【高频易错题汇编】1.6 完全平方公式（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.6 完全平方公式 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．（x2）3＝x9 B．（﹣x）2?x＝x3
C．（﹣2ab2）2＝﹣4a2b4 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
2．下列运算一定正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．a2?a4＝a8
C．（a2）4＝a8 D．（a+b）2＝a2+b2
3．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a2）4＝8a8 B．a3+a＝a4
C．a5÷a2＝a3 D．（a+b）2＝a2+b2
4．下列计算正确的是（　　）
A．a2+b2＝（a+b）2 B．a2+a4＝a6
C．a10÷a5＝a2 D．a2?a3＝a5
5．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（　　）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（　　）
A．a2+2a+1 B．a2﹣2a+1 C．a2+1 D．a+1
7．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
8．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用图2所得到的数学等式是（　　）
A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2
B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
C．（a+b+c）2＝a2+b2+b2+ab+ac+bc
D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c
9．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
10．若4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（　　）
A．±6 B．±12 C．±36 D．±72
二．填空题（共5小题）
11．已知：a+b＝3，则代数式a2+2ab+b2的值为　 　．
12．计算：（a+2b）2＝　 　．
13．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　 　．
14．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和15，则正方形A，B的面积之和为　 　．
15．若x2+6x+m（m为常数）是一个完全平方式，则m的值是　 　．
三．解答题（共5小题）
16．若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
17．计算
（1）（π﹣2）0﹣3﹣2；
（2）（a﹣1）2+a（3﹣a）．
18．“若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值”
解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，∴（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340
（1）若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值
（2）若x满足（2015﹣x）2+（2013﹣x）2＝4032，求（2015﹣x）（2013﹣x）的值
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）
19．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　 　；方法2：　 　
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　 　
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．
20．如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k＝　 　．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．（x2）3＝x9 B．（﹣x）2?x＝x3
C．（﹣2ab2）2＝﹣4a2b4 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
解：A、（x2）3＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣x）2?x＝x3，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（﹣2ab2）2＝4a2b4，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
总结：此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则，以及完全平方公式等知识，能够正确运用法则和公式是解题的关键．
2．下列运算一定正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．a2?a4＝a8
C．（a2）4＝a8 D．（a+b）2＝a2+b2
解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不合题意；
B、a2?a4＝a6，原计算错误，故此选项不合题意；
C、（a2）4＝a8，原计算正确，故此选项合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：C．
总结：本题主要考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方以及合并同类项的法则，熟记公式和运算法则是解答本题的关键．
3．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a2）4＝8a8 B．a3+a＝a4
C．a5÷a2＝a3 D．（a+b）2＝a2+b2
解：A．（﹣2a2）4＝16a8，故本选项不合题意；
B．a3与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．a5÷a2＝a3，正确；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意．
故选：C．
总结：本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a2+b2＝（a+b）2 B．a2+a4＝a6
C．a10÷a5＝a2 D．a2?a3＝a5
解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a2?a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
总结：此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（　　）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故选：C．
总结：考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
6．已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（　　）
A．a2+2a+1 B．a2﹣2a+1 C．a2+1 D．a+1
解：新正方形的边长为a+1，
∴新正方形的面积为（a+1）2＝a2+2a+1，
故选：A．
总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，解决问题的关键是掌握完全平方公式．
7．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
解：阴影部分的面积是：（a+b）2﹣（a﹣b）2；
4个长方形的面积是：4ab，
∴验证的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故选：D．
总结：本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
8．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用图2所得到的数学等式是（　　）
A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2
B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
C．（a+b+c）2＝a2+b2+b2+ab+ac+bc
D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c
解：∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故选：B．
总结：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
9．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，
∴2m＝±6，
∴m＝±3，
故选：B．
总结：本题考查了完全平方公式，完全平方公式是两数的平方和加减积的2倍，注意符合条件的m值有两个．
10．若4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（　　）
A．±6 B．±12 C．±36 D．±72
解：∵4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，
∴﹣kxy＝±2×2x?3y，
解得k＝±12．
故选：B．
总结：本题主要考查完全平方式，解决问题的关键是根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
二．填空题（共5小题）
11．已知：a+b＝3，则代数式a2+2ab+b2的值为　9　．
解：因为a+b＝3，
所以a2+2ab+b2＝（a+b）2＝32＝9．
故答案为：9．
总结：本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．
12．计算：（a+2b）2＝　a2+4ab+4b2　．
解：原式＝a2+4ab+4b2
＝a2+4ab+4b2，
故答案为：a2+4ab+4b2．
总结：本题考查了完全平方公式的运用，熟练运用公式是解题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
13．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　20　．
解：根据题意可得，四边形ABCD的面积
＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）
＝（a2+b2﹣ab）
＝（a2+b2+2ab﹣3ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]；
代入a+b＝10，ab＝20，可得：
四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．
故答案为：20．
总结：此题考查整式的混合运算，关键是利用面积的和差关系求出四边形的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值．
14．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和15，则正方形A，B的面积之和为　18　．
解：如图所示：
设正方形A、B的边长分别为x，y，依题意得：
，
化简得：
由①+②得：
x2+y2＝18，
∴，
故答案为18．
总结：本题综合考查了完全平方公式几何背景的应用，正方形的面积公式，列二元二次方程组等知识，重点掌握完全平方公式几何背景应用，难点是巧用二元二次方程求解两个正方形的面积和．
15．若x2+6x+m（m为常数）是一个完全平方式，则m的值是　9　．
解：∵x2+6x+m（m为常数）是一个完全平方式，
∴m＝32＝9，
故答案为：9．
总结：此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
解：（1）∵（x+3）（y+3）＝12，
∴xy+3x+3y+9＝12，
则xy+3（x+y）＝3，
将x+y＝2代入得xy+6＝3，
则xy＝﹣3；
（2）当xy＝﹣3、x+y＝2时，
原式＝（x+y）2+xy
＝22+（﹣3）
＝4﹣3
＝1．
总结：本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
17．计算
（1）（π﹣2）0﹣3﹣2；
（2）（a﹣1）2+a（3﹣a）．
解：（1）（π﹣2）0﹣3﹣2
＝1﹣
＝；
（2）（a﹣1）2+a（3﹣a）
＝a2﹣2a+1+3a﹣a2
＝a+1．
总结：本题考查了实数的运算和整式的运算．解题的关键是掌握实数的运算的法则和整式的运算的法则．
18．“若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值”
解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，∴（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340
（1）若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值
（2）若x满足（2015﹣x）2+（2013﹣x）2＝4032，求（2015﹣x）（2013﹣x）的值
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）
解：（1）设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，
则（30﹣x）（x﹣20）＝mn＝﹣10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10，
∴（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（﹣10）2﹣2×（﹣10）＝120；
（2）设（2015﹣x）＝c，（2013﹣x）＝d，
则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2＝c2+d2＝4032，c﹣d＝（2015﹣x）﹣（2013﹣x）＝2，
2cd＝（c2+d2）﹣（c﹣d）2＝4032﹣22＝4028，
cd＝2014，
∴（2015﹣x）（2013﹣x）＝cd＝2014．
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，
∴DE＝（x﹣10），DG＝x﹣20，
∴（x﹣10）（x﹣20）＝500，
设（x﹣10）＝a，（x﹣20）＝b，
∴ab＝500，a﹣b＝（x﹣10）﹣（x﹣20）＝10，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝102+2×500＝1100，
∴阴影部分的面积为：a2+b2+2ab＝1100+2×500＝2100．
总结：本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式，进行转化运用．
19．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　（a+b）2　；方法2：　a2+b2+2ab　
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　（a+b）2＝a2+2ab+b2　
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．
解：（1）图2大正方形的面积＝（a+b）2
图2大正方形的面积＝a2+b2+2ab
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+2ab+b2
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）如图所示，
（4）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝11，
∴ab＝7；
②设2018﹣a＝x，a﹣2017＝y，则x+y＝1，
∵（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy＝＝﹣2，
即（2018﹣a）（a﹣2017）＝﹣2．
20．如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k＝　4或﹣2　．
解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2＝a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，
∴﹣2（k﹣1）ab＝±2×a×3b，
∴k﹣1＝3或k﹣1＝﹣3，
解得k＝4或k＝﹣2．
即k＝4或﹣2．
故答案为：4或﹣2．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_