2020-2021学年安徽省池州市东至高二（下）开年考数学试卷（文科） （Word解析版）

2020-2021学年安徽省池州市东至高二（下）开年考（文科）数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．已知a，b∈R，下列选项中，使ab＞0成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．a＞0或b＞0 B．a＞10且b＞2
C．a，b同号且不为0 D．a+b＞0或ab＞0
2．若双曲线的焦距为8，则双曲线C的虚轴长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．已知曲线y＝axb在点（﹣1，a）处的切线方程为8x﹣y+6＝0，则（　　）
A．a＝2，b＝4 B．a＝﹣2，b＝4 C．a＝8，b＝1 D．a＝8，b＝﹣1
4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若m?α，α⊥β，则m⊥β
B．若α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
5．直线7x+y﹣2＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则r＝（　　）
A．1 B． C． D．2
6．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，|AB|＝6，弦AB中点P的横坐标xP＝2，则该抛物线的方程为（　　）
A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x
7．已知函数为f（x）的导函数，若f'（a）＝f（a），则a＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．0或2
8．若直线y＝x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．四面体A﹣BCD中，DC⊥面ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，DC＝8，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（　　）
A．100π B．50π C．25π D．91π
10．如图F1，F2是椭圆的左、右焦点，P，Q是椭圆上两点，满足PF2∥QF1，F2P⊥F2Q，若F2Q＝3PF2，则直线PF1的斜率为（　　）
A．﹣1 B． C． D．
11．已知函数f（x）＝ex﹣asinx在区间上有极值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，e） C．（1，2e） D．
12．如图，棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O为底面AC的中心，点P在侧面BC1内运动且D1O⊥OP，则点P到底面AC的距离与它到点B的距离之和最小是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题）.
13．?x＞1，x2﹣2x+1＞0的否定是　 　．
14．若直线l1：ax+4y﹣2＝0与l2：x+ay﹣a﹣1＝0平行，则实数a的值为　 　．
15．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝　 　．
16．如图，圆锥的高PO＝，底面⊙O的直径AB＝2，C是圆上一点，且∠CAB＝30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为　 　．
三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知命题p：?x∈[1，2]，3x2﹣mx+2＜0；命题q：函数在区间（0，1）上单调递减．其中m为常数．（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若（￢p）∧q为真命题，求m的取值范围．
18．已知直线l经过点P（﹣2，4）．
（Ⅰ）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l被两条相交直线l1：2x﹣y﹣2＝0和l2：x+y+3＝0所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程．
19．如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过A、C两点，AG的中点为F，CD的中点为P，且AD＝AB＝AE＝2．
（1）求证：平面EFP⊥平面BCE；
（2）求几何体ADG﹣BCE的体积．
20．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△EAD和△FBC是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F在平面ABCD和BC上射影分别为H，M，已知HM＝5米，BC＝10米，梯形ABEF的面积是△FBC面积的2.2倍．设．
（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；
（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？
21．已知椭圆的离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点，点A，B分别为其左、右顶点，点Q为椭圆上不与A，B重合的动点，且△QAF1面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）分别过点A，B作直线l1⊥AQ于点A，l2⊥BQ于点B，设l1与l2相交于点P，求点P的轨迹方程．
22．设函数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：当x∈[1，ea]时，．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知a，b∈R，下列选项中，使ab＞0成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．a＞0或b＞0 B．a＞10且b＞2
C．a，b同号且不为0 D．a+b＞0或ab＞0
解：对于A：a＞0或b＞0不能够推出ab＞0，故a＞0或b＞0不是ab＞0的充分条件，故A错误，
对于B：a＞10且b＞2，能够推出ab＞0，ab＞0不能够推出a＞10且b＞2，故a＞10且b＞2，是ab＞0的充分不必要条件，故B正确，
对于C：a，b同号且不为0?ab＞0，故a，b同号且不为0是ab＞0的充要条件，故C错误，
对于D：a+b＞0或ab＞0与ab＞0互相推不出，故a+b＞0或ab＞0与ab＞0是既不充分也不必要条件，故D错误．
故选：B．
2．若双曲线的焦距为8，则双曲线C的虚轴长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：依题意双曲线的焦距为8，
12+n＝16，故n＝4，则双曲线C的虚轴长为4，
故选：C．
3．已知曲线y＝axb在点（﹣1，a）处的切线方程为8x﹣y+6＝0，则（　　）
A．a＝2，b＝4 B．a＝﹣2，b＝4 C．a＝8，b＝1 D．a＝8，b＝﹣1
解：将（﹣1，a）代入8x﹣y+6＝0，
得a＝﹣2，
又因为y'＝abxb﹣1，
所以b（﹣1）b﹣1＝﹣4，b＝4．
故选：B．
4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若m?α，α⊥β，则m⊥β
B．若α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：
在A中，若m?α，α⊥β，则m与β相交、平行或m?β，故A错误；
在B中，若α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故C错误；
在D中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
故选：D．
5．直线7x+y﹣2＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则r＝（　　）
A．1 B． C． D．2
解：圆C的圆心为（1，0）．
圆心C到直线7x+y﹣2＝0的距离为为直角三角形，
则一定为等腰直角三角形且C为直角，
所以．
故选：A．
6．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，|AB|＝6，弦AB中点P的横坐标xP＝2，则该抛物线的方程为（　　）
A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知：x1+x2+p＝6，
又，即p＝2，
故抛物线方程为y2＝4x．
故选：B．
7．已知函数为f（x）的导函数，若f'（a）＝f（a），则a＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．0或2
解：因为f'（x）＝ex﹣ex，根据条件得，解得a＝0或2．
故选：D．
8．若直线y＝x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：曲线方程变形为x2+（y﹣2）2＝4（y≥2），表示圆心C为（0，2），半径为2的上半圆，
据题意画出图形，如图所示：
当直线y＝x+b过点（0，4）时，可得b＝4，满足直线y＝x+b与曲线y＝2+有两个不同的公共点．
当直线y＝x+b和半圆相切时，由2＝，解得b＝2+或b＝2﹣2（舍去），
故直线y＝x+b与曲线y＝2+有两个不同的公共点时，实数b的取值范围为[4，2+2），
故选：C．
9．四面体A﹣BCD中，DC⊥面ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，DC＝8，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（　　）
A．100π B．50π C．25π D．91π
解：设△ABC外接圆的圆心为O1，四面体A﹣BCD外接球的球心为O，半径为R，
连接O1C，OO1，OC，
由正弦定理可得，即，，，
即四面体A﹣BCD外接球的表面积为S＝4π×52＝100π，
故选：A．
10．如图F1，F2是椭圆的左、右焦点，P，Q是椭圆上两点，满足PF2∥QF1，F2P⊥F2Q，若F2Q＝3PF2，则直线PF1的斜率为（　　）
A．﹣1 B． C． D．
解：由题意PF2∥QF1，F2P⊥F2Q，若F2Q＝3PF2，取Q点关于原点O的对称点M，
则F1M＝F2Q，F1Q＝F2M，所以四边形F1QF2M为矩形，得到M，O，F2，共线，
设F2P＝x，则F2Q＝3x，
由椭圆定义可得F1P＝2a﹣x，F2M＝2a﹣3x，MP＝2a+2x，
∵∠F1MF2＝90°，则（2a﹣2x）2+4x2＝（2a﹣x）2，解得x＝，
∴，F2Q＝3x＝a，F1Q＝a，
∴∠F1QF2＝∠QF2P＝∠PF2x＝45°，
过P作x轴的垂线，垂足为N，
则PN＝，F1N＝，
所以k＝﹣＝﹣．
故选：D．
11．已知函数f（x）＝ex﹣asinx在区间上有极值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，e） C．（1，2e） D．
解：f（x）＝ex﹣asinx，x∈，
则f′（x）＝ex﹣acosx，
由题意得ex﹣acosx＝0在（0，）上有解，
即a＝在（0，）上有解，
记g（x）＝，x∈（0，），
则g′（x）＝，
当x∈（0，）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
而g（0）＝1，g（）＝2，
故1＜a＜2，
故选：D．
12．如图，棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O为底面AC的中心，点P在侧面BC1内运动且D1O⊥OP，则点P到底面AC的距离与它到点B的距离之和最小是（　　）
A． B． C． D．
解：如图，
由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，
当P位于BB1 的中点P1 时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，
BP1＝B1P1＝1，B1D1＝2 ，
求得OD1＝＝，OP1＝＝，D1P1＝＝3．
∴OD12+OP12＝D1P12，得OD1⊥OP1．
又OP1∩OC＝O，OP1?平面OP1 C，OC?平面OP1 C，
∴D1O⊥平面OP1 C，得到P的轨迹在线段P1C上．
过B作关于CP1的对称点B'，过P作PH⊥BC于H，
当B'，P，H三点共线时，点P到底面AC的距离与它到点B的距离之和取得最小值．
在直角三角形P1BC中，BC＝2，P1B＝1，P1C＝＝，
BB'＝，所以B'H＝BB'sin∠HBB'＝×＝，
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题
13．?x＞1，x2﹣2x+1＞0的否定是　?x＞1，x2﹣2x+1≤0　．
解：全称命题?x＞1，x2﹣2x+1＞0，
由全称命题的否定是特称命题得?x＞1，x2﹣2x+1＞0的否定是：?x＞1，x2﹣2x+1≤0．
故答案为：?x＞1，x2﹣2x+1≤0．
14．若直线l1：ax+4y﹣2＝0与l2：x+ay﹣a﹣1＝0平行，则实数a的值为　2　．
解：因为直线l1：ax+4y﹣2＝0与l2：x+ay﹣a﹣1＝0平行，
所以，解得a＝2．
故答案为：2．
15．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝　2020　．
解：∵，
∴，
∴f'（2021）＝﹣2021+2f'（2021）+1，
∴f'（2021）＝2020．
故答案为：2020．
16．如图，圆锥的高PO＝，底面⊙O的直径AB＝2，C是圆上一点，且∠CAB＝30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为　　．
解：设点O到平面PAC的距离为d，设直线OC和平面PAC所成角为α，
则由等体积法有：VO﹣PAC＝VP﹣OAC，
即S△PAC?d＝?PO?S△OAC，
在△AOC中，求得AC＝，
在△POD中，求得PD＝，
∴d＝＝，
∴sin α＝＝，于是cos α＝＝，
故答案为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知命题p：?x∈[1，2]，3x2﹣mx+2＜0；命题q：函数在区间（0，1）上单调递减．其中m为常数．（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若（￢p）∧q为真命题，求m的取值范围．
解：（1）令f（x）＝3x2﹣mx+2，其图象是开口向上的抛物线，
要使p为真命题，则f（1）＜0且f（2）＜0，
即
所以m＞7，
所以m的取值范围是（7，+∞）．
（2）若（￢p）∧q为真命题，则p为假命题，q为真命题
由（1）知，p为假命题等价于m≤7．
对于命题q，当m≤0时，函数在（0，1）上单调递增，不满足条件；
当m＞0时，函数在上单调递减，在上单调递增，
要使在（0，1）上单调递减，则，即m≥1，
综上所述，若（￢p）∧q为真命题，m的取值范围是[1，7]．
18．已知直线l经过点P（﹣2，4）．
（Ⅰ）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l被两条相交直线l1：2x﹣y﹣2＝0和l2：x+y+3＝0所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）①直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2，符合条件．
②直线l的斜率存在时，设直线方程为y﹣4＝k（x+2），
由原点到直线l的距离为2得，解，
故直线l的方程为，
即3x+4y﹣10＝0，
综上，所求直线l的方程为x＝﹣2或3x+4y﹣10＝0．
（Ⅱ）设直线l夹在直线l1，l2之间的线段为AB（A在l1上，B在l2上），
A，B的坐标分别设为（x1，y1），（x2，y2）
因为AB被点P平分，所以x1+x2＝﹣4，y1+y2＝8，即x2＝﹣4﹣x1，y2＝8﹣y1．
由于A在l1上，B在l2上，即，
解得x1＝3，y1＝4，即A的坐标是（3，4），
又直线过点P（﹣2，4），
故直线l的方程是y＝4．
19．如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过A、C两点，AG的中点为F，CD的中点为P，且AD＝AB＝AE＝2．
（1）求证：平面EFP⊥平面BCE；
（2）求几何体ADG﹣BCE的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵点E在平面ABCD内的射影恰为A，
∴AE⊥平面ABCD，
又AE?平面ABEG，∴平面ABCD⊥平面ABEG，
又以BD为直径的圆经过A，C，AD＝AB，∴ABCD为正方形，
又平面ABCD∩平面ABEG＝AB，∴BC⊥平面ABEG，
∵EF?平面ABEG，∴EF⊥BC，
又AB＝AE＝GE，∴∠ABE＝∠AEB＝，
又AG的中点为F，∴∠AEF＝．
∵∠AEF+∠AEB＝，∴EF⊥BE．
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE＝B，
∴EF⊥平面BCE，
又EF?平面EFP，∴平面EFP⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，
∴AE⊥AD，又AB⊥AD，AE∩AD＝A，
∴AB⊥平面ADE，又AB∥GE，∴GE⊥平面ADE．
∴VADC﹣BCE＝
＝．
∴几何体ADC﹣BCE的体积为4．
20．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△EAD和△FBC是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F在平面ABCD和BC上射影分别为H，M，已知HM＝5米，BC＝10米，梯形ABEF的面积是△FBC面积的2.2倍．设．
（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；
（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？
解：（1）在Rt△FHM中，FM＝＝，
∴S△FBC＝FM?BC＝×10＝，
∵梯形ABEF的面积是△FBC面积的2.2倍，即S梯形ABEF＝2.2S△FBC，
∴屋顶面积S＝2（S△FBC+S梯形ABEF）＝2×3.2S△FBC＝2×3.2×＝，．
（2）在Rt△FHM中，FH＝HM?tanθ＝5tanθ，
∴下部主体的高度为6﹣5tanθ，
∴总造价y＝×600+（6﹣5tanθ）×9600＝9600×（+6﹣）＝9600×（+6），
设f（θ）＝，要使总造价最低，则f（θ）最小，
f'（θ）＝＝，
令f'（θ）＝0，则sinθ＝，
∵，∴θ＝，
当θ∈（0，）时，f'（θ）＜0，f（θ）单调递减，当θ∈（，）时，f'（θ）＞0，f（θ）单调递增，
∴当时，f（θ）取得最小值，
故当时，总造价最低．
21．已知椭圆的离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点，点A，B分别为其左、右顶点，点Q为椭圆上不与A，B重合的动点，且△QAF1面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）分别过点A，B作直线l1⊥AQ于点A，l2⊥BQ于点B，设l1与l2相交于点P，求点P的轨迹方程．
解：（1）由题意得，即a＝2c．
又，点Q为椭圆上的动点．
故|yQ|≤b，则的最大值为
即（a﹣c）2（a2﹣c2）＝3，代入a＝2c得c＝1，故a＝2，，
即椭圆方程为．
（2）设Q（x0，y0），P（x，y），则．①
由题意得：，，，，
则kAQ?kAP＝﹣1，kBQ?kBP＝﹣1．
且kAQ?kBQ＝，代入①得，
又kAQ?kAP?kBQ?kBP＝1，
所以，
即，整理得．
故为所求轨迹方程．
22．设函数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：当x∈[1，ea]时，．
解：（1）由题意得，
令f'（x）＝0，得，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，
所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：若，即0＜a≤2，由（1）知f（x）在[1，ea]上单调递增，
所以f（x）的最大值是f（ea）＝ea﹣，若，即a＞2，
设g（a）＝ea﹣a，则当a＞2时，g'（a）＝ea﹣1＞0，
所以g（a）＞g（2）＝e2﹣2＞0，所以，从而，
结合（1）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
下面比较和f（1）＝1的大小
设，当a＞2时，h'（a）＝ea﹣a＞0，
所以h（a）＞h（2）＝e2﹣2＞1，即f（ea）＞f（1）
所以当x∈[1，ea]时，．