【高频易错题汇编】2.3 平行线的性质（含解析）

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2.3 平行线的性质 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB∥CD，CE交AB于点E，∠1＝48°15'，∠2＝18°45'，则∠BEC的度数为（　　）
A．48°15' B．66° C．60°30' D．67°
2．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A＝45°，∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．65° C．70° D．110°
3．如图，AB∥CD，AC⊥BC，CE⊥AB于点E．则图中与∠1互余的角的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．两条直线被第三条直线所截，若∠1与∠2是同旁内角，且∠1＝70°，则（　　）
A．∠2＝70° B．∠2＝110°
C．∠2＝70°或∠2＝110° D．∠2的度数不能确定
6．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（　　）
A．75° B．90° C．105° D．115°
7．如图，直线m∥n，若∠1＝30°，∠2＝58°，则∠BAC的度数为（　　）
A．12° B．28° C．29° D．30°
8．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．如图，已知直线AB∥CD，BE是∠ABC的平分线，与CD相交于D，∠CDE＝140°，则∠C的度数为（　　）
A．150° B．100° C．130° D．120°
10．如图，AB∥DE，∠ABC＝20°，∠CDE＝60°，则∠BCD＝（　　）
A．20° B．60° C．80° D．100°
二．填空题（共5小题）
11．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝　 　．
12．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝　 　．
13．已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠2＝54°，则∠1＝　 　．
14．如图，AB∥CD，直线MN交AB于点F，过点F作FE⊥MN，交CD于点E，若∠1＝42°，则∠2＝　 　．
15．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠BCE＝20°，则∠CEF＝　 　．
三．解答题（共5小题）
16．已知，△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DE∥BC，交直线AB于点D，连接BE，过点F作FG∥BE，交直线AC于点G．
（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB＝∠GFC；
（2）在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由；
（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系；
（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系．
17．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
18．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点，
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值．
19．（1）如图1，直线AB∥CD，试确定∠B，∠BPC，∠C之间的数量关系：
（2）如图2，直线AB∥CD，∠ABP与∠DCP的平分线相交于点P1，请确定∠P与∠P1的数量关系；
（3）如图3，若∠A＝α（120°＜α＜180°，且α≠135°），点B，点C分别在∠A的两边上，分别过点B和点C作直线l1和l2．使得l1，l2分别与AB，AC的夹角为α．且l1和l2交于点O，请直接写出∠BOC的度数．
20．如图，E为DF上的点，B为AC上的点，DF∥AC，∠C＝∠D，求证：∠2＝∠1．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB∥CD，CE交AB于点E，∠1＝48°15'，∠2＝18°45'，则∠BEC的度数为（　　）
A．48°15' B．66° C．60°30' D．67°
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A＝48°15'，
又∵∠2＝18°45'，
∴∠BEC＝∠A+∠2＝67°，
故选：D．
总结：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
2．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A＝45°，∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．65° C．70° D．110°
解：如图，∵直线l1∥l2，∠1＝65°，
∴∠AEF＝∠1＝65°，
∵∠A＝45°，
∴∠2＝∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝70°，
故选：C．
总结：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的应用，解此题的关键是求出∠AEF的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
3．如图，AB∥CD，AC⊥BC，CE⊥AB于点E．则图中与∠1互余的角的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
又∵EC⊥AB，
∴EC⊥CD，
∴∠2+∠ACE＝90°，
∴∠1+∠ACE＝90°，
∴∠1与∠ACE互余；
又∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵∠1＝∠CAB，
∴∠1+∠B＝90°，
∴∠1与∠B互余；
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1与∠3互余，
综合所述，图中与∠1互余的角的个数为3，
故选：B．
总结：本题综合考查了平行线的性质，垂直的定义，对顶角的性质，余角的性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是找余角的个数时不重不漏．
4．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：B．
总结：本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
5．两条直线被第三条直线所截，若∠1与∠2是同旁内角，且∠1＝70°，则（　　）
A．∠2＝70° B．∠2＝110°
C．∠2＝70°或∠2＝110° D．∠2的度数不能确定
解：因为两条直线的位置关系不明确，所以无法判断∠1和∠2大小关系，
故选：D．
总结：本题考查了平行线的性质，注意性质定理的条件是两直线平行．解题的关键是正确理解平行线的性质．
6．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（　　）
A．75° B．90° C．105° D．115°
解：∵AB∥EF，
∴∠BDE＝∠E＝45°，
又∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠1＝∠BDE+∠B＝45°+60°＝105°，
故选：C．
总结：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
7．如图，直线m∥n，若∠1＝30°，∠2＝58°，则∠BAC的度数为（　　）
A．12° B．28° C．29° D．30°
解：∵直线m∥n，
∴∠3＝∠2＝58°，
∵∠3＝∠A+∠1，
∴∠BAC＝28°．
故选：B．
总结：本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
8．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°，
故选：C．
总结：本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．
9．如图，已知直线AB∥CD，BE是∠ABC的平分线，与CD相交于D，∠CDE＝140°，则∠C的度数为（　　）
A．150° B．100° C．130° D．120°
解：∵∠CDE＝140°，
∴∠CDB＝180°﹣140°＝40°，
∵DC∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB＝40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∴∠C＝100°，
故选：B．
总结：本题考查了邻补角，平行线的性质，角平分线定义的运用，解此题的关键是求出∠ABC的度数和得出∠C+∠ABC＝180°，注意：①两直线平行，同旁内角互补，②两直线平行，内错角相等．
10．如图，AB∥DE，∠ABC＝20°，∠CDE＝60°，则∠BCD＝（　　）
A．20° B．60° C．80° D．100°
解：过点C作CF∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥ED，
∴∠FCD＝∠CDE，
又∵∠CDE＝60°，
∴∠FCD＝60°，
又∵CF∥AB，∠ABC＝20°
∴∠ABC＝∠BCF＝20°，
又∵∠BCD＝∠BCF+∠FCD，
∴∠BCD＝80°，
故选：C．
总结：本题综合考查了平行线的性质，平行公理推论，角的和差等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是作辅助线构造平行线．
二．填空题（共5小题）
11．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝　53°　．
解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
又∵∠2＝37°，
∴∠3＝37°，
又∵∠1+∠3+∠4＝180°，∠4＝90°，
∴∠1＝53°，
故答案为53°．
总结：本题综合考查了平行线的性质，垂直的定义，平角的定义，角的和差相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是平行线的性质，垂直的性质在学习工具中的应用．
12．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝　90°　．
解：∵AE∥BD，
∴∠1＝∠3，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠3+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
总结：本题主要考查了平行线的性质，矩形的对边互相平行的性质，熟记性质是解题的关键．
13．已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠2＝54°，则∠1＝　36°　．
解：过点A作c∥a如图所示：
∵c∥a，
∴∠1＝∠3，
又∵a∥b，
∴b∥c，
∴∠2＝∠4，
又∵∠2＝54°，
∴∠4＝54°，
又∵∠3+∠4＝90°，
∴∠3＝36°，
∴∠1＝36°
故答案为36°．
总结：本题综合考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和矩等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是作辅助线构建平行线．
14．如图，AB∥CD，直线MN交AB于点F，过点F作FE⊥MN，交CD于点E，若∠1＝42°，则∠2＝　48°　．
解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝42°．
又∵FE⊥MN，
∴∠MFE＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝48°．
故答案为：48°．
总结：本题考查了平行线的性质和垂线．解题的关键是掌握“两直线平行，内错角相等”的性质和“由垂直得直角”．
15．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠BCE＝20°，则∠CEF＝　154°　．
解：∵AB∥CD，∠ABC＝46°，
∴∠BCD＝46°，
又∵∠BCE＝20°，
∴∠ECD＝26°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF＝180°﹣26°＝154°，
故答案为：154°．
总结：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等；同旁内角互补是解答此题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．已知，△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DE∥BC，交直线AB于点D，连接BE，过点F作FG∥BE，交直线AC于点G．
（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB＝∠GFC；
（2）在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由；
（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系；
（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系．
解：（1）如图①所示：
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
又∵FG∥BE，
∴∠EBC＝∠GFC，
∴∠DEB＝∠GFC；
（2）∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°．
如图①所示，理由如下：
又∵FG∥BE，
∴∠EBC+∠BFG＝180°，∠BEG+∠EGF＝180°，
∴∠EBC+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，
又∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBG，
∴∠DEB+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，
又∵∠DEC＝∠DEB+∠BEG，
∴∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°，
即三个角的和是一个定值；
（3）当点E在线段AC的延长线上时（2）结论仍然成立．
如图②所示，理由如下：
∵FG∥BE，
∴∠EGF+∠GEB＝180°，
∠BFG+∠FBE＝180°，
又∵BC∥DE，
∴∠BED＝∠FBC，
∴∠DEC+∠EGF+∠BFG
＝∠DEB+∠BEC+∠EGF+∠BFG
＝∠FBE+∠BEC+∠EGF+∠BFG
＝360°；
（4）点E在线段CA的延长线上时不成立．
如图③所示，理由如下：
∠EGF＝180°﹣∠CGF，
∠BFG＝180°﹣∠CFG，
∴∠EGF+∠BFG＝360°﹣（∠CGF+∠CFG），
又∵∠C＝180°﹣（∠CGF+∠CFG）
∴∠EGF+∠BFG＝180°+∠C，
又∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠C，
∴∠EGF+∠BFG＝180°+∠DEC，
∴∠EGF+∠BFG﹣∠DEC＝180°，
即点E在线段CA的延长线上时不成立．
总结：本题综合考查了平行线的性质，点在直线上的位置，三角形的内角和外角性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是点在线段上或延长线或反向延线上时证明角的数量关系是否成立．
17．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
∴∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝105°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
总结：本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
18．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点，
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值．
解：（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴＝＝2．
总结：本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
19．（1）如图1，直线AB∥CD，试确定∠B，∠BPC，∠C之间的数量关系：
（2）如图2，直线AB∥CD，∠ABP与∠DCP的平分线相交于点P1，请确定∠P与∠P1的数量关系；
（3）如图3，若∠A＝α（120°＜α＜180°，且α≠135°），点B，点C分别在∠A的两边上，分别过点B和点C作直线l1和l2．使得l1，l2分别与AB，AC的夹角为α．且l1和l2交于点O，请直接写出∠BOC的度数．
解：（1）如图1，
延长CP交AB于H，
∴∠BPC＝∠BHC+∠B
∵AB∥CD
∴∠BHC＝180°﹣∠C
∴∠BPC＝180°﹣∠C+∠B；
（2）如图2，
延长BP1交CD于点M，
∴∠CP1B＝∠CMP1+∠P1CD
∵AB∥CD
∴∠ABP1＝∠CMP1
∴∠CP1B＝∠ABP1+∠P1CD
∵BP1平分∠ABP
∴∠ABP＝2∠ABP1
∵CP1平分∠PCD
∴∠DCP＝2∠P1CD
过点P作PN∥AB，则PN∥CD
∴∠BPN＝∠ABP，∠CPN＝∠PCD
∵∠BPC＝∠BPN+∠CPN
∴∠BPC＝∠ABP+∠∠PCD
＝2（∠ABP1+∠P1CD）
∴∠BPC＝2∠CP1B
即∠P＝2∠P1；
（3）①当l1∥AC，l2∥AB时，
如图，
∠BOC＝∠α；
②当l1∥AC（或l2∥AB）时，
如图，
∠BOC＝180°﹣∠α；
③当l1与l2相交于点O时，
如图，∵∠A＝α（120＜α＜180°，且α≠135°），
当角BOC为锐角时，
∠BOC＝3∠α﹣360°．
答：∠BOC的度数为：∠BOC＝∠α或∠BOC＝180°﹣∠α或3∠α﹣360°．
总结：本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
20．如图，E为DF上的点，B为AC上的点，DF∥AC，∠C＝∠D，求证：∠2＝∠1．
证明：∵DF∥AC，
∴∠C＝∠CEF，
又∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠D，
∴BD∥CE，
∴∠3＝∠4，
又∵∠3＝∠2，∠4＝∠1，
∴∠2＝∠1．
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