【高频易错题汇编】1.5 平方差公式（含解析）

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1.5 平方差公式 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A．2m?3n＝6m+n B．（2a3）4＝8a12
C．（6x2﹣xy）+2x＝3x﹣2y D．（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1
2．下列不能用平方差公式运算的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1） B．（﹣x+1）（﹣x﹣1）
C．（x+1）（﹣x+1） D．（﹣x+1）（﹣x+1）
3．下列计算正确的是（　　）
A．3a+5a＝8 B．4a2÷2a2＝2a2
C．（﹣2a）?（﹣a）＝2a2 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
4．下列运算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．（﹣2x2）3＝8x6
C．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 D．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣2x﹣2
5．若代数式M?（3x﹣y2）＝y4﹣9x2，那么代数式M为（　　）
A．﹣3x﹣y2 B．﹣3x+y2 C．3x+y2 D．3x﹣y2
6．如图，从边长为a+b的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣b的正方形（a＞b），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是（　　）
A．4ab B．2ab C．2b D．2a
7．学习整式的乘法时，小明从图1边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将图1中阴影部分拼成图2的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，能够验证的一个等式为（　
A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
8．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
9．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　）
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2 m+6
10．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+2ab+b2＝（a+b）2
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
二．填空题（共5小题）
11．已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为　 　．
12．计算：（2+x）（2﹣x）＝　 　．
13．计算2019×2017﹣20182＝　 　．
14．如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a＞b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是　 　（用含a，b的等式表示）．
15．如图，从边长为（a+4）（a＞0）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形ABCD（不重叠无缝隙），则长方形ABCD的周长是　 　．
三．解答题（共5小题）
16．计算：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）．
17．化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．
18．已知A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3．
（1）化简A；
（2）若x2＝（）﹣1，求A的值．
19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
20．我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
（1）如图1所示，甲同学从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），求矩形的面积；
（2）乙同学用如图2所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图3所示的正方形．
①用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
②根据①中的结论计算：已知（2016﹣m）（2018﹣m）＝2009，求（2018﹣m）2+（m﹣2016）2
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A．2m?3n＝6m+n B．（2a3）4＝8a12
C．（6x2﹣xy）+2x＝3x﹣2y D．（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1
解：A、2m与3n不是同底数幂，不可以计算，故本选项错误；
B、（2a3）4＝16a12，故本选项错误；
A、（6x2﹣xy）+2x＝6x2﹣xy+2x，故本选项错误；
A、（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1，故本选项正确．
故选：D．
总结：此题考查了平方差公式、合并同类项的法则，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则，难度一般．
2．下列不能用平方差公式运算的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1） B．（﹣x+1）（﹣x﹣1）
C．（x+1）（﹣x+1） D．（﹣x+1）（﹣x+1）
解：A、（x+1）（x﹣1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（﹣x+1）（﹣x﹣1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、（x+1）（﹣x+1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、（﹣x+1）（﹣x+1）不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
故选：D．
总结：此题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
3．下列计算正确的是（　　）
A．3a+5a＝8 B．4a2÷2a2＝2a2
C．（﹣2a）?（﹣a）＝2a2 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
解：∵左边＝3a+5a＝8a，右边＝8
∴左边≠右边，
∴A答案错误；
又∵左边＝4a2÷2a2＝6a2，右边＝2a2，
∴左边≠右边，
∴B答案错误；
又∵左边＝（﹣2a）?（﹣a）＝2a2，
∴左边＝右边；
∴C答案正确；
又∵左边＝（a﹣b）（﹣a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a+b）＝b2﹣a2，
右边＝a2﹣b2，
∴左边≠右边，
∴D答案错误；
故选：C．
总结：本题综合考查了合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式等相关知识点，重点掌握平方差公式的应用，难点是两个多项式相乘不是平方差直接形式，变形成平方差形式进行计算．
4．下列运算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．（﹣2x2）3＝8x6
C．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 D．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣2x﹣2
解：A、x2与x不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项不符合题意；
C、（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，故此选项符合题意；
D、原式＝x2﹣x﹣2，故此选项不符合题意，
故选：C．
总结：此题考查了多项式乘多项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
5．若代数式M?（3x﹣y2）＝y4﹣9x2，那么代数式M为（　　）
A．﹣3x﹣y2 B．﹣3x+y2 C．3x+y2 D．3x﹣y2
解：∵（﹣3x﹣y2）?（3x﹣y2）＝y4﹣9x2，
∴M＝（﹣3x﹣y2）．
故选：A．
总结：本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
6．如图，从边长为a+b的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣b的正方形（a＞b），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是（　　）
A．4ab B．2ab C．2b D．2a
解：该长方形的面积＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab，
故选：A．
总结：本题主要考查了平方差公式的几何背景，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算．
7．学习整式的乘法时，小明从图1边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将图1中阴影部分拼成图2的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，能够验证的一个等式为（　
A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
解：图1阴影面积＝a2﹣b2，图2拼剪后的阴影面积＝（a+b）（a﹣b），
∴得到的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：B．
总结：本题考查了平方差公式的几何背景，利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式．
8．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，
图2梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）
根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
比较各选项，只有D符合题意
故选：D．
总结：本题考查了平方差公式的几何背景，明确图中阴影部分的面积如何表示是解题的关键．
9．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　）
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2 m+6
解：依题意得，剩余部分为：
（m+3）2﹣m2＝m2+6m+9﹣m2＝6m+9，
而拼成的矩形一边长为3，
∴另一边长是（6m+9）÷3＝2m+3．
故选：C．
总结：本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．
10．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+2ab+b2＝（a+b）2
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
解：∵两个图中的阴影部分的面积相等，
即甲的面积＝a2﹣b2，乙的面积＝（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
所以验证成立的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
总结：本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
二．填空题（共5小题）
11．已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为　1　．
解：∵m﹣n＝1，
∴m2﹣n2﹣2n
＝（m+n）（m﹣n）﹣2n
＝（m+n）﹣2n
＝m+n﹣2n
＝m﹣n
＝1．
故答案为：1．
总结：本题主要考查的是平方差公式和求代数式的值．能够正确运用整体代入是解题的关键．
12．计算：（2+x）（2﹣x）＝　4﹣x2　．
解：（2+x）（2﹣x）＝22﹣x2＝4﹣x2．
故答案为：4﹣x2．
总结：此题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13．计算2019×2017﹣20182＝　﹣1　．
解：2019×2017﹣20182
＝（2018+1）×（2018﹣1）﹣20182
＝20182﹣1﹣20182
＝﹣1．
故答案为：﹣1
总结：本题主要考查了平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
14．如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a＞b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　（用含a，b的等式表示）．
解：图中阴影部分的面积是：a2﹣b2，
阴影部分的面积为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
总结：本题主要考查了平方差公式几何背景．利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式．
15．如图，从边长为（a+4）（a＞0）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形ABCD（不重叠无缝隙），则长方形ABCD的周长是　4a+16　．
解：根据题意得，长方形的宽为（a+4）﹣（a+1）＝3，长方形的长为a+4+a+1，
则拼成得长方形的周长为：2（a+4+a+1+3）＝2（2a+8）＝4a+16．
故答案为：4a+16．
总结：此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
三．解答题（共5小题）
16．计算：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）．
解：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）
＝9x2﹣4y2﹣3x2﹣6xy
＝6x2﹣6xy﹣4y2．
总结：此题主要考查了平方差公式和单项式乘多项式，熟练运用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
17．化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．
解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）
＝ab+b2+a2﹣b2
＝ab+a2．
总结：此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．已知A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3．
（1）化简A；
（2）若x2＝（）﹣1，求A的值．
解：（1）A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3
＝x2+4x+4+x2﹣1﹣3
＝2x2+4x；
（2）∵x2＝（）﹣1＝4，
∴x＝±2，
∴A＝2x2+4x＝2×4+4×2＝8+8＝16，或A＝2x2+4x＝2×4+4×（﹣2）＝8﹣8＝0，
即A的值是0或16．
总结：本题考查了平方差公式，完全平方公式和求值问题．解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则，完全平方公式的运用，以及负指数幂的计算．
19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　B　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
解：（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝12÷4＝3；
②（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）
＝×××××…××
＝×
＝．
总结：此题考查了平方差公式的几何背景以及因式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
20．我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
（1）如图1所示，甲同学从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），求矩形的面积；
（2）乙同学用如图2所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图3所示的正方形．
①用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
②根据①中的结论计算：已知（2016﹣m）（2018﹣m）＝2009，求（2018﹣m）2+（m﹣2016）2
解：（1）矩形的面积＝（a+4）2﹣（a+1）2＝a2+8a+16﹣a2﹣2a﹣1＝6a+15；
（2）①如图2，阴影部分的面积＝a2+b2，
如图3，阴影部分的面积＝（a+b）2﹣2ab，
则得到等式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
证明：（a+b）2﹣2ab＝a2+2ab+b2﹣2ab＝a2+b2；
②（2018﹣m）2+（m﹣2016）2
＝（2018﹣m+m﹣2016）2﹣2×（m﹣2016）（2018﹣m）
＝4+2009×2
＝4022．
总结：本题考查的是平方差公式、列代数式，根据正方形的面积公式、结合图形正确列出代数式是解题的关键．
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