【高频易错题汇编】2.2 探索直线平行的条件 （含解析）

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2.2 探索直线平行的条件 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
2．如图，直线AB、CD与EF相交，则∠2的内错角是（　　）
A．∠8 B．∠7 C．∠6 D．∠4
3．如图，直线l1，l2被直线l3所截，则（　　）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是内错角
C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是内错角
4．如图，下列说法正确的是（　　）
A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠1与∠2是对顶角
C．∠2与∠A是内错角 D．∠2与∠3是同位角
5．初中第一学年的学习生活就要结束了，在你们成长的花季里，一定有很多收获．很高兴和你们合作完成第一道考试题．现在我作一个120°的角，你作一个60°的角，下面结论正确的是（　　）
A．这两个角是邻补角 B．这两个角是同位角
C．这两个角互为补角 D．这两个角是同旁内角
6．如图，直线l1、l2被直线l3所截，下列选项中哪个不能得到l1∥l2？（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠5 D．∠3+∠4＝180°
7．如图，点E在BA的延长线上，能证明BE∥CD是（　　）
A．∠EAD＝∠B B．∠BAD＝∠ACD
C．∠EAD＝∠ACD D．∠EAC+∠ACD＝180°
8．如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠3 D．∠2+∠3＝180°
9．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠5 C．∠4+∠5＝180° D．∠3+∠5＝180°
10．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（　　）
A．45° B．30° C．65° D．75°
二．填空题（共5小题）
11．如图，有下列3个结论：①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1；③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是　 　．
12．下列正确说法的是　 　．
①同位角相等； ②等角的补角相等； ③两直线平行，同旁内角相等；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
13．在下面图形所标记的几个角中，与∠3是同位角的为　 　．
14．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥AB．
15．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝　 　时，道路CE才能恰好与AD平行．
三．解答题（共5小题）
16．如图所示，找出图中的同位角、内错角、同旁内角（仅限于用数字表示）．
17．两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
18．在直角△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AC于E，交AB于D．
（1）试指出BC、DE被AB所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角；
（2）试说明∠1＝∠2＝∠3的理由．（提示：三角形内角和是180°）
19．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
20．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝3∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
总结：判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
2．如图，直线AB、CD与EF相交，则∠2的内错角是（　　）
A．∠8 B．∠7 C．∠6 D．∠4
解：由题可得，∠2的内错角是∠7，
故选：B．
总结：本题主要考查同位角、内错角和同旁内角的定义，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
3．如图，直线l1，l2被直线l3所截，则（　　）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是内错角
C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是内错角
解：A、∠1和∠2不是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1和∠2不是内错角，故此选项不符合题意；
C、∠1和∠3是同位角，故此选项符合题意；
D、∠1和∠3不是内错角，故此选项不符合题意；
故选：C．
总结：本题考查了同位角、内错角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
4．如图，下列说法正确的是（　　）
A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠1与∠2是对顶角
C．∠2与∠A是内错角 D．∠2与∠3是同位角
解：A、∠A与∠B是同旁内角，故说法正确；
B、∠2与∠1是邻补角，故说法错误；
C、∠A与∠2是同位角，故说法错误；
D、∠2与∠3是内错角，故说法错误；
故选：A．
总结：本题考查了同位角、内错角以及同旁内角的定义．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
5．初中第一学年的学习生活就要结束了，在你们成长的花季里，一定有很多收获．很高兴和你们合作完成第一道考试题．现在我作一个120°的角，你作一个60°的角，下面结论正确的是（　　）
A．这两个角是邻补角 B．这两个角是同位角
C．这两个角互为补角 D．这两个角是同旁内角
解：一个是120°的角，另一个是60°的角，这两个角和等于180°，这两个角互为补角．
故选：C．
总结：本题考查互为补角、邻补角、同位角、同旁内角．解题的关键是灵活掌握补角的定义、邻补角的定义、同位角的定义、同旁内角的定义．
6．如图，直线l1、l2被直线l3所截，下列选项中哪个不能得到l1∥l2？（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠5 D．∠3+∠4＝180°
解：A、∵∠1＝∠2，∴l1∥l2，故本选项不合题意；
B、∵∠2＝∠3，∴l1∥l2，故本选项不合题意；
C、∠3＝∠5不能判定l1∥l2，故本选项符合题意；
D、∵∠3+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本选项不合题意．
故选：C．
总结：本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
7．如图，点E在BA的延长线上，能证明BE∥CD是（　　）
A．∠EAD＝∠B B．∠BAD＝∠ACD
C．∠EAD＝∠ACD D．∠EAC+∠ACD＝180°
解：A、若∠EAD＝∠B，则AD∥BC，故此选项错误；
B、若∠BAD＝∠ACD，不可能得到BE∥CD，故此选项错误；
C、若∠EAD＝∠ACD，不可能得到BE∥CD，故此选项错误；
D、若∠EAC+∠ACD＝180°，则BE∥CD，故此选项正确．
故选：D．
总结：本题考查了平行线的判定定理，解答此类题目的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角及同旁内角．
8．如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠3 D．∠2+∠3＝180°
解：A、∠2＝∠1不符合三线八角，不能判定AB∥CD；
B、∠1与∠4不是直线AB、CD构成的内错角，不能判定AB∥CD；
C、∠3＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD；
D、∠2+∠3＝180°，不能判定AB∥CD．
故选：C．
总结：本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
9．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠5 C．∠4+∠5＝180° D．∠3+∠5＝180°
解：A、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；
B、∵∠1＝∠5，
∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；
C、根据∠4+∠5＝180°不能推出AB∥CD，
故本选项不能判定AB∥CD；
D、∵∠3+∠5＝180°，
∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；
故选：C．
总结：本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
10．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（　　）
A．45° B．30° C．65° D．75°
解：∵△DEF中，∠E＝45°，
∴当∠1＝45°时，∠1＝∠E，
∴EF∥AB，
故选：A．
总结：此题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
二．填空题（共5小题）
11．如图，有下列3个结论：①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1；③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是　①②　．
解：①能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个，即∠EFA和∠EDC，故正确；
②能与∠EFB构成同位角的角的个数只有1个：即∠FAE，故正确；
③能与∠C构成同旁内角的角的个数有5个：即∠CDE，∠B，∠CED，∠CEF，∠A，故错误；
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②．
总结：本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关的定义．
12．下列正确说法的是　②④　．
①同位角相等； ②等角的补角相等； ③两直线平行，同旁内角相等；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
解：①两直线平行，同位角相等，故原说法错误；
②等角的补角相等，故原说法正确；
③两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法正确；
故答案为：②④．
总结：此题主要考查了等角的补角，平行线的性质和判定，定义，垂线的性质，关键是熟练掌握课本内容．
13．在下面图形所标记的几个角中，与∠3是同位角的为　∠C　．
解：由图可得，与∠3是同位角的为∠C，
故答案为：∠C．
总结：此题主要考查了三线八角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
14．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　30°或150°　时，CD∥AB．
解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
总结：本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
15．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝　145°　时，道路CE才能恰好与AD平行．
解：如图，延长AB，EC，交于点F，
当AD∥EF时，∠F＝∠A＝110°，
∵∠FBC＝180°﹣∠ABC＝35°，
∴∠BCE＝∠F+∠FBC＝110°+35°＝145°，
即第三次拐的角为145°时，道路CE才能恰好与AD平行．
故答案为：145°．
总结：此题主要考查了平行线性质以及三角形外角性质的运用，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
三．解答题（共5小题）
16．如图所示，找出图中的同位角、内错角、同旁内角（仅限于用数字表示）．
解：由图可得：
同位角：∠1与∠3，∠3与∠5；
内错角：∠1与∠4，∠4与∠5；
同旁内角：∠1与∠2，∠6与∠5．
总结：本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
17．两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
解：（1）如图所示：
（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，
∵∠1+∠3＝180°，
∴x+4x＝180°，
解得：x＝36°，
故∠3＝36°，∠2＝72°，∠1＝144°．
总结：此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．
18．在直角△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AC于E，交AB于D．
（1）试指出BC、DE被AB所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角；
（2）试说明∠1＝∠2＝∠3的理由．（提示：三角形内角和是180°）
解：（1）当BC，DE被AB所截时，∠3的同位角为∠1；∠3的内错角为∠2；∠3的同旁内角为∠4；
（2）∵∠1+∠A+∠C＝180°，∠3+∠A+∠C＝180°，
∴∠1＝∠3
∵∠1＝∠2
∴∠1＝∠2＝∠3
总结：本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，三角形的内角定理，关键是学生能准确进行判断同位角，内错角，同旁内角．
19．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
解：BC∥AD．理由如下：
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AD∥BC．
总结：本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义的运用，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
20．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝3∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝3α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴3α+α＝180°，
∴α＝45°，
∴∠BCD＝3α＝135°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当AB∥CE时，∠BCE＝180°﹣∠B＝120°，
又∵∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝360°﹣120°﹣90°＝150°；
②如图2所示，当AB∥CE时，∠BCE＝∠B＝60°，
又∵∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
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