【高频易错题汇编】7.5 多边形的内角和与外角和 （含解析）

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7.5 多边形的内角和与外角和 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C落在C′处．若∠BFE＝65°，则∠BFC′的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（　　）
A．5° B．8° C．10° D．15°
3．在△ABC中，2（∠A+∠B）＝3∠C，则∠C的补角等于（　　）
A．36° B．72° C．108° D．144°
4．下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a、b、c为边一定能组成三角形
C．两直线平行，同旁内角相等
D．三角形的外角和为360°
5．下列说法中错误的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．有一个内角是直角的三角形是直角三角形
C．任意三角形的外角和都是360°
D．三角形的中线、角平分线，高线都是线段
6．下列结论正确的个数是（　　）个．
①1°＝100分；②七棱柱有14个顶点；③两点之间线段最短；④各边相等的多边形是正多边形；⑤23xy是5次单项式．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列结论正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．菱形的对角线互相垂直且相等
C．正方形的对称轴有4条
D．矩形的对角线互相垂直
8．下列说法正确的有（　　）
①一个有理数不是整数就是分数；
②从六边形的一个顶点能引出4条对角线；
③连接两点之间的线段，就是两点之间的距离；
④若AB＝BC，则B是AC的中点；
⑤符号相反的数是相反数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（　　）条．
A．9条 B．10条 C．11条 D．12条
10．当多边形的边数增加1时，它的内角和会（　　）
A．增加160° B．增加180° C．增加270° D．增加360°
二．填空题（共5小题）
11．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为　 　．
12．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是　 　．
13．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　°．
14．将一个正六边形纸片对折，并完全重合，那么得到的图形是　 　边形．
15．从一个十边形的某个顶点出发引对角线，可以得　 　个三角形．
三．解答题（共5小题）
16．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．
17．阅读下列材料，完成下列各题：平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD之间，若∠BPD＝80°，∠B＝58°，求∠D的度数；
（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，请写出∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系并说明理由；
（3）利用（2）的结论，求图3中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
18．在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠EAD的度数．
19．如图1．已知大圆的直径为16米，小圆的直径比大四的直径少（注：π取3）
（1）求小圆的周长；
（2）德强学校的操场上有一个五彩的奥运五环图案，是由5个与图1完全相同的圆环构成，若每两个环形相交的部分是曲边四边形，每个曲边四边形面积都是平方米，求这个五环图形的面积．
（3）在（2）的条件下，为了迎接11月1日在我校举行的全国“70节好课致敬新中国70年”观摩课活动，学校决定重新粉剧操场上的奥运五环，学校雇佣2个师傅和4个徒弟来完成这项任务（每名师傅每小时粉刷的面积相同，每个徒弟每小时粉剧的面积相同），已知1个师傅1小时粉刷的面积是师徒6人1小时粉刷面积的．工作2小时后，4个徒弟比两个师傅多粉刷24平方米，这时两个师傅因有其它任务离开，剩下的工作由4个徒弟完成，工作完成，学校每小时支付师傅工资270元，每小时支付徒弟工资150元，学校共支付工资多少元．
20．如图，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点A、B、C、D、E把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）
（1）填写下表：
五边形ABCDE内点的个数 1 2 3 4 …… n
分割成的三角形的个数 5 7 9 　 　 ……
（2）原五边形能否被分割成2019个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部有多少个点？若不能，请说明理由．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C落在C′处．若∠BFE＝65°，则∠BFC′的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
解：设∠BFC′的度数为α，则∠EFC'＝65°+α，
由折叠可得，∠EFC＝∠EFC'＝65°+α，
又∵∠BFC＝180°，
∴∠EFB+∠EFC＝180°，
∴65°+65°+α＝180°，
∴α＝50°，
∴∠BFC′的度数为50°，
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（　　）
A．5° B．8° C．10° D．15°
解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，
∴∠BCE＝40°，
又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠BCA＝×（180°﹣50°﹣30°）＝50°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，
故选：C．
3．在△ABC中，2（∠A+∠B）＝3∠C，则∠C的补角等于（　　）
A．36° B．72° C．108° D．144°
解：∵2（∠A+∠B）＝3∠C，∠A+∠B＝180°﹣∠C，
∴2（180°﹣∠C）＝3∠C，
∴∠C＝72°，
∴∠C的补角等于108°，
故选：C．
4．下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a、b、c为边一定能组成三角形
C．两直线平行，同旁内角相等
D．三角形的外角和为360°
解：A、﹣1＞﹣2，但（﹣1）2＜（﹣2）2，
则本选项说法错误；
B、4+5＞1，但1、4、5不能组成三角形，
则本选项说法错误；
C、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，
则本选项说法错误；
D、三角形的外角和为360°，
本选项说法正确；
故选：D．
5．下列说法中错误的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．有一个内角是直角的三角形是直角三角形
C．任意三角形的外角和都是360°
D．三角形的中线、角平分线，高线都是线段
解：A．三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项错误；
B．有一个内角是直角的三角形是直角三角形，故本选项正确；
C．任意三角形的外角和都是360°，故本选项正确；
D．三角形的中线、角平分线，高线都是线段，故本选项正确；
故选：A．
6．下列结论正确的个数是（　　）个．
①1°＝100分；②七棱柱有14个顶点；③两点之间线段最短；④各边相等的多边形是正多边形；⑤23xy是5次单项式．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①1°＝60′，故①原说法错误；
②七棱柱有14个顶点，正确；
③两点之间线段最短，正确；
④各边、各角分别相等的多边形是正多边形，故④原说法错误；
⑤23xy是二次单项式，故⑤原说法错误；
∴正确的有：②③共2个．
故选：B．
7．下列结论正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．菱形的对角线互相垂直且相等
C．正方形的对称轴有4条
D．矩形的对角线互相垂直
解：A、平行四边形是中心对称图形，原说法错误，故本选项错误；
B、菱形的对角线互相垂直，但不相等，原说法错误，故本选项错误；
C、正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称轴有4条，故本选项正确；
D、矩形的对角线相等，原说法错误，故本选项错误；
故选：C．
8．下列说法正确的有（　　）
①一个有理数不是整数就是分数；
②从六边形的一个顶点能引出4条对角线；
③连接两点之间的线段，就是两点之间的距离；
④若AB＝BC，则B是AC的中点；
⑤符号相反的数是相反数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①一个有理数不是整数就是分数，正确；
②从六边形的一个顶点能引出3条对角线，故原说法错误；
③连接两点之间的线段的长度，就是两点之间的距离，故原说法错误；
④若AB＝BC，则B不一定是AC的中点，故原说法错误；
⑤绝对值相等，符号相反的数是相反数，故原说法错误．
所以正确的只有①共1个．
故选：A．
9．从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（　　）条．
A．9条 B．10条 C．11条 D．12条
解：12﹣3＝9，
十二边形从一个顶点出发可引出9条对角线．
故选：A．
10．当多边形的边数增加1时，它的内角和会（　　）
A．增加160° B．增加180° C．增加270° D．增加360°
解：设原多边形边数是n，则n边形的内角和是（n﹣2）?180°，边数增加1，则新多边形的内角和是（n+1﹣2）?180°．
则（n+1﹣2）?180°﹣（n﹣2）?180°＝180°．
故它的内角和增加180°．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为　20°或60°　．
解：如图所示，当∠BFD＝90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°；
如图，当∠BDF＝90°时，
同理可得∠BAD＝30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝50°，
∴∠BFD＝∠BCE＝50°，
∴∠ADF＝∠BFD﹣∠BAD＝20°，
综上所述，∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
12．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是　92°　．
解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝46°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+92°，
则∠1﹣∠2＝92°．
故答案为：92°．
13．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　°．
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
14．将一个正六边形纸片对折，并完全重合，那么得到的图形是　四边形或五　边形．
解：如图，①折痕是对角线所在的直线时，得到的图形是四边形，
②折痕是对边中点所在的直线时，得到的图形是五边形，
所以，得到的图形是四边形或五边形．
故答案为：四边形或五．
15．从一个十边形的某个顶点出发引对角线，可以得　8　个三角形．
解：从一个十边形的某个顶点出发作对角线，则把这个十边形分割成三角形的个数：10﹣2＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共5小题）
16．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．
解：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝∠4＝2x°，
∵∠2+∠4+∠BAC＝180°，
∴x+2x+69＝180，
解得x＝37，
即∠1＝37°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝69°﹣37°＝32°．
17．阅读下列材料，完成下列各题：平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD之间，若∠BPD＝80°，∠B＝58°，求∠D的度数；
（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，请写出∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系并说明理由；
（3）利用（2）的结论，求图3中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
解：（1）如图1，延长BP交CD于E，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠B，
由三角形的外角性质得，∠BED+∠D＝∠BPD，
∴∠B+∠D＝∠BPD，
即∠D＝∠BPD﹣∠B＝80°﹣58°＝22°；
（2）∠BPD＝∠B+∠BQD+∠D．
证明：如图2，连接QP并延长，
∵∠BPE是△BQP的外角，
∴∠BPE＝∠B+∠BQP，
同理可得，∠DPE＝∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠BQP+∠D+∠DQP，
即∠BPD＝∠B+∠BQD+∠D；
（3）如图3，设AC与BG交于点H，
由（2）中的结论可得，∠AHB＝∠A+∠B+∠F，
即∠GHC＝∠A+∠B+∠F，
又∵五边形CDEGH中，∠C+∠D+∠E+∠G+∠GHC＝540°，
∴∠C+∠D+∠E+∠G+∠A+∠B+∠F＝540°．
18．在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠EAD的度数．
解：∵在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°﹣20°﹣110°＝50°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝25°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAC＝20°+25°＝45°．
∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣45°＝45°．
19．如图1．已知大圆的直径为16米，小圆的直径比大四的直径少（注：π取3）
（1）求小圆的周长；
（2）德强学校的操场上有一个五彩的奥运五环图案，是由5个与图1完全相同的圆环构成，若每两个环形相交的部分是曲边四边形，每个曲边四边形面积都是平方米，求这个五环图形的面积．
（3）在（2）的条件下，为了迎接11月1日在我校举行的全国“70节好课致敬新中国70年”观摩课活动，学校决定重新粉剧操场上的奥运五环，学校雇佣2个师傅和4个徒弟来完成这项任务（每名师傅每小时粉刷的面积相同，每个徒弟每小时粉剧的面积相同），已知1个师傅1小时粉刷的面积是师徒6人1小时粉刷面积的．工作2小时后，4个徒弟比两个师傅多粉刷24平方米，这时两个师傅因有其它任务离开，剩下的工作由4个徒弟完成，工作完成，学校每小时支付师傅工资270元，每小时支付徒弟工资150元，学校共支付工资多少元．
解：（1）由题意得：小圆的直径为：（1﹣）×16＝14（米），
则小圆的周长为：π×14＝3×14＝42（米），
答：小圆的周长是42米；
（2）[5×﹣5×]﹣8×，
＝5×3×15﹣9，
＝216（米2），
答：这个五环图形的面积是216米2；
（3）设1个徒弟每小时刷墙x米2，则1个师傅每小时刷墙（2x﹣6）米2，
由题意得：2x﹣6＝，
解得：x＝12，
2x﹣6＝2×12﹣6＝18，
即设1个徒弟每小时刷墙12米2，则1个师傅每小时刷墙18米2，
＝1，
即设4个徒弟干了3个小时，2个师傅干了2个小时，
3×150×4+2×270×2＝2880（元），
答：学校共支付工资2880元．
20．如图，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点A、B、C、D、E把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）
（1）填写下表：
五边形ABCDE内点的个数 1 2 3 4 …… n
分割成的三角形的个数 5 7 9 　11　 ……
（2）原五边形能否被分割成2019个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部有多少个点？若不能，请说明理由．
解：（1）有1个点时，内部分割成5个三角形；
有2个点时，内部分割成5+2＝7个三角形；
有3个点时，内部分割成5+2×2＝9个三角形；
有4个点时，内部分割成5+2×3＝11个三角形； …
以此类推，有n个点时，内部分割成5+2×（n﹣1）＝（2n+3）个三角形；
故答案为：11；
（3）能．理由如下：由（1）知2n+3＝2019，解得n＝1008，
∴此时五边形ABCDE内部有1008点．
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