【高频易错题汇编】2.1 两条直线的位置关系（含解析）

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2.1 两条直线的位置关系 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．下列语句：①两点确定一条直线，
②两点之间，线段最短，
③等角的余角相等，
④等角的补角相等；
正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝180°﹣∠3 C．∠1＝90°+∠3 D．∠3＝90°+∠1
3．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α＝∠β的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
4．在图中，∠ACE的补角、余角分别是（　　）
A．∠ECB、∠ECD B．∠ECD、∠ECB C．∠ACB、∠ACD D．∠ACB、∠ACD
5．一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若+＝0，则＝﹣1；⑤平面内n条直线两两相交，最多个交点．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，直线a、b相交形成四个角，互为对顶角的是（　　）
A．∠l与∠2 B．∠2与∠3 C．∠3与∠4 D．∠2与∠4
8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，过点O作OF⊥OE，若∠AOC＝42°，则∠BOF的度数为（　　）
A．48° B．52° C．64° D．69°
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5．点P在边BC上运动，则线段AP的长不可能是（　　）
A．2.5 B．3.5 C．4 D．5
10．下列说法中，正确的是（　　）
A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．两直线相交，对顶角互补
C．垂线段最短
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
二．填空题（共5小题）
11．如图，∠1和∠2互为补角，∠1＝40°，则∠2＝　 　°．
12．50°20′的余角是　 　．
13．如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起，其中∠AOB和∠COD是直角．若∠1＝55°，则∠2的度数＝　 　．
14．观察图形，并阅读相关的文字，回答：10条直线相交，最多有　 　交点．
15．如图，已知直线AB和DF相交于点O（∠AOD为锐角），∠COB＝90°，OE平分∠AOF．则2∠EOF﹣∠COD＝　 　°．
三．解答题（共5小题）
16．我们经常运用“方程”的思想方法解决问题．
已知∠1是∠2的余角，∠2是∠3的补角，若∠1+∠3＝130°，求∠2的度数．
可以进行如下的解题：（请完成以下解题过程）
解：设∠2的度数为x，
则∠1＝　 　°，∠3＝　 　°．
根据“　 　”
可列方程为：　 　．
解方程，得x＝　 　．
故：∠2的度数为　 　°．
17．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．
（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
18．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝2∠AOC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转45°至图2的位置，此时∠MOC＝　 　°；
（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点O按5°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．
19．如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝30°，求∠BOE的度数．
20．已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB．
（1）如图1，∠BOC＝2∠AOC，求∠COE的度数；
（2）如图2．在（1）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，满足射线OM平分∠BOD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与2∠EOF度数相等的角．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列语句：①两点确定一条直线，
②两点之间，线段最短，
③等角的余角相等，
④等角的补角相等；
正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①两点确定一条直线，正确；
②两点之间，线段最短，正确；
③等角的余角相等，正确；
④等角的补角相等，正确．
所以正确的说法有①②③④共4个．
故选：D．
总结：本题主要考查了直线的性质，线段的性质以及补角与余角的性质，熟记相关定义与性质是解答本题的关键．
2．如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝180°﹣∠3 C．∠1＝90°+∠3 D．∠3＝90°+∠1
解：∵∠1+∠2＝180°
∴∠1＝180°﹣∠2
又∵∠2+∠3＝90°
∴∠3＝90°﹣∠2
∴∠1﹣∠3＝90°，即∠1＝90°+∠3．
故选：C．
总结：本题考查了余角和补角，解决本题的关键是主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
3．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α＝∠β的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
解：A图形中，根据同角的余角相等可得∠α＝∠β；
B图形中，∠α＞∠β
C图形中，∠α＜∠β
D图形中，∠α＝∠β＝45°．
所以∠α＝∠β的是①④．
故选：C．
总结：本题考查的是余角和补角，掌握余角和补角的概念、正确进行角的大小比较是解题的关键．
4．在图中，∠ACE的补角、余角分别是（　　）
A．∠ECB、∠ECD B．∠ECD、∠ECB C．∠ACB、∠ACD D．∠ACB、∠ACD
解：∠ACE的补角是∠ECB，∠ACE的余角是∠ECD．
故选：A．
总结：本题主要考查了余角和补角的定义等，根据图形和定义解答是关键．
5．一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：选项B中，∠α、∠β都与中间的锐角互余，根据同角的余角相等可得∠α＝∠β，
故选：B．
总结：本题考查互为余角的意义．掌握同角的余角相等是解本题的关键．
6．下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若+＝0，则＝﹣1；⑤平面内n条直线两两相交，最多个交点．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0，故本选项正确；
②若﹣a不是正数，则a为非负数，故本选项正确；
③|﹣a2|＝（﹣a）2，故本选项正确；
④若+＝0，则a，b异号，即＝﹣1，故本选项正确；
⑤平面内n条直线两两相交，最多n（n﹣1）个交点，故本选项错误．
故选：C．
总结：本题主要考查了绝对值的性质，非负数的概念以及相交线，解题时注意：平面内n条直线两两相交，最多有n（n﹣1）个交点．
7．如图，直线a、b相交形成四个角，互为对顶角的是（　　）
A．∠l与∠2 B．∠2与∠3 C．∠3与∠4 D．∠2与∠4
解：由图可得，∠l与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4都是邻补角；∠2与∠4，∠3与∠1都是对顶角，
故选：D．
总结：本题主要考查了对顶角，邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，过点O作OF⊥OE，若∠AOC＝42°，则∠BOF的度数为（　　）
A．48° B．52° C．64° D．69°
解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝42°（已知），
∴∠BOD＝42°，
∵OE平分∠BOD（已知），
∴∠BOE＝∠BOD＝21°（角平分线的性质），
∵OF⊥OE（已知 ），
∴∠EOF＝90°（垂直定义），
∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣21°＝69°，
∴∠BOF＝69°．
故选：D．
总结：此题主要考查了垂直定义以及对顶角和角平分线的性质．能够正确得出∠BOE的度数是解题的关键．
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5．点P在边BC上运动，则线段AP的长不可能是（　　）
A．2.5 B．3.5 C．4 D．5
解：∵∠C＝90°，点P在边BC上运动，
∴AB≥AP≥AC，
又∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AP的长不可能是2.5，
故选：A．
总结：本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键．
10．下列说法中，正确的是（　　）
A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．两直线相交，对顶角互补
C．垂线段最短
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
解：A．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；
B．两直线相交，对顶角相等，故本选项错误；
C．垂线段最短，故本选项正确；
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项错误；
故选：C．
总结：本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
二．填空题（共5小题）
11．如图，∠1和∠2互为补角，∠1＝40°，则∠2＝　140　°．
解：∵∠1和∠2互为补角，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140．
总结：本题考查的是补角的概念．解题的关键是掌握补角的概念：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
12．50°20′的余角是　39°40'　．
解：50°20′的余角是90°﹣50°20′＝39°40′．
故答案是：39°40′．
总结：本题考查了余角的概念，和等于90°的两个角互余，熟记概念是解题的关键．
13．如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起，其中∠AOB和∠COD是直角．若∠1＝55°，则∠2的度数＝　55°　．
解：∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠BOC+∠1＝90°＝∠BOC+∠2，
∴∠1＝∠2＝55°，
故答案为：55°．
总结：本题主要考查了余角的概念，等角的余角相等这一性质；解决问题的关键是能够根据图形正确表示角之间的和差的关系．
14．观察图形，并阅读相关的文字，回答：10条直线相交，最多有　45　交点．
解：∵10条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，
5条直线相交最多有10个交点，而3＝×2×3，6＝×3×4，10＝1+2+3+4＝×4×5，
∴十条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×10×9＝45．
故答案为：45．
总结：此题主要考查了相交线，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．
15．如图，已知直线AB和DF相交于点O（∠AOD为锐角），∠COB＝90°，OE平分∠AOF．则2∠EOF﹣∠COD＝　90　°．
解：∵OE平分∠AOF，
∴∠AOF＝2∠EOF，
∵∠AOF＝∠BOD，∠COB＝90°，
∴2∠EOF﹣∠COD＝∠AOF﹣∠COD＝∠BOD﹣∠COD＝∠COB＝90°．
故答案为：90．
总结：本题考查了角平分线的定义、对顶角、角的计算．解题的关键是掌握角平分线的定义、对顶角的性质，角的和差关系．
三．解答题（共5小题）
16．我们经常运用“方程”的思想方法解决问题．
已知∠1是∠2的余角，∠2是∠3的补角，若∠1+∠3＝130°，求∠2的度数．
可以进行如下的解题：（请完成以下解题过程）
解：设∠2的度数为x，
则∠1＝　（90﹣x）　°，∠3＝　（180﹣x）　°．
根据“　∠1+∠3＝130°　”
可列方程为：　（90﹣x）+（180﹣x）＝130　．
解方程，得x＝　70　．
故：∠2的度数为　70　°．
解：设∠2的度数为x，
则∠1＝（90﹣x）°，∠3＝（180﹣x）°．
根据“∠1+∠3＝130°”
可列方程为：（90﹣x）+（180﹣x）＝130．
解方程，得x＝70．
故：∠2的度数为70°．
故答案为：（90﹣x）；（180﹣x）；∠1+∠3＝130°；（90﹣x）+（180﹣x）＝130；70；70．
总结：此题考查了余角和补角的意义．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的找出角之间的数量关系．
17．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．
（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
解：（1）ON平分∠AOC．
理由如下：∵∠MON＝90°，
∴∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°．
又∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM＝∠MOC，
∴∠AON＝∠NOC．
∴ON平分∠AOC．
（2）∠BOM＝∠NOC+30°．
理由如下：∵∠CON+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，
∴∠BOM＝90°﹣∠NOB＝90°﹣（60°﹣∠NOC）＝∠NOC+30°．
∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM＝∠NOC+30°．
总结：本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，根据等角的余角相等证得∠AON＝∠NOC是解题的关键．
18．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝2∠AOC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转45°至图2的位置，此时∠MOC＝　75　°；
（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点O按5°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．
解：（1）∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠BOC＝2∠AOC，
∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°，
由旋转可知∠BOM＝45°，
∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠MOC＝120°﹣45°＝75°．
故答案为：75．
（2）由（1）得∠AOC＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，
∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
（3）由（1）得∠AOC＝60°，
①如左图，延长NO，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝30°，
即逆时针旋转60°时NO延长线平分∠AOC，
由题意得，5t＝60，
∴t＝12；
如右图，当NO平分∠AOC，
∴∠AON＝30°，
即逆时针旋转240°时NO平分∠AOC，
∴5t＝240，
∴t＝48，
∴三角板绕点O的运动时间为12秒或48秒．
总结：本题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
19．如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝30°，求∠BOE的度数．
解：∵∠AOC＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝150°，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠DOE＝∠AOD＝75°，
∵∠DOB＝∠AOC＝30°，
∴∠BOE＝∠DOB+∠DOE＝105°．
20．已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB．
（1）如图1，∠BOC＝2∠AOC，求∠COE的度数；
（2）如图2．在（1）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，满足射线OM平分∠BOD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与2∠EOF度数相等的角．
解：（1）如图1，∵∠AOC+∠BOC＝180°，且∠BOC＝2∠AOC，
∴∠AOC＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣60°＝30°；
（2）如图2，由（1）知：∠AOC＝60°，
∵射线OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM＝∠AON＝∠CON＝30°，
∵OE⊥AB，OC⊥OF，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠EOF＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝∠FON＝∠EOM＝180°﹣60°＝120°＝2∠EOF，
∴与2∠EOF度数相等的角是：∠AOD，∠BOC，∠FON，∠EOM．
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