【高频易错题汇编】9.5 多项式的因式分解(含解析)

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名称 【高频易错题汇编】9.5 多项式的因式分解(含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 苏科版
科目 数学
更新时间 2021-03-06 16:16:32

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9.5 多项式的因式分解 高频易错题集
一.选择题(共10小题)
1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是(  )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) B.(a+3)(a﹣3)=a2﹣9
C.a2﹣4a﹣5=a(a﹣4)﹣5 D.a2﹣4a﹣5=(a﹣2)2﹣9
2.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(  )
A.(x+2)(x﹣3)=x2﹣x﹣6 B.6xy=2x2 3y3
C.x2+2x+1=x(x2+2)+1 D.x2﹣9=(x﹣3)(x+3)
3.观察下列各组中的两个多项式:
①3x+y与x+3y;②﹣2m﹣2n与﹣(m+n);③2mn﹣4mp与﹣n+2p;④4x2﹣y2与2y+4x;⑤x2+6x+9与2x2y+6xy.
其中有公因式的是(  )
A.①②③④ B.②③④⑤ C.③④⑤ D.①③④⑤
4.多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是(  )
A.5mx2 B.﹣5mx3 C.mx D.﹣5mx
5.已知x﹣y=,xy=,则xy2﹣x2y的值是(  )
A.﹣ B.1 C. D.
6.计算210+(﹣2)11的值是(  )
A.﹣2 B.2 C.210 D.﹣210
7.若多项式x2﹣ax+4能因式分解为(x﹣m)2,则a的值是(  )
A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4
8.若代数式x2﹣mx+4因式分解的结果是(x+2)2,则m的值是(  )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.±4
9.下列因式分解正确的是(  )
A.x2﹣x+2=x(x﹣1)+2 B.x2+2x﹣1=(x﹣1)2
C.x2+1=(x+1)2 D.2x2﹣2=2(x+1)(x﹣1)
10.将a3b﹣ab进行因式分解,正确的是(  )
A.a(a2b﹣b) B.ab(a﹣1)2
C.ab(a+1)(a﹣1) D.ab(a2﹣1)
二.填空题(共5小题)
11.已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式,则a2﹣b=   .
12.多项式4xy2+12xyz的公因式是   .
13.因式分解:mn(n﹣m)﹣n(m﹣n)=   .
14.若x2+2(3﹣m)x+25可以用完全平方式来分解因式,则m的值为   .
15.把多项式4ab2﹣16ac2分解因式的结果是   .
三.解答题(共5小题)
16.待定系数法:设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值.
待定系数法可以应用到因式分解中,例如问题:因式分解:x3﹣1.
因为x3﹣1为三次多项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积.故我们可以猜想x3﹣1可以分解成(x﹣1)(x2+ax+b),展开等式右边得:x3+(a﹣1)x2+(b﹣a)x﹣b,根据待定系数法原理,等式两边多项式的同类项的对应系数相等:a﹣1=0,b﹣a=0,﹣b=﹣1可以求出a=1,b=1.所以x3﹣1=(x﹣1)(x2+x+1).
(1)若x取任意值,等式x2+2x+3=x2+(3﹣a)x+s恒成立,则a=   ;
(2)已知多项式x3+2x+3有因式x+1,请用待定系数法求出该多项式的另一因式.
17.因式分解:(x+y)2(x﹣y)﹣(x+y)(x﹣y)2.
18.分解因式:
(Ⅰ)4a2﹣b2
(Ⅱ)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2
19.因式分解:
(1)ax2﹣9a
(2)(m﹣n)2﹣9(m+n)2
20.阅读下面的材料,利用材料解决问题的策略解答下面问题.
(1)分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉法”,方法的关键核心是“拆两头,凑中间”
例如,分解因式4x2﹣3xy﹣y2,方法如下:拆两头,4x2拆为4x,x,﹣y2拆为y,﹣y,然后排列如下:
交叉相乘,积相加得﹣3xy,凑得中间项,所以分解为4x2﹣3xy﹣y2=(4x+y)(x﹣y)
利用以上方法分解因式:4x2﹣5x+1;
(2)对不能直接使用提取公因式法,公式法或者十字交叉法进行分解因式的多项式,我们可考虑把被分解的多项式分成若干组,分别按“基本方法”即提取公因式法和运动公式法进行分解,然后,综合起来,再从总体上按“基本方法”继续进行分解,直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.
利用以上方法分解因式:x3﹣x2﹣x+1.
试题解析
一.选择题(共10小题)
1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是(  )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) B.(a+3)(a﹣3)=a2﹣9
C.a2﹣4a﹣5=a(a﹣4)﹣5 D.a2﹣4a﹣5=(a﹣2)2﹣9
解:A、符合因式分解的定义,故本选项正确;
B、是整式的乘法,不是因式分解,故本选项错误;
C、右边不是积的形式,不是因式分解,故本选项错误;
D、右边不是积的形式,不是因式分解,故本选项错误;
故选:A.
2.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(  )
A.(x+2)(x﹣3)=x2﹣x﹣6 B.6xy=2x2 3y3
C.x2+2x+1=x(x2+2)+1 D.x2﹣9=(x﹣3)(x+3)
解:A、是整式的乘法,故此选项不符合题意;
B、不属于因式分解,故此选项不符合题意;
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故此选项不符合题意;
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式,故此选项符合题意;
故选:D.
3.观察下列各组中的两个多项式:
①3x+y与x+3y;②﹣2m﹣2n与﹣(m+n);③2mn﹣4mp与﹣n+2p;④4x2﹣y2与2y+4x;⑤x2+6x+9与2x2y+6xy.
其中有公因式的是(  )
A.①②③④ B.②③④⑤ C.③④⑤ D.①③④⑤
解:①3x+y与x+3y没有公因式;
②﹣2m﹣2n与﹣(m+n)公因式为(m+n);
③2mn﹣4mp与﹣n+2p公因式为﹣n+2p;
④4x2﹣y2与2y+4x公因式为2x+y;
⑤x2+6x+9=(x+3)2与2x2y+6xy=2xy(x+3)公因式为x+3.
故选:B.
4.多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是(  )
A.5mx2 B.﹣5mx3 C.mx D.﹣5mx
解:﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx,
故选:D.
5.已知x﹣y=,xy=,则xy2﹣x2y的值是(  )
A.﹣ B.1 C. D.
解:∵x﹣y=,xy=,
∴xy2﹣x2y=﹣xy(x﹣y)=﹣×=﹣.
故选:A.
6.计算210+(﹣2)11的值是(  )
A.﹣2 B.2 C.210 D.﹣210
解:210+(﹣2)11
=210﹣211
=210﹣210×2
=210×(1﹣2)
=﹣210,
故选:D.
7.若多项式x2﹣ax+4能因式分解为(x﹣m)2,则a的值是(  )
A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4
解:因为多项式x2﹣ax+4能因式分解为(x﹣m)2,
所以m=±2.
当m=2时,a=4;
当m=﹣2时,a=﹣4.
故选:A.
8.若代数式x2﹣mx+4因式分解的结果是(x+2)2,则m的值是(  )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.±4
解:因为(x+2)2=x2+4x+4
所以m的值为:﹣4.
故选:A.
9.下列因式分解正确的是(  )
A.x2﹣x+2=x(x﹣1)+2 B.x2+2x﹣1=(x﹣1)2
C.x2+1=(x+1)2 D.2x2﹣2=2(x+1)(x﹣1)
解:A选项中,多项式x2﹣x+2在实数范围内不能因式分解;
选项B,C中的等式不成立;
选项D中,2x2﹣2=2(x2﹣1)=2(x+1)(x﹣1),正确.
故选:D.
10.将a3b﹣ab进行因式分解,正确的是(  )
A.a(a2b﹣b) B.ab(a﹣1)2
C.ab(a+1)(a﹣1) D.ab(a2﹣1)
解:a3b﹣ab=ab(a2﹣1)=ab(a+1)(a﹣1),
故选:C.
二.填空题(共5小题)
11.已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式,则a2﹣b= 253 .
解:设另一个因式是:2x2+mx+n,则(x2+x﹣6)(2x2+mx+n)
=2x4+(m+2)x3+(m+n﹣12)x2+(n﹣6m)x﹣6n
则:,
解得:,
所以a2﹣b=162﹣3=256﹣3=253.
故答案是:253.
12.多项式4xy2+12xyz的公因式是 4xy .
解:多项式4xy2+12xyz的公因式是4xy,
故答案为:4xy.
13.因式分解:mn(n﹣m)﹣n(m﹣n)= n(n﹣m)(m+1) .
解:mn(n﹣m)﹣n(m﹣n),
=mn(n﹣m)+n(n﹣m),
=n(n﹣m)(m+1).
故答案为:n(n﹣m)(m+1).
14.若x2+2(3﹣m)x+25可以用完全平方式来分解因式,则m的值为 ﹣2或8 .
解:∵x2+2(3﹣m)x+25可以用完全平方式来分解因式,
∴2(3﹣m)=±10
解得:m=﹣2或8.
故答案为:﹣2或8.
15.把多项式4ab2﹣16ac2分解因式的结果是 4a(b+2c)(b﹣2c) .
解:4ab2﹣16ac2
=4a(b2﹣4c2)
=4a(b+2c)(b﹣2c).
故答案是:4a(b+2c)(b﹣2c).
三.解答题(共5小题)
16.待定系数法:设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值.
待定系数法可以应用到因式分解中,例如问题:因式分解:x3﹣1.
因为x3﹣1为三次多项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积.故我们可以猜想x3﹣1可以分解成(x﹣1)(x2+ax+b),展开等式右边得:x3+(a﹣1)x2+(b﹣a)x﹣b,根据待定系数法原理,等式两边多项式的同类项的对应系数相等:a﹣1=0,b﹣a=0,﹣b=﹣1可以求出a=1,b=1.所以x3﹣1=(x﹣1)(x2+x+1).
(1)若x取任意值,等式x2+2x+3=x2+(3﹣a)x+s恒成立,则a= 1 ;
(2)已知多项式x3+2x+3有因式x+1,请用待定系数法求出该多项式的另一因式.
解:(1)∵x2+2x+3=x2+(3﹣a)x+3,
∴3﹣a=2,a=1;
故答案为:1;
(2)设x3+2x+3=(x+1)(x2+ax+3)=x3+(a+1)x2+(a+3)x+3,
a+1=0,
解得a=﹣1,
多项式的另一因式是x2﹣x+3.
17.因式分解:(x+y)2(x﹣y)﹣(x+y)(x﹣y)2.
解:(x+y)2(x﹣y)﹣(x+y)(x﹣y)2
=(x+y)(x﹣y)[(x+y)﹣(x﹣y)]
=2y(x+y)(x﹣y).
18.分解因式:
(Ⅰ)4a2﹣b2
(Ⅱ)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2
解:(1)原式=(2a+b)(2a﹣b);
(2)原式=[2+3(x﹣y)]2=(2+3x﹣3y)2.
19.因式分解:
(1)ax2﹣9a
(2)(m﹣n)2﹣9(m+n)2
解:(1)ax2﹣9a
=a(x2﹣9)
=a(x+3)(x﹣3);
(2)(m﹣n)2﹣9(m+n)2
=[(m﹣n)+3(m+n)][(m﹣n)﹣3(m+n)]
=[m﹣n+3m+3n][m﹣n﹣3m﹣3n]
=(4m+2n)(﹣2m﹣4n)
=﹣4(2m+n)(m+2n).
20.阅读下面的材料,利用材料解决问题的策略解答下面问题.
(1)分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉法”,方法的关键核心是“拆两头,凑中间”
例如,分解因式4x2﹣3xy﹣y2,方法如下:拆两头,4x2拆为4x,x,﹣y2拆为y,﹣y,然后排列如下:
交叉相乘,积相加得﹣3xy,凑得中间项,所以分解为4x2﹣3xy﹣y2=(4x+y)(x﹣y)
利用以上方法分解因式:4x2﹣5x+1;
(2)对不能直接使用提取公因式法,公式法或者十字交叉法进行分解因式的多项式,我们可考虑把被分解的多项式分成若干组,分别按“基本方法”即提取公因式法和运动公式法进行分解,然后,综合起来,再从总体上按“基本方法”继续进行分解,直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.
利用以上方法分解因式:x3﹣x2﹣x+1.
解:(1)4x2﹣5x+1=(4x﹣1)(x﹣1);
(2)x3﹣x2﹣x+1
=(x3﹣x2)﹣(x﹣1)
=x2(x﹣1))﹣(x﹣1)
=(x﹣1)(x2﹣1)
=(x﹣1)2(x+1).
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