【高频易错题汇编】1.7 整式的除法（含解析）

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1.7 整式的除法 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．a3 a2＝a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．a2b3÷a＝b3
2．下列计算正确的是（　　）
A．a0＝1 B．2019﹣1＝﹣2019
C．2y3÷4y＝2y2 D．
3．计算：（﹣x）7÷（﹣x）结果是（　　）
A．x6 B．x6 C．﹣x6 D．x6
4．（2a2）2÷a3的正确结果为（　　）
A．2a B．4a C．4a2 D．2a2
5．下面结论中，一定成立的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣2a）2 （﹣a2）＝a4
C．（a﹣b）0＝1 D．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6
6．下列计算正确的是（　　）
A．（x+2y）（x+2y）＝x2+4y2 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（x+2）（x﹣3）＝x2+x﹣6 D．（﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2
7．如图，长方形ABCD中放入一个边长为6的大正方形ALMN和两个边长为4的小正方形DEFG及正方形HIJK．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝19，则长方形ABCD的面积为（　　）
A．73 B．69 C．63 D．59
8．下列计算正确的是（　　）
A．a5 a3＝a8 B．[（﹣x）2]3＝x5
C．（y3）2 （y2）4＝y10 D．（﹣m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2
9．化简求值：（a4b7+a3b8﹣a2b6）÷（﹣ab3）2，其中a＝，b＝﹣4．（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．
10．当时，多项式（4x3﹣1997x﹣1994）2001的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．22001 D．﹣22001
二．填空题（共5小题）
11．一个矩形的面积为m2+8m，若一边长为m，则其邻边长为　 　．
12．计算：（12a3+6a2﹣3a）÷3a＝　 　
13．计算：＝　 　．
14．用一张包装纸包一本长、宽、厚如图所示的书（单位：cm），如果将封面和封底每一边都包进去3cm，则需长方形的包装纸　 　cm2．
15．已知a＝﹣1，则2a3+7a2﹣2a﹣12的值等于　 　．
三．解答题（共5小题）
16．计算：（﹣3x2y）2 （6xy3）÷（9x3y4）
17．观察下列各式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1
……
根据你发现的规律解答下列各题：
（1）直接写出结果：（x5﹣1）÷（x﹣1）＝　 　
（2）若n是正整数，且n≥2：（xn﹣1）÷（x﹣1）＝　 　
（3）根据你发现的规律，计算1+2+22+23+…+22016+22017的值．
18．（1）．
（2）（﹣x）4 x2+2x3 （﹣x）3．
（3）（2x﹣1）（2x+1）（x2+x+1）．
（4）（3x﹣2y+1）（3x+2y﹣1）．
（5）解方程：2x（x+1）﹣（3x﹣2）x+2x2＝x2+1．
19．计算：[（a+2b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）]÷4b．
20．先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x，y满足|x﹣2|+（y+1）2＝0．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．a3 a2＝a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．a2b3÷a＝b3
解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a3 a2＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣a3b）2＝a6b2，原计算正确，故此选项符合题意；
D、a2b3÷a＝ab3，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
总结：本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法和除法，积的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
2．下列计算正确的是（　　）
A．a0＝1 B．2019﹣1＝﹣2019
C．2y3÷4y＝2y2 D．
解：选项A没写a≠0，因为求零次幂时，底数不为0，所以A错；
选项B按照公式 来计算可得：，故B错；
选项C属于单项式除以单项式，应该按照系数除以系数，相同字母的按同底数幂除法来计算，可知系数应为，故C错；
综上分析，排除A，B，C，从而只有D正确．
故选：D．
总结：本题考查准确掌握零次幂的底数要求，负指数幂运算，单项式除以单项式，积的乘方等相关运算．属于中档题目．
3．计算：（﹣x）7÷（﹣x）结果是（　　）
A．x6 B．x6 C．﹣x6 D．x6
解：原式＝（﹣x）7﹣1＝（﹣x）6＝x6．
故选：A．
总结：本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．
4．（2a2）2÷a3的正确结果为（　　）
A．2a B．4a C．4a2 D．2a2
解：（2a2）2÷a3＝4a4÷a3＝4a．
故选：B．
总结：本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．
5．下面结论中，一定成立的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣2a）2 （﹣a2）＝a4
C．（a﹣b）0＝1 D．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6
解：A、原式＝a2+2ab+b2，
所以A选项错误；
B、原式＝﹣a4，
所以B选项错误；
C、当a﹣b≠0时，原式＝1，
所以C选项错误；
D选项一定成立．
故选：D．
总结：本题考查了整式的混合运算、零指数幂，解决本题的关键是掌握整式的混合运算相关公式．
6．下列计算正确的是（　　）
A．（x+2y）（x+2y）＝x2+4y2 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（x+2）（x﹣3）＝x2+x﹣6 D．（﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2
解：（x+2y）（x+2y）＝x2+4xy+4y2，A错误；
（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，B错误；
（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，C错误；
（﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2，D正确；
故选：D．
总结：本题考查的是整式的混合运算，掌握完全平方公式、多项式乘多项式的法则、平方差公式是解题的关键．
7．如图，长方形ABCD中放入一个边长为6的大正方形ALMN和两个边长为4的小正方形DEFG及正方形HIJK．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝19，则长方形ABCD的面积为（　　）
A．73 B．69 C．63 D．59
解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：
S1的长为：6﹣4＝2，宽为：b﹣6，故S1＝2（b﹣6）
S2的长为：6+4﹣a＝10﹣a，宽为：4+4﹣b＝8﹣b，故S2＝（10﹣a）（8﹣b）；
S3的长为：a﹣6，宽为：b﹣4，故S3＝（a﹣6）（b﹣4）．
∵2S3+S1﹣S2＝19，
∴2（a﹣6）（b﹣4）+2（b﹣6）﹣（10﹣a）（8﹣b）＝19
∴2（ab﹣4a﹣6b+24）+2b﹣12﹣（80﹣10b﹣8a+ab）＝19
∴ab﹣44＝19
∴ab＝63
故选：C．
总结：本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键．
8．下列计算正确的是（　　）
A．a5 a3＝a8 B．[（﹣x）2]3＝x5
C．（y3）2 （y2）4＝y10 D．（﹣m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2
解：A、a5 a3＝a8，本选项正确；
B、[（﹣x）2]3＝x6，本选项错误；
C、（y3）2 （y2）4＝y6 y8＝y14，本选项错误；
D、（﹣m+n）（m﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，本选项错误．
故选：A．
总结：本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
9．化简求值：（a4b7+a3b8﹣a2b6）÷（﹣ab3）2，其中a＝，b＝﹣4．（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．
解：原式＝（a4b7+a3b8﹣a2b6）÷（a2b6）＝a2b+ab2﹣1，
当a＝，b＝﹣4时，上式＝××（﹣4）+××16﹣1＝．
故选：D．
总结：本题考查了整式的混合运算，需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、约分等知识点熟练掌握．
10．当时，多项式（4x3﹣1997x﹣1994）2001的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．22001 D．﹣22001
解：∵x＝，可得（2x﹣1）2＝1994，
原式可化为：[x（4x2﹣4x﹣1993）+（4x2﹣4x﹣1993）﹣1]2001，
代入4x2﹣4x﹣1993＝0可得：原式＝（﹣1）2001＝﹣1．
故选：B．
总结：本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学上很重要的一种思想．
二．填空题（共5小题）
11．一个矩形的面积为m2+8m，若一边长为m，则其邻边长为　m+8　．
解：∵矩形面积为m2+8m，一边长为m，
∴邻边长为：（m2+8m）÷m＝m+8，
故答案为m+8．
总结：本题考查的是整式的除法，多项式除以一个单项式．比较简单，注意多项式中的每一项都要和单项式做一次除法．
12．计算：（12a3+6a2﹣3a）÷3a＝　4a2+2a﹣1　
解：原式＝4a2+2a﹣1．
总结：此题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
13．计算：＝　　．
解：＝1×＝．
总结：本题考查了同底数幂的除法，根据运算顺序依次运算即可．
14．用一张包装纸包一本长、宽、厚如图所示的书（单位：cm），如果将封面和封底每一边都包进去3cm，则需长方形的包装纸　（2a2+19a﹣10）　cm2．
解：所用的纸的面积为：（a﹣4+a﹣4+1+6）（a+4+6）＝2a2+19a﹣10（cm2）．
总结：本题考查了多项式的乘法，是用多项式来表示生活中实际应用的题，注意长方形的长两边要加上6cm，而宽只用加上3cm．
15．已知a＝﹣1，则2a3+7a2﹣2a﹣12的值等于　0　．
解：由已知得（a+1）2＝5，所以a2+2a＝4
则原式＝2a3+4a2+2a+3a2﹣4a﹣12
＝2a（a2+2a+1）+3a2﹣4a﹣12
＝2a（a+1）2+3a2﹣4a﹣12
＝2a×5+3a2﹣4a﹣12
＝3a2+6a﹣12
＝3（a2+2a）﹣12
＝3×4﹣12
＝0
故答案0
总结：注意解题中的整体代入思想，以及完全平方公式、提取公因式（公因数）的灵活运用．
三．解答题（共5小题）
16．计算：（﹣3x2y）2 （6xy3）÷（9x3y4）
解：（﹣3x2y）2 （6xy3）÷（9x3y4）
＝9x4y2 6xy3÷9x3y4
＝54x5y5÷9x3y4
＝6x2y．
总结：本题考查了整式的除法，解决本题的关键是运算顺序．
17．观察下列各式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1
……
根据你发现的规律解答下列各题：
（1）直接写出结果：（x5﹣1）÷（x﹣1）＝　x4+x3+x2+x+1　
（2）若n是正整数，且n≥2：（xn﹣1）÷（x﹣1）＝　xn﹣1+xn﹣2+…+x+1　
（3）根据你发现的规律，计算1+2+22+23+…+22016+22017的值．
解：（1）（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1；
故答案为：x4+x3+x2+x+1；
（2）（xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+…+x+1；
故答案为：xn﹣1+xn﹣2+…+x+1；
（3）1+2+22+23+…+22016+22017
＝（22018﹣1）÷（2﹣1）
＝22018﹣1．
总结：此题考查了整式的除法，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解本题的关键．解题时注意：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+1）＝（xn﹣1）．
18．（1）．
（2）（﹣x）4 x2+2x3 （﹣x）3．
（3）（2x﹣1）（2x+1）（x2+x+1）．
（4）（3x﹣2y+1）（3x+2y﹣1）．
（5）解方程：2x（x+1）﹣（3x﹣2）x+2x2＝x2+1．
解：（1）原式＝4x2y6﹣2x2y6
＝2x2y6；
（2）原式＝x4 x2﹣2x3 x3
＝x6﹣2x6
＝﹣x6；
（3）原式＝（4x2﹣1）（x2+x+1）
＝4x4+4x3+4x2﹣x2﹣x﹣1
＝4x4+4x3+3x2﹣x﹣1；
（4）原式＝[3x﹣（2y﹣1）][3x+（2y﹣1）]
＝（3x）2﹣（2y﹣1）2
＝9x2﹣4y2+4y﹣1
（5）2x2+2x﹣3x2+2x+2x2＝x2+1
4x＝1
x＝．
19．计算：[（a+2b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）]÷4b．
解：原式＝[a2+4ab+4b2﹣（a2﹣4b2）]÷4b，
＝（a2+4ab+4b2﹣a2+4b2）÷4b，
＝（4ab+8b2）÷4b，
＝a+2b．
20．先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x，y满足|x﹣2|+（y+1）2＝0．
解：原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣（4x2﹣4xy+y2），
＝5x2﹣4xy﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2，
＝x2﹣2y2，
∵|x﹣2|+（y+1）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣1，
当x＝2，y＝﹣1时，
原式＝22﹣2×（﹣1）2＝4﹣2＝2．
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