【高频易错题汇编】12.1 定义与命题（含解析）

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12.1 定义与命题 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．下列语句中是命题的是（　　）
A．作线段AB＝CD B．两直线平行
C．对顶角相等 D．连接AB
2．下列语句是命题的是（　　）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
3．下列命题中，假命题是（　　）
A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
4．下列命题①同位角相等；②相等的角是对顶角；③同角或等角的补角相等；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中是真命题有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．下列命题中，正确的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
6．下列命题中，其逆命题成立的是（　　）
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数
D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．相等的两个角是对顶角
C．两边和一角分别对应相等的两个三角形全等
D．圆内接四边形对角相等
8．下列命题中真命题是（　　）
A．平分弦的半径垂直于弦
B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．相等的圆心角所对的弦相等
D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
9．下列命题是真命题的是（　　）
A．同角的补角相等
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．两个无理数的和仍是无理数
D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
10．下列命题为假命题的是（　　）
A．一个数的算术平方根等于本身的数只有0和1
B．一个数的立方根等于本身的数有﹣1、0和1
C．面积相等的两个等腰直角三角形一定全等
D．周长相等的两个等腰三角形一定全等
二．填空题（共5小题）
11．下列关于反比例函数y＝（k≠0）的命题：①若函数图象经过点（2，1），则k＝2；②过函数图象上一点A，作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，若△ABC的面积为2，则k＝4；③当k＞0时，y随x的增大而减小；④函数图象关于原点中心对称．其中所有真命题的序号是　 　．
12．下列命题：①试验次数越多频率就越接近概率；②汽车是轴对称图形；③直径是圆中最长的弦；④反比例函数y＝（x＞0）的图象是中心对称图形．正确的序号是　 　．
13．写出一个能说明命题：“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的反例：　 　．
14．写出命题“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题　 　．
15．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的描述，下列命题：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③若b2﹣4ac＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中结论正确的有　 　（填写所有正确的序号）．
三．解答题（共5小题）
16．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为　 　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为　 　；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　 　．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
17．已知m，n为实数且满足条件m+n＝﹣4，m≥3n，判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由．
命题①：点（m，n）必在第三象限．
命题②：动点（m，n）始终在一条射线上．
命题③：有最大值3．
18．“a2＞a”是真命题还是假命题？请说明理由
19．下列命题是真命题吗？如果不是，举出反例；如果是真命题，给出证明．
（1）一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；
（2）对角线相等的四边形是平行四边形；
（3）一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．
20．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个判断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个判断为条件，一个判断为结论组成一个真命题，这样的命题有哪些？试写出来．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列语句中是命题的是（　　）
A．作线段AB＝CD B．两直线平行
C．对顶角相等 D．连接AB
解：A、作线段AB＝CD，没有做出判断，不是命题；
B、两直线平行，没有做出判断，不是命题；
C、对顶角相等，是命题；
D、连接AB，没有做出判断，不是命题；
故选：C．
2．下列语句是命题的是（　　）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
解：（1）两点之间，线段最短，是命题；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？不是命题；
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，是命题；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线，不是命题；
故选：C．
3．下列命题中，假命题是（　　）
A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
解：连接BD，
∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH＝BD．
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
∴GF∥BD，GF＝BD，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，A是真命题；
当AC＝BD时，EH＝EF，
∴四边形EFGH为菱形，B是真命题；
当AC⊥BD时，EH⊥EF，
∴四边形EFGH为正方形，C是真命题；
顺次连接顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是不一定是直角梯形，D是假命题；
故选：D．
4．下列命题①同位角相等；②相等的角是对顶角；③同角或等角的补角相等；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中是真命题有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：①两直线平行，同位角相等，本说法是假命题；
②相等的角不一定是对顶角，本说法是假命题；
③同角或等角的补角相等，本说法是真命题；
④三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，本说法是假命题；
故选：B．
5．下列命题中，正确的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
解：A、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的任何内角，本选项说法错误；
B、如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，∠B＝∠B，
但△ABC和△ABD不全等，本选项说法错误；
C、锐角三角形的三条高都在三角形内部，本选项说法错误；
D、三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，本选项说法正确；
故选：D．
6．下列命题中，其逆命题成立的是（　　）
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数
D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
解：A、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，是假命题；
C、如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数的逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，是假命题；
D、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题；
故选：A．
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．相等的两个角是对顶角
C．两边和一角分别对应相等的两个三角形全等
D．圆内接四边形对角相等
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，本选项说法是真命题；
B、相等的两个角不一定都是对顶角，例如：等腰三角形的两底角相等，不是对顶角，本选项说法是假命题；
C、两边和一角分别对应相等的两个三角形不一定全等，
如图，在△ABD和△ABC中，∠B＝∠B，AB＝AB，AD＝AC，但△ABD和△ABC不全等，本选项说法是假命题；
D、圆内接四边形对角互补，不一定相等，本选项说法是假命题；
故选：A．
8．下列命题中真命题是（　　）
A．平分弦的半径垂直于弦
B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．相等的圆心角所对的弦相等
D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
解：A、平分弦（不是直径）的半径垂直于弦，本选项说法是假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，本选项说法是真命题；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本选项说法是假命题；
D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，本选项说法是假命题；
故选：B．
9．下列命题是真命题的是（　　）
A．同角的补角相等
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．两个无理数的和仍是无理数
D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
解：A、同角的补角相等，是真命题；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，本选项说法是假命题；
C、﹣+＝0，0不是无理数，本选项说法是假命题；
D、有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，例如，平角的角平分线把平角分为两个直角，这两个直角不是对顶角，
故本选项说法是假命题；
故选：A．
10．下列命题为假命题的是（　　）
A．一个数的算术平方根等于本身的数只有0和1
B．一个数的立方根等于本身的数有﹣1、0和1
C．面积相等的两个等腰直角三角形一定全等
D．周长相等的两个等腰三角形一定全等
解：A、一个数的算术平方根等于本身的数只有0和1，是真命题；
B、一个数的立方根等于本身的数有﹣1、0和1，是真命题；
C、面积相等的两个等腰直角三角形一定全等，是真命题；
D、周长相等的两个等腰三角形不一定一定全等，本选项说法是假命题；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．下列关于反比例函数y＝（k≠0）的命题：①若函数图象经过点（2，1），则k＝2；②过函数图象上一点A，作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，若△ABC的面积为2，则k＝4；③当k＞0时，y随x的增大而减小；④函数图象关于原点中心对称．其中所有真命题的序号是　①④　．
解：①若函数图象经过点（2，1），
则k＝1×2＝2，①说法是真命题；
②过函数图象上一点A，作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，
设点A的坐标为（x，y），
∵△ABC的面积为2，
∴xy＝2，
则k＝xy＝±4，②说法是假命题；
③当k＞0时，在每个象限，y随x的增大而减小，③说法是假命题；
④函数图象关于原点中心对称，④说法是真命题；
故答案为：①④．
12．下列命题：①试验次数越多频率就越接近概率；②汽车是轴对称图形；③直径是圆中最长的弦；④反比例函数y＝（x＞0）的图象是中心对称图形．正确的序号是　①③　．
解：①试验次数越多频率就越接近概率，本说法正确；
②汽车样式各异，不一定是轴对称图形，本说法错误；
③直径是圆中最长的弦，本说法正确；
④反比例函数y＝（x＞0）的图象不是中心对称图形，本说法错误；
故答案为：①③．
13．写出一个能说明命题：“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的反例：　a＝﹣2，b＝﹣1　．
解：（﹣2）2＞（﹣1）2，﹣2＜﹣1，
∴“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，
故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1．
14．写出命题“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题　三个角都是60°的三角形是等边三角形　．
解：命题“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题为：
三个角都是60°的三角形是等边三角形，
故答案为：三个角都是60°的三角形是等边三角形．
15．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的描述，下列命题：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③若b2﹣4ac＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中结论正确的有　①②③　（填写所有正确的序号）．
解：①∵a+b+c＝0，
∴当x＝1时，y＝0，即抛物线与x轴有交点，
∴b2﹣4ac≥0，①正确；
②b＝2a+3c，
则b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+8ac+4c2+5c2＝4（a+c）2+5c2＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，②正确；
③b2﹣4ac＞0，
二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的个数是2，与y轴公共点个数是1，
当c＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数2，
则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是3，③正确；
④当抛物线的顶点在第四象限时，a＜0，b＞0，c＜0，
∴b＞a+c，
抛物线与x轴没有交点，
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根，
∴错误；
故答案为：①②③．
三．解答题（共5小题）
16．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为　∠ABC+∠DEF＝180°　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为　∠ABC＝∠DEF　；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补　．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵BC∥EF，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，
由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
17．已知m，n为实数且满足条件m+n＝﹣4，m≥3n，判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由．
命题①：点（m，n）必在第三象限．
命题②：动点（m，n）始终在一条射线上．
命题③：有最大值3．
解：∵m+n＝﹣4，
∴m＝﹣4﹣n，
∴﹣4﹣n≥3n，
解得，n≤﹣1，
∵n＝﹣4﹣m，即﹣4﹣m≤﹣1，
∴m≥﹣3，
当m＝0时，n＝﹣4，符合题意，当（0，﹣4）不在第三象限，命题①是假命题；
动点（m，n）始终在以（﹣3，﹣1）为顶点的一条射线y＝﹣4﹣x上，命题②是真命题；
∵m≥3n，n≤﹣1，
∴≤3，即有最大值3，命题③是真命题．
18．“a2＞a”是真命题还是假命题？请说明理由
解：“a2＞a”是假命题，
当a＝时，a2＝（）2＝，
而＜，
∴“a2＞a”是假命题．
19．下列命题是真命题吗？如果不是，举出反例；如果是真命题，给出证明．
（1）一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；
（2）对角线相等的四边形是平行四边形；
（3）一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．
解：（1）一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，不是真命题，例如等腰梯形是一组对角相等，一组对边平行的四边形；
（2）对角线相等的四边形是平行四边形，不是真命题，例如等腰梯形是对角线相等的四边形；
（3）一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，不是真命题，当另一条对角线不平分这条对角线时，四边形不是平行四边形．
20．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个判断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个判断为条件，一个判断为结论组成一个真命题，这样的命题有哪些？试写出来．
解：（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c；
（3）如果b∥c，a∥c，那么a∥b；
（4）如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c；
（5）如果b∥c，a⊥c，那么a⊥b；
（6）如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c．
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