【高频易错题汇编】8.3 实际问题与二元一次方程组 （含解析）

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8.3 实际问题与二元一次方程组 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．已知甲校原有1016人，_????????????10_28人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3．若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差多少？（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
2．如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么这样的两位数的个数是（　　）
A．3 B．6 C．5 D．4
3．太原市城乡居民用电价格按用电_é???±?????????????_档次，电价分档递增：第一档电量为170千瓦时及以下，第二档电量为171千瓦时至260千瓦时，第三档电量为261千瓦时及以上，小颖家7月用电量为210千瓦时，交电费102.17元；8月用电量为180千瓦时，交电费86.36元．若第一档电价为x元/千瓦时，第二档电价为y元/千瓦时，则可得方程（　　）
A．
B．
C．
D．
4．现用190张铁皮做盒_????????????é?????_做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．某厂共有120名生产工_?????????????·????_每天可生产螺栓50个或螺母20个，已知一个螺栓与两个螺母配成一套，设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套．则所列的方程组是（　　）21世纪教育网版权所有
A．
B．
C．
D．
6．“甲、乙两数之和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为x，乙数为y，则列出方程组：
（1）（2）（3）（4）中，其中正确的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．将7张相同的长方形纸片（_??????1????¤????_按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割成两个长方形，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b，当未被覆盖的两个长方形的周长相等时，a，b满足的关系是（　　）
A． B．a＝3b C． D．a＝4b
8．某气象台发现：在某_??????é??é????????_果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（　　）21教育网
A．9天 B．11天 C．13天 D．22天
9．如图为甲、乙、丙三根_???????????¨??????_行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重迭，其余部分只与丙重迭，甲没有与乙重迭的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重迭的部分的长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？（　　）21·cn·jy·com
A．x+y+3 B．x+y+1 C．x+y﹣1 D．x+y﹣3
10．秋天的一个周末，王明_????¤§????????????_帮王明家收梨子，上午大家全部摘梨，下午一半同学（包括王明）继续摘梨，一半同学把梨搬运到果园外的车上以备运走，结果梨都摘完了，而需搬运的梨还留下一个人一天的工作量．如果每个人每搬运两筐梨的时间就能摘一筐梨，那么王明和他的同学共（　　）www.21-cn-jy.com
A．4人 B．6人 C．8人 D．10人
二．填空题（共5小题）
11．重庆是长江_????????°?????????_济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到　 　次第二名．2·1·c·n·j·y
12．某品牌网_??????è?°?????????_两种规格的积木玩具：A规格一盒里面一个独立包装袋，共有40块积木；B规格一盒里面有三个独立包装袋，共有n块积木．小开的爸爸在网上买了两种规格的积木若干盒，结果运输过程中遭遇暴力快递，收货时发现里面的独立包装袋被损坏，积木全部混在了一起，经盘点发现，共有20个独立包装袋和290块积木，则n＝　 　．【来源：21·世纪·教育·网】
13．体育馆的环形跑道长400_?±????????????????_别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是　 　．
14．小明的爸爸骑着摩托车带着小_?????¨???è·???????_速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：12：00时是一个两位数，数字之和为7；13：00时十位与个位数字与12：00时所看到的正好互换了；14：00时比12：00时看到的两位数中间多出一个0．如果设小明在12：00看到的数的十位数字是x，个位数字是y，根据题意可列方程组为　 　．
15．新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书　 　本．
三．解答题（共5小题）
16．某医疗器械经销部经营甲、乙_??¤?§?????????¨??°_，甲器械每台2万元，乙器械每台5万元．今年厂方给经销部规定了24万元的营销任务，那么该经销部要想完成任务，有哪些销售方案可选择？若乙器械的利润是甲器械的3倍，那么你觉得选择哪个方案更好些？
17．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件，B种商品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元．21·世纪*教育网
（1）购进A、B两种商品每件各需多少元？
（2）该商店购进_è???¤??¤????A???_B两种商品，在销售中发现，A种商品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种商品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件；B种商品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种商品每天总获利为10000元，A种商品每件降价多少元？www-2-1-cnjy-com
18．为了积极推进轨_é????¤é?????è?????_某城市计划修建总长度36千米的有轨电车．该任务由甲、乙两工程队先后接力完成甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．2-1-c-n-j-y
根据题意，小明和小华两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
小明：小华：
（1）根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x表示的意义
小明：x表示　 　；
小华：x表示　 　．
（2）求甲、乙两工程队分别修建有轨电车多少千米？
19．某饮料加工厂生产的A、B_??¤?§?é????????é??_加入同种派加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产多少瓶？21*cnjy*com
20．某铁件加工厂用如图1_???é??????????????_方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片　 　张，正方形铁片　 　张；21cnjy.com
（2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？【来源：21cnj*y.co*m】
（3）把长方体铁容器加_?????????????·????_为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？【出处：21教育名师】

8.3 实际问题与二元一次方程组 高频易错题集
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3．若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差多少？（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
解：设甲、乙两校转出的人数分别为x人、3x人，甲、乙两校转入的人数分别为y人、3y人，
∵寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，
∴1016﹣x+y＝1028﹣3x+3y，
整理得：x﹣y＝6，
开学时乙校的人数为：1028﹣3x+3y＝1028﹣3（x﹣y）＝1028﹣18＝1010（人），
∴乙校开学时的人数与原有的人数相差；1028﹣1010＝18（人），
故选：D．
2．如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么这样的两位数的个数是（　　）
A．3 B．6 C．5 D．4
解：设两位数的个位数为x，十位为y，根据题意得：
x+y＝6，
∵xy都是整数，
∴当x＝0时，y＝6，两位数为60；
当x＝1时，y＝5，两位数为51；
当x＝2时，y＝4，两位数为42；
当x＝3时，y＝3，两位数为33；
当x＝4时，y＝2，两位数为24；
当x＝5时，y＝1，两位数为15；
则此两位数可以为：60、51、42、33、24、15，共6个，
故选：B．
3．太原市城乡居民用电价格按用电需求分为三个档次，电价分档递增：第一档电量为170千瓦时及以下，第二档电量为171千瓦时至260千瓦时，第三档电量为261千瓦时及以上，小颖家7月用电量为210千瓦时，交电费102.17元；8月用电量为180千瓦时，交电费86.36元．若第一档电价为x元/千瓦时，第二档电价为y元/千瓦时，则可得方程（　　）
A．
B．
C．
D．
解：小颖家7月电费：170x+（210﹣170）y＝102.17，①
小颖家8月电费：170x+（180﹣170）y＝86.36，②
①和②联立可得方程组．
故选：C．
4．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
解：根据共有190张铁皮，得方程x+y＝190；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x＝22y．
列方程组为．
故选：A．
5．某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，已知一个螺栓与两个螺母配成一套，设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套．则所列的方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：根据题意得：
，
故选：D．
6．“甲、乙两数之和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为x，乙数为y，则列出方程组：
（1）（2）（3）（4）中，其中正确的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
解：设甲数为x，乙数为y．
则列出方程组正确的有：（1）；（2）；（3）；（4）．
故选：D．
7．将7张相同的长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割成两个长方形，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b，当未被覆盖的两个长方形的周长相等时，a，b满足的关系是（　　）
A． B．a＝3b C． D．a＝4b
解：由图可得，2×3b+2×4b＝2a+2a，
∴14b＝4a，
∴a＝b，
故选：C．
8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（　　）
A．9天 B．11天 C．13天 D．22天
解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，
根据题意得：
①+②得：2y＝22
y＝11
所以一共有11天，
解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天，
根据题意得：，
解得：，
所以一共有11天，
故选：B．
9．如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重迭，其余部分只与丙重迭，甲没有与乙重迭的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重迭的部分的长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？（　　）
A．x+y+3 B．x+y+1 C．x+y﹣1 D．x+y﹣3
解：设乙的长度为a公尺，
∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，
∴甲的长度为：（a﹣x）公尺；丙的长度为：（a﹣y）公尺，
∴甲与乙重叠的部分长度为：（a﹣x﹣1）公尺；乙与丙重叠的部分长度为：（a﹣y﹣2）公尺，
由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度＝乙的长度，
∴（a﹣x﹣1）+（a﹣y﹣2）＝a，
a﹣x﹣1+a﹣y﹣2＝a，
a+a﹣a＝x+y+1+2，
a＝x+y+3，
∴乙的长度为：（x+y+3）公尺，
故选：A．
10．秋天的一个周末，王明的大学同学去帮王明家收梨子，上午大家全部摘梨，下午一半同学（包括王明）继续摘梨，一半同学把梨搬运到果园外的车上以备运走，结果梨都摘完了，而需搬运的梨还留下一个人一天的工作量．如果每个人每搬运两筐梨的时间就能摘一筐梨，那么王明和他的同学共（　　）
A．4人 B．6人 C．8人 D．10人
解：设王明和他同学共x人，一人一天摘的梨筐数为a，一人一天运的梨筐数为b，根据题意得：
，
解得：x＝8．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到　8　次第二名．
解：根据题意，得
一共经过了：（个）月，
23+20+9＝52，x＞y，
∵＞4，
∴x+y＜13，
故x+y可以为：1，2，4，
又∵x＞y，故x＝3，y＝1，
∴一共有13个月，
设第一小组有a个月得第一名，b个月得第二名，根据题意，得
由①得：3a+3b≤39③
由②得，3a＝23﹣b④
将④代入③，解得b≤8，
当b＝8时，a＝5，
答：第一小组最多得到8次第二名．
故答案为：8．
12．某品牌网上旗舰店售卖两种规格的积木玩具：A规格一盒里面一个独立包装袋，共有40块积木；B规格一盒里面有三个独立包装袋，共有n块积木．小开的爸爸在网上买了两种规格的积木若干盒，结果运输过程中遭遇暴力快递，收货时发现里面的独立包装袋被损坏，积木全部混在了一起，经盘点发现，共有20个独立包装袋和290块积木，则n＝　18　．
解：设小开的爸爸在网上买了A规格的积木x盒，B规格的积木y盒，
根据题意得：，
∵x，y，n都是正整数，且n是3的倍数，
∴方程①的整数解为：，，，，，，
分别代入方程②中：当x＝5，y＝5时，n＝18，当x＝2，y＝6时，n＝35（不符合题意，舍）；
故答案为：18．
13．体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是　　．
解：根据题意，得
．
故答案为：．
14．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：12：00时是一个两位数，数字之和为7；13：00时十位与个位数字与12：00时所看到的正好互换了；14：00时比12：00时看到的两位数中间多出一个0．如果设小明在12：00看到的数的十位数字是x，个位数字是y，根据题意可列方程组为　　．
解：12：00看到的数的十位数字是x，个位数字是y，
根据题意可列方程组为：
故答案为：．
15．新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书　1080　本．
解：设甲班的人均捐书数量为x本，乙班的人均捐书数量为（x+5）本，丙班的人均捐书数量为本，
设甲班有y人，乙班有（80﹣y）人．
根据题意，得
xy+（x+5）（80﹣y）+?40＝
解得：y＝
可知x为2且5的倍数，故x＝10，y＝64
共捐书10×64+15×16+5×40＝1080．
答：甲、乙、丙三班共捐书1080本．
故答案为1080．
三．解答题（共5小题）
16．某医疗器械经销部经营甲、乙两种医疗器械，甲器械每台2万元，乙器械每台5万元．今年厂方给经销部规定了24万元的营销任务，那么该经销部要想完成任务，有哪些销售方案可选择？若乙器械的利润是甲器械的3倍，那么你觉得选择哪个方案更好些？
解：设分别销售甲、乙两种医疗器械x、y台，
由题意得，2x+5y＝24，
∵2x与24都是偶数，
∴5y也是偶数，
∴y＝2时，x＝7，
y＝4时，x＝2，
故，销售方案为：方案一，销售甲器械7台，乙器械2台，
方案二，销售甲器械2台，乙器械4台；
设甲器械每台的利润为a万元，则乙器械每台的利润为3a万元，
方案一利润，7a+2?3a＝13a，
方案二利润，2a+4?3a＝14a，
∵13a＜14a，
∴选择方案二更好些．
17．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件，B种商品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元．
（1）购进A、B两种商品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的A、B两种商品，在销售中发现，A种商品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种商品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件；B种商品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种商品每天总获利为10000元，A种商品每件降价多少元？
解：（1）设购进A商品每件需x元，B商品每件需y元，
则由题意得：
解得：
答：购进A商品每件需60元，B商品每件需50元．
（2）设A种商品每件降价m元，
则由题意得：，
化简得：
∴m＝10，
A种商品每件降价10元．
18．为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车．该任务由甲、乙两工程队先后接力完成甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．
根据题意，小明和小华两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
小明：小华：
（1）根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x表示的意义
小明：x表示　甲工程队修建的天数　；
小华：x表示　甲工程队修建的长度　．
（2）求甲、乙两工程队分别修建有轨电车多少千米？
解：（1）小明：x表示甲工程队修建的天数；小华：x表示甲工程队修建的长度．
故答案为：甲工程队修建的天数；甲工程队修建的长度．
（2）设甲工程队修建x千米，乙工程队修建y千米，由题意得：
解得
答：甲工程队修建12千米，乙工程队修建24千米．
19．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种派加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产多少瓶？
解：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，由题意，得
解得：
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．
20．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片　7　张，正方形铁片　3　张；
（2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得，
解得
答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个；
（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，
根据题意得，
解得，
∵在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做25×3＝75（片），9张做正方形铁片可做9×4＝36（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，
共可做长方形铁片75+1＝76（片），正方形铁片36+2＝38（片），
∴可做铁盒76÷4＝19（个）
答：最多可加工成铁盒19个．
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