若使得以PQ为直径的圆经这坐标原点，则OP⊥OQ，
而＝（），，
∴，
即，
∴，解得k＝，
∴直线方程为或．
22．已知函数f（x）＝ex+ax﹣1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若f（x）≥x2在区间（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）∵当a＝1时，f（x）＝ex+x﹣1，f（1）＝e1+1﹣1＝e，
f'（x）＝ex+1，f'（1）＝e1+1＝e+1，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e＝（e+1）（x﹣1），
即y＝（e+1）x﹣1．
设切线与x，y轴的交点分别为A，B，
令x＝0得，y＝﹣1，令y＝0得，，
∴，B（0，﹣1），
∴，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为；
（Ⅱ）由f（x）≥x2得，（x∈（0，1））．
令，
则＝，
令k（x）＝x+1﹣ex，则k'（x）＝1﹣ex．
∵x∈（0，1），∴k'（x）＝1﹣ex＜0，k（x）在区间（0，1）上为减函数，
∴k（x）＜k（0）＝0．
又x﹣1＜0，x2＞0，∴，
∴h（x）在区间（0，1）上为增函数，h（x）＜h（1）＝2﹣e，
因此只需a≥2﹣e即可满足题意，
即实数a的取值范围为（﹣∞，2﹣e]．
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
2．数列{an}的前5项依次为，则数列{an}的一个通项公式an为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知命题p：?x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：?x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
4．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数R＝0.15
B．模型2的相关指数R＝0.85
C．模型3的相关指数R＝0.25
D．模型4的相关指数R＝0.95
5．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣y2＝1 D．x2﹣＝1
6．有如下四个结论：
①“若，则”的逆命题为真命题；
②“x2+x﹣6＞0”是“x＞2”的充分不必要条件；
③如果log2（﹣a）＞log2（﹣b），那么
④命题：“?x∈R，cosx≤1”的否定是“?x0∈R，cosx0＞1”．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A．﹣1 B．2﹣ C． D．
8．△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（ ）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
11．在等差数列{an}中，，则数列{an}的前11项和S11＝（ ）
A．132 B．66 C．48 D．24
12．若数列{an}满足a1＝1，an﹣1+an＝（n∈N，且n≥2），则数列{}的前6项和为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
二、填空题（共4小题）.
13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为 ．
14．抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点坐标是 ．
15．双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则双曲线的离心率为 ．
16．设函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列是等差数列，且，a2＝4a7．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，＝，且a+c＝2．
（1）求角B；
（2）求边长b的最小值．
19．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝+λ，求λ的值．
20．已知函数f（x）＝﹣lnx，x∈[1，3]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值；
（Ⅱ）若f（x）＜4﹣at对任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．
21．如图F1、F2为椭圆C：+＝1的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e＝，S△DEF2＝1﹣．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点F1，的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝ex+ax﹣1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若f（x）≥x2在区间（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
解：集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝（1，3），B＝{x|2＜x＜4}＝（2，4），
则A∩B＝（2，3），
故选：C．
2．数列{an}的前5项依次为，则数列{an}的一个通项公式an为（ ）
A． B．
C． D．
解：数列{an}的前5项依次为，即数列{an}的前5项依次，，，，，
则数列的分母为3，分子为正整数列，
故an＝，
故选：C．
3．已知命题p：?x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：?x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
解：由题意可知命题p：?x∈（0，+∞），3x＞2x，为真命题；
而命题q：?x∈（﹣∞，0），3x＞2x，为假命题，即￢q为真命题，
由复合命题的真假可知p∧（￢q）为真命题，
故选：B．
4．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数R＝0.15
B．模型2的相关指数R＝0.85
C．模型3的相关指数R＝0.25
D．模型4的相关指数R＝0.95
解：根据两个变量y与x的回归模型中，相关指数R的绝对值越接近1，其拟合效果越好，
选项D中相关指数R最接近1，其模拟效果最好．
故选：D．
5．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣y2＝1 D．x2﹣＝1
解：双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，
∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，
∴，
∴b＝a，
∵焦点为F（2，0），
∴a2+b2＝4，
∴a＝1，b＝，
∴双曲线的方程为x2﹣＝1．
故选：D．
6．有如下四个结论：
①“若，则”的逆命题为真命题；
②“x2+x﹣6＞0”是“x＞2”的充分不必要条件；
③如果log2（﹣a）＞log2（﹣b），那么
④命题：“?x∈R，cosx≤1”的否定是“?x0∈R，cosx0＞1”．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①“若，则”的逆命题为“若cosx＝，则x＝”，不正确，可能x＝﹣；
①为假命题；
②“x2+x﹣6＞0”是“x＞2”的充分不必要条件，不正确，由于x2+x﹣6＞0，可得x＞2或x＜﹣3；
③如果log2（﹣a）＞log2（﹣b），那么﹣a＞﹣b＞0，则，正确；
④命题：“?x∈R，cosx≤1”的否定是“?x0∈R，cosx0＞1”，正确．
故选：B．
7．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A．﹣1 B．2﹣ C． D．
解：∵F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，
现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，
过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴|MF2|＝c，|F1F2|＝2c，∠F1MF2＝90°，
∴|MF1|＝＝，
∴2a＝，
∴椭圆的离心率e＝＝＝．
故选：A．
8．△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵bsinB﹣asinA＝asinC，
∴由正弦定理可得：b2﹣a2＝，
又∵c＝2a，
∴a2+c2﹣b2＝4a2﹣＝3a2，
∴利用余弦定理可得：cosB＝＝＝，
∴由于0＜B＜π，解得：sinB＝＝＝．
故选：D．
9．若实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
解：∵+＝，
∴a＞0，b＞0，
∵（当且仅当b＝2a时取等号），
∴，
解可得，ab，即ab的最小值为2，
故选：C．
10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（ ）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，（x＞0）
∴f′（x）＝2f′（1）+，把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，
解得f′（1）＝﹣1，
故选：B．
11．在等差数列{an}中，，则数列{an}的前11项和S11＝（ ）
A．132 B．66 C．48 D．24
解：等差数列{an}中，，
∴，
解得a1+5d＝12，
∴数列{an}的前11项和S11＝＝＝132．
故选：A．
12．若数列{an}满足a1＝1，an﹣1+an＝（n∈N，且n≥2），则数列{}的前6项和为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
解：∵an﹣1+an＝（n∈N，且n≥2），
∴（﹣1）n（）＝，
∴﹣+﹣…+（﹣1）n＝+…+＝1﹣．
当n为奇数时，＝，
∴an＝n．
当n为偶数时，＝1﹣，解得an＝﹣n．
∴an＝（﹣1）n+1n．
∴＝＝．
∴数列{}的前6项和＝﹣…+
＝
＝﹣．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为 4 ．
解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，
由图可知，当直线y＝﹣3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，
此时z有最大值为3×1+1＝4．
故答案为：4．
14．抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点坐标是 （0，） ．
解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2＝y，p＝
∴焦点坐标为 （0，）．
当a＜0时，同样可得．
故答案为：（0，）．
15．双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则双曲线的离心率为 ．
解：中
∴
∴
∴左焦点为（）
抛物线y2＝2px的准线方程为x＝
∴
解得p＝4
对于双曲线有c＝2
∴双曲线的离心率
故答案为
16．设函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是 [，1） ．
解：令g（x）＝（2x﹣1）ex，h（x）＝a（x﹣1），
∵g'（x）＝（2x﹣1）ex+2ex＝（2x+1）ex，
∴当x＜﹣时，g'（x）＜0，则函数g（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减；
当x＞﹣时，g'（x）＞0，则函数g（x）在（﹣，+∞）上单调递增，
而g（﹣1）＝﹣3e﹣1，g（0）＝﹣1，
∵存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0．
即（2x0﹣1）ex＜a（x0﹣1）．
∴结合图形，知 或
即或，
解得≤a＜1或3e2＜a＜．
故答案为：[，1）∪．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列是等差数列，且，a2＝4a7．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Sn．
解：（Ⅰ）由于为等差数列，若设其公差为d，则，，，，解得，
于是，整理得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得＝，
所以＝．
18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，＝，且a+c＝2．
（1）求角B；
（2）求边长b的最小值．
解：（1）在△ABC中，由已知，
即cosCsinB＝（2sinA﹣sinC）cosB，
sin（B+C）＝2sinAcosB，sinA＝2sinAcosB，…4分
△ABC 中，sinA≠0，
故． …6分．
（2）a+c＝2，
由（1），因此b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac …9分
由已知b2＝（a+c）2﹣3ac＝4﹣3ac …10分
…11分
故b 的最小值为1．…12分
19．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝+λ，求λ的值．
解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为（，0），故直线AB的方程为y＝2x﹣p，
联立，可得4x2﹣5px+p2＝0．
∵x1＜x2，p＞0，△＝25p2﹣16p2＝9p2＞0，
解得，x2＝p．
∴经过抛物线焦点的弦|AB|＝x1+x2+p＝p＝9，解得p＝4．
∴抛物线方程为y2＝8x；
（2）由（1）知，x1＝1，x2＝4，代入直线y＝2x﹣4，
可求得，，即A（1，﹣2），B（4，4），
∴＝+λ＝（1，﹣2）+λ（4，4）＝（4λ+1，4λ﹣2），
∴C（4λ+1，4λ﹣2），
∵C点在抛物线上，故，
解得：λ＝0或λ＝2．
20．已知函数f（x）＝﹣lnx，x∈[1，3]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值；
（Ⅱ）若f（x）＜4﹣at对任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）∵函数，∴，令f'（x）＝0，得x＝±2，
∴x∈[1，3]，当1＜x＜2时，f'（x）＜0；当2＜x＜3时，f'（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上是单调减函数，在（2，3）上是单调增函数，
∴f（x）在x＝2处取得极小值；
又，，
∵ln3＞1，∴，
∴f（1）＞f（3），
∴x＝1时f（x）的最大值为，x＝2时函数取得最小值为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当x∈[1，3]时，，故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣at恒成立，
只要对任意t∈[0，2]恒成立，即恒成立，
记g（t）＝at，t∈[0，2]．，解得，
即实数a的取值范围是．
21．如图F1、F2为椭圆C：+＝1的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e＝，S△DEF2＝1﹣．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点F1，的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，∴c＝，b＝，
＝＝＝＝1﹣，
∴a2＝4，即a＝2，∴b＝1，c＝，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣
联立，解得或，
不妨令A（﹣，），B（﹣，﹣），
∴对应的“椭点”坐标P（﹣，），Q（﹣）．而?＝≠0．
∴此时以PQ为直径的圆不过坐标原点．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+），
联立，消去y，得：（4k2+1）x2+8+12k2﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点的“椭点”坐标分别为P（），Q（），
由根与系数的关系，得，，
若使得以PQ为直径的圆经这坐标原点，则OP⊥OQ，
而＝（），，
∴，
即，
∴，解得k＝，
∴直线方程为或．
22．已知函数f（x）＝ex+ax﹣1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若f（x）≥x2在区间（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）∵当a＝1时，f（x）＝ex+x﹣1，f（1）＝e1+1﹣1＝e，
f'（x）＝ex+1，f'（1）＝e1+1＝e+1，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e＝（e+1）（x﹣1），
即y＝（e+1）x﹣1．
设切线与x，y轴的交点分别为A，B，
令x＝0得，y＝﹣1，令y＝0得，，
∴，B（0，﹣1），
∴，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为；
（Ⅱ）由f（x）≥x2得，（x∈（0，1））．
令，
则＝，
令k（x）＝x+1﹣ex，则k'（x）＝1﹣ex．
∵x∈（0，1），∴k'（x）＝1﹣ex＜0，k（x）在区间（0，1）上为减函数，
∴k（x）＜k（0）＝0．
又x﹣1＜0，x2＞0，∴，
∴h（x）在区间（0，1）上为增函数，h（x）＜h（1）＝2﹣e，
因此只需a≥2﹣e即可满足题意，
即实数a的取值范围为（﹣∞，2﹣e]．
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