【高频易错题汇编】7.2 探索平行线的性质 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
7.2 探索平行线的性质 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，若∠1＝78°，则∠2的度数为（　　）
A．19° B．18° C．17° D．16°
2．如图，AB∥CD，CE交AB于点E，∠1＝48°15'，∠2＝18°45'，则∠BEC的度数为（　　）
A．48°15' B．66° C．60°30' D．67°
3．如图，直线l与直线a、b相交，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．130° B．50° C．100° D．120°
4．如图，已知AD∥EF∥BC，BD∥GF，且BD平分∠ADC，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．下列命题是真命题的有（　　）个．
①对顶角相等，邻补角互补；
②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列说法：
①相等的角是对顶角；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④同角或等角的余角相等，
其中正确的说法有（　　）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
7．如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
8．下列说法中：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行；⑥连结A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
9．下列说法：①平行于同一条直线的两条直线也互相平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂线段最短；
④同旁内角互补．
其中说法错误的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
10．下列说法中不正确的个数为（　　）
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC的外角平分线AM与边BC平行，则∠B　 　∠C（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
12．如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，且∠C＝40°，则∠D的度数是　 　．
13．如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC的度数为　 　．
14．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°45'，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是　 　．
15．如图，下列推理：（1）若∠1＝∠2，则AB∥CD；（2）若AB∥CD，则∠3＝∠4；（3）若∠ABC+∠BCD＝180°，则AD∥BC；（4）若∠1＝∠2，则∠ADB＝∠CBD．其中正确的个数是　 　个．
三．解答题（共5小题）
16．【原题】已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点．如图1，若∠ABP＝50°，∠CDP＝60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，则∠BED＝　 　．
【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP＝α，∠CDP＝β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3，…以此类推，求∠En的度数．
【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试猜想∠P与∠E的数量关系，并说明理由．
17．问题情景：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：
过点P作PE∥AB，
∴∠PAB+∠APE＝180°．
∵∠PAB＝130°，∴∠APE＝50°
∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD，
∴∠PCD+∠CPE＝180°．
∵∠PCD＝120°，∴∠CPE＝60°
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
问题迁移：
如果AB与CD平行关系不变，动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时，∠PAB，∠PCD的度数会跟着发生变化．
（1）如图3，当动点P运动到直线AC右侧时，请写出∠PAB，∠PCD和∠APC之间的数量关系？并说明理由
（2）如图4，AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，那么∠AQC和角∠APC有怎择的数量关系？
（3）如图5，点P在直线AC的左侧时，AQ，CQ仍然平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和角∠APC的数量关系　 　．
18．如图，已知△ABC，点F在边BC上，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．
（1）补全图形；
（2）判断∠BAC与∠EFD的数量关系，并给予证明．
19．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，
（1）证明：EF∥AB．
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．
20．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠1＝70°，试求∠FAB的度数．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，若∠1＝78°，则∠2的度数为（　　）
A．19° B．18° C．17° D．16°
解：∵∠CBD＝90°，∠1＝78°，
∴∠DBE＝180°﹣∠CBD﹣∠1＝180°﹣90°﹣78°＝12°，
∵直尺的两边平行，即EA∥GH，
∴∠BDF＝∠DBE＝12°，
∵∠BDC＝30°，
∴∠2＝∠BDC﹣∠BDF＝30°﹣12°＝18°，
故选：B．
2．如图，AB∥CD，CE交AB于点E，∠1＝48°15'，∠2＝18°45'，则∠BEC的度数为（　　）
A．48°15' B．66° C．60°30' D．67°
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A＝48°15'，
又∵∠2＝18°45'，
∴∠BEC＝∠A+∠2＝67°，
故选：D．
3．如图，直线l与直线a、b相交，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．130° B．50° C．100° D．120°
解：如图，∠3＝∠1＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°．
故选：B．
4．如图，已知AD∥EF∥BC，BD∥GF，且BD平分∠ADC，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解：∵AD∥EF∥BC，BD∥GF，
∴∠1＝∠ADB＝∠DBC＝∠FGC＝∠EFG，∠1＝∠EHB，
又∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝∠CFG，
∴图中与∠1相等的角（∠1除外）共有7个，
故选：D．
5．下列命题是真命题的有（　　）个．
①对顶角相等，邻补角互补；
②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
解：①对顶角相等，邻补角互补，原说法正确，故①是真命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，原说法错误，故②是假命题
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原说法错误，故③是假命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，故④是假命题；
所以真命题的有1个．
故选：B．
6．下列说法：
①相等的角是对顶角；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④同角或等角的余角相等，
其中正确的说法有（　　）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，原说法正确；
④同角或等角的余角相等，原说法正确．
正确的说法有3个，
故选：B．
7．如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
解：根据两直线平行，同位角相等得到直线a和直线b的夹角与直线b和直线PC的夹角相等．
故选：A．
8．下列说法中：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行；⑥连结A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法是正确的；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来的说法是错误的；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原来的说法是错误的；
④平行于同一直线的两条直线互相平行，原来的说法是正确的；
⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线互相平行，原来的说法是错误的；
⑥连结A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，原来的说法是正确的．
故其中正确的有3个．
故选：C．
9．下列说法：①平行于同一条直线的两条直线也互相平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂线段最短；
④同旁内角互补．
其中说法错误的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
解：①平行于同一条直线的两条直线也互相平行，原说法正确；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；
③垂线段最短，原说法正确；
④只有两直线平行时，同旁内角才互补，原说法错误．
错误的是④，
故选：D．
10．下列说法中不正确的个数为（　　）
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；
因为过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；
⑤过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确．
所以不正确的有①②④⑤四个．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC的外角平分线AM与边BC平行，则∠B　＝　∠C（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
解：如图，∵AM∥BC，
∴∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C，
∵AM平分∠DAC，
∴∠DAM＝∠CAM，
∴∠B＝∠C．
故答案为：＝．
12．如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，且∠C＝40°，则∠D的度数是　100°　．
解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC＝40°，
∴△BCD中，∠D＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
13．如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC的度数为　105°　．
解：过点B作BG∥DM，如图：
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
故答案为：105°．
14．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°45'，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是　77°30′　．
解：∵CD∥OB，
∴∠ADC＝∠AOB，
∵∠EDO＝∠ADC，
∴∠EDO＝∠AOB＝38°45′，
∴∠DEB＝∠AOB+∠EDO＝38°45′+38°45′＝77°30′，
故答案为：77°30′．
15．如图，下列推理：（1）若∠1＝∠2，则AB∥CD；（2）若AB∥CD，则∠3＝∠4；（3）若∠ABC+∠BCD＝180°，则AD∥BC；（4）若∠1＝∠2，则∠ADB＝∠CBD．其中正确的个数是　2　个．
解：（1）若∠1＝∠2，则AD∥BC，故（1）不对；
（2）若AB∥CD，则∠3＝∠4，故（2）正确；
（3）若∠ABC+∠BCD＝180°，则AB∥DC，故（3）不对；
（4）若∠ABC＝∠ADC，∠1＝∠2，可推出∠3＝∠4，则AB∥CD，故（4）正确．
所以有2个正确．
故答案为：2．
三．解答题（共5小题）
16．【原题】已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点．如图1，若∠ABP＝50°，∠CDP＝60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，则∠BED＝　55°　．
【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP＝α，∠CDP＝β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3，…以此类推，求∠En的度数．
【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试猜想∠P与∠E的数量关系，并说明理由．
解：（1）如图1，过E作EF∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠FEB，∠CDE＝∠FED，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP＝50°，∠CDP＝60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE＝∠ABP＝25°，∠CDE＝∠CDP＝30°，
∴∠BED＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°；
（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，
∴∠ABE1＝∠ABP＝α，∠CDE1＝∠CDP＝，
∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠AFE1＝，
∴∠E1＝∠AFE1﹣∠ABE1＝﹣α＝（β﹣α），
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，
∴∠ABE2＝∠ABE1＝α，∠CDE2＝∠CDE1＝，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE2＝，
∴∠E2＝∠AGE2﹣∠ABE2＝（β﹣α），
同理可得，∠E3＝（β﹣α），
以此类推，∠En的度数为（β﹣α）．
（3）∠DEB＝90°﹣∠P．理由如下：
如图3，过E作EG∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠MBE＝∠BEG，∠FDE＝∠GED，
∴∠DEB＝∠BEG+∠DEG＝∠MBE+∠FDE＝∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，
∴∠FDE＝∠PDF＝（180°﹣∠CDP），∠ABQ＝∠ABP，
∴∠DEB＝∠ABP+（180°﹣∠CDP）＝90°﹣（∠CDP﹣∠ABP），
∵AB∥CD，
∴∠CDP＝∠AHP，
∴∠DEB＝90°﹣（∠CDP﹣∠ABP）＝90°﹣（∠AHP﹣∠ABP）＝90°﹣∠P．
17．问题情景：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：
过点P作PE∥AB，
∴∠PAB+∠APE＝180°．
∵∠PAB＝130°，∴∠APE＝50°
∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD，
∴∠PCD+∠CPE＝180°．
∵∠PCD＝120°，∴∠CPE＝60°
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
问题迁移：
如果AB与CD平行关系不变，动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时，∠PAB，∠PCD的度数会跟着发生变化．
（1）如图3，当动点P运动到直线AC右侧时，请写出∠PAB，∠PCD和∠APC之间的数量关系？并说明理由
（2）如图4，AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，那么∠AQC和角∠APC有怎择的数量关系？
（3）如图5，点P在直线AC的左侧时，AQ，CQ仍然平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和角∠APC的数量关系　2∠AQC+∠APC＝360°　．
解：（1）∠PAB+∠PCD＝∠APC；
理由：如图3，过点P作PF∥AB，
∴∠PAB＝∠APF，
∵AB∥CD，PF∥AB，
∴PF∥CD，
∴∠PCD＝∠CPF，
∴∠PAB+∠PCD＝∠APF+∠CPF＝∠APC，
即∠PAB+∠PCD＝∠APC；
（2）∠AQC＝∠APC．
理由：如图4，∵AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，
∴∠QAB＝∠PAB，∠QCD＝∠PCD，
∴∠QAB+∠QCD＝∠PAB+∠PCD＝（∠PAB+∠PCD），
由（1），可得∠PAB+∠PCD＝∠APC，
∠QAB+∠QCD＝∠AQC，
∴∠AQC＝∠APC；
（3）2∠AQC+∠APC＝360°；
理由：如图5，过点P作PG∥AB，
∴∠PAB+∠APG＝180°，
∵AB∥CD，PG∥AB，
∴PG∥CD，
∴∠PCD+∠CPG＝180°，
∴∠PAB+∠APG+∠PCD+∠CPG＝360°，
∴∠PAB+∠PCD+∠APC＝360°，
∵AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，
∴∠QAB＝∠PAB，∠QCD＝∠PCD，
∴∠QAB+∠QCD＝∠PAB+∠PCD＝（∠PAB+PCD），
由（1）知，∠QAB+∠QCD＝∠AQC，
∴∠AQC＝（∠PAB+∠PCD），
2∠AQC＝∠PAB+∠PCD，
∵∠PAB+∠PCD+∠APC＝360°，
∴2∠AQC+∠APC＝360°．
故答案为：2∠AQC+∠APC＝360°．
18．如图，已知△ABC，点F在边BC上，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．
（1）补全图形；
（2）判断∠BAC与∠EFD的数量关系，并给予证明．
解：（1）如图：
（2）∠BAC＝∠EFD．
证明：∵EF∥AC，
∴∠EFB＝∠C．
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠B．
∴∠EFD＝180°﹣（∠EFB+∠DFC）＝180°﹣（∠C+∠B）．
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠C+∠B），
∴∠BAC＝∠EFD．
19．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，
（1）证明：EF∥AB．
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．
解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE，
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）；
（2）∠AED与∠C相等．
∵EF∥AB，
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
20．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠1＝70°，试求∠FAB的度数．
解：（1）AD∥EC，
理由是：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
又∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥EC．
（2）∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC＝∠BDC＝35°，
∴∠2＝∠ADC＝35°，
∵CE⊥AE，AD∥EC，
∴∠FAD＝∠AEC＝90°，
∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_