【高频易错题汇编】3.2 用关系式表示的变量间关系（含解析）

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3.2 用关系式表示的变量间关系 高频易错题集
一．选择题（共8小题）
1．小王每天记忆10个英语单词，x天后他记忆的单词总量为y个，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y＝10+x B．y＝10x C．y＝100x D．y＝10x+10
2．一个正方形的边长为5cm，它的各边边长减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm，y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝20﹣4x B．y＝4x﹣20 C．y＝20﹣x D．以上都不对
3．已知矩形的周长为16cm，其中一边长为xcm，面积为ycm2，则这个矩形的面积y与边长x之间的关系可表示为（　　）
A．y＝x2 B．y＝（8﹣x）2 C．y＝x（8﹣x） D．y＝2（8﹣x）
4．甲乙两地间的路程为90km，汽车从甲地驶往乙地，它的平均速度为60km/h，则汽车距乙地的路程s（km）与行驶时间t（h）之间的函数解析式是（　　）
A．s＝60t（t≥0） B．s＝60t（）
C．s＝90﹣6t（t≥0） D．s＝90﹣60t（）
5．以等腰三角形底角的度数x（单位：度）为自变量，顶角的度数y为因变量的函数关系式为（　　）
A．y＝180﹣2x（0＜x＜90） B．y＝180﹣2x（0＜x≤90）
C．y＝180﹣2x（0≤x＜90） D．y＝180﹣2x（0≤x≤90）
6．已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如表所示，则y与x之间的函数关系式可能是（　　）
x ﹣1 1 3
y ﹣3 3 1
A．y＝x﹣2 B．y＝2x+1 C．y＝x2+x﹣6 D．y＝
7．已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示
x ﹣1 0 1
y ﹣1 1 3
则y与x之间的函数关系式可能是（　　）
A．y＝x B．y＝2x+1 C．y＝x2+x+1 D．
8．函数y＝（x≠﹣1）关于直线y＝x对称的是（　　）
A．y＝（x≠1） B．y＝（x≠1）
C．y＝（x≠0） D．y＝（x≠0）
二．填空题（共5小题）
9．1～6个月的婴儿生长发育得非常快，在1～6个月内，一个婴儿的体重y与月龄x之间的变化情况如下表：
月龄/月 1 2 3 4 5 6
体重/克 4700 5400 6100 6800 7500 8200
在这个变化过程中，婴儿的体重y与月龄x之间的关系式是　 　．
10．蜡烛长30厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度y厘米与燃烧时间x小时（0≤x≤6）的关系式可以表示为　 　．
11．一辆汽车油箱中现存油50L，汽车每行驶100km耗油10L，则油箱剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式是　 　．
12．汽车以60千米/时的平均速度，由A地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系式是　 　．
13．齿轮每分钟120转，如果n表示转数，t表示转动时间，那么用t（分）表示n（转）的关系式是　 　，其中　 　为变量，　 　为常量．
三．解答题（共5小题）
14．一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，纸箱和苹果的总质量不超过10kg．
（1）填表：
苹果数/个 8 20 30 36
总质量/kg 　 　 　 　 　 　 　 　
（2）设苹果数是x个，纸箱和苹果总质量为ykg，则y与x的关系式是　 　；
（3）请估计这只纸箱内最多能装多少个苹果．
15．如图，圆柱的高是3cm，当圆柱的底面半径rcm由小到大变化时，圆柱的体积Vcm3也随之发生了变化．
（1）在这个变化中，自变量是　 　，因变量是　 　；
（2）写出体积V与半径r的关系式；
（3）当底面半径由1cm到10cm变化时，通过计算说明圆柱的体积增加了多少cm3．
16．一个长方形的长是6，宽是x，周长是y，面积是s．
（1）写出y随x变化而变化的关系式；
（2）写出s随x变化而变化的关系式；
（3）当s＝60时，x等于多少？y等于多少？
17．在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系：（假设都在弹性限度内）
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6
弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
（1）由表格知，弹簧原长为　 　cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长　 　cm．
（2）请写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的关系式．
（3）预测当所挂物体质量为10kg时，弹簧长度是多少？
（4）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
18．中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之首，被称为”神州第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从AC开始顺时针旋转至AD便立即回转，灯B发出的光束从BE开始顺时针旋转至BF便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD＝∠BAC，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达BF之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间t；
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达AD之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作∠AMN交BE于点N，且∠AMN＝135°．请探究：∠BAM与∠BMN的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
试题解析
一．选择题（共8小题）
1．小王每天记忆10个英语单词，x天后他记忆的单词总量为y个，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y＝10+x B．y＝10x C．y＝100x D．y＝10x+10
解：根据题意，得y＝10x，
故选：B．
总结：此题主要考查了一次函数关系式，能够根据题意正确求出函数关系式是解题关键．
2．一个正方形的边长为5cm，它的各边边长减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm，y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝20﹣4x B．y＝4x﹣20 C．y＝20﹣x D．以上都不对
解：由题意得：原正方形边长为5，减少xcm后边长为5﹣x，
则周长y与边长x的函数关系式为：y＝20﹣4x．
故选：A．
总结：此题主要考查了由实际问题列函数关系式，函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
3．已知矩形的周长为16cm，其中一边长为xcm，面积为ycm2，则这个矩形的面积y与边长x之间的关系可表示为（　　）
A．y＝x2 B．y＝（8﹣x）2 C．y＝x（8﹣x） D．y＝2（8﹣x）
解：∵长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为：（8﹣x）cm，
∴矩形的面积y与边长x之间的关系可表示为y＝（8﹣x）x．
故选：C．
总结：此题主要考查了函数关系式，正确表示出长方形的另一边长是解题关键．
4．甲乙两地间的路程为90km，汽车从甲地驶往乙地，它的平均速度为60km/h，则汽车距乙地的路程s（km）与行驶时间t（h）之间的函数解析式是（　　）
A．s＝60t（t≥0） B．s＝60t（）
C．s＝90﹣6t（t≥0） D．s＝90﹣60t（）
解：由题意可得，汽车距乙地的路程s（km）与行驶时间t（h）之间的关系式是s＝90﹣60t（），
故选：D．
总结：此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
5．以等腰三角形底角的度数x（单位：度）为自变量，顶角的度数y为因变量的函数关系式为（　　）
A．y＝180﹣2x（0＜x＜90） B．y＝180﹣2x（0＜x≤90）
C．y＝180﹣2x（0≤x＜90） D．y＝180﹣2x（0≤x≤90）
解：y＝180﹣2x，
∵，
∵x为底角度数
∴0＜x＜90．
故选：A．
总结：本题考查了函数关系式，解决本题的关键是利用三角形内角和定理求一次函数的解析式．
6．已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如表所示，则y与x之间的函数关系式可能是（　　）
x ﹣1 1 3
y ﹣3 3 1
A．y＝x﹣2 B．y＝2x+1 C．y＝x2+x﹣6 D．y＝
解：A．将表格对应数据代入，不符合方程y＝x﹣2，故A选项错误；
B．将表格对应数据代入，不符合方程y＝2x+1，故B选项错误；
C．将表格对应数据代入，不符合方程y＝x2+x﹣6，故C选项错误；
D．将表格对应数据代入，符合方程，故D选项正确．
故选：D．
总结：此题主要考查了求函数关系式，本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的对应变化规律是解题关键．
7．已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示
x ﹣1 0 1
y ﹣1 1 3
则y与x之间的函数关系式可能是（　　）
A．y＝x B．y＝2x+1 C．y＝x2+x+1 D．
解：A．将表格对应数据代入，不符合方程y＝x，故A错误；
B．将表格对应数据代入，符合方程y＝2x+1，故B正确；
C．将表格对应数据代入，不符合方程y＝x2+x+1，故C错误；
D．将表格对应数据代入，不符合方程，故D错误．
故选：B．
总结：此题主要考查了求函数关系式，本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的对应变化规律是解题关键．
8．函数y＝（x≠﹣1）关于直线y＝x对称的是（　　）
A．y＝（x≠1） B．y＝（x≠1）
C．y＝（x≠0） D．y＝（x≠0）
解：∵设点（x1，y1）在直线y＝上，故此点关于直线y＝x对称的是（y1，x1）
∴函数y＝（x≠﹣1）关于直线y＝x对称的函数是x＝，
∴y＝，
∴即此函数关于直线y＝x对称的是y＝（x≠1）；
故选：B．
总结：解决本题的关键是掌握关于直线y＝x对称的性质．
二．填空题（共5小题）
9．1～6个月的婴儿生长发育得非常快，在1～6个月内，一个婴儿的体重y与月龄x之间的变化情况如下表：
月龄/月 1 2 3 4 5 6
体重/克 4700 5400 6100 6800 7500 8200
在这个变化过程中，婴儿的体重y与月龄x之间的关系式是　y＝700x+4000　．
解：根据题意，得y与x之间的关系式为：y＝700x+4000．
故答案为：y＝700x+4000．
总结：本题考查了函数关系式．能够仔细观察表格数据，发现后一个月比前一个月的体重增加700g是解题的关键．
10．蜡烛长30厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度y厘米与燃烧时间x小时（0≤x≤6）的关系式可以表示为　y＝30﹣5x（0≤x≤6）　．
解：根据题意，得
y＝30﹣5x（0≤x≤6）．
故答案为：y＝30﹣5x（0≤x≤6）．
总结：本题主要考查了函数关系式．解题的关键是明确题意列出函数关系式．
11．一辆汽车油箱中现存油50L，汽车每行驶100km耗油10L，则油箱剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式是　y＝﹣0.1x+50　．
解：∵汽车每行驶100km耗油10L，
∴汽车行驶路程xkm耗油0.1xL，
∵汽车油箱中现存油50L，
∴油箱剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式是y＝﹣0.1x+50．
故答案是：y＝﹣0.1x+50．
总结：此题主要考查了根据实际问题中包含的数量关系列出函数关系式，解题关键是正确理解和把握题目中隐含的数量关系，只有充分理解已知条件，才能求出函数关系式．
12．汽车以60千米/时的平均速度，由A地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系式是　s＝420﹣60t　．
解；由“速度×时间＝路程”，得
s＝420﹣60t，
故答案为：s＝420﹣60t．
总结：本题考查了函数关系式．能够正确利用“速度乘以时间等于路程”这一关系来列函数关系式是解题的关键．
13．齿轮每分钟120转，如果n表示转数，t表示转动时间，那么用t（分）表示n（转）的关系式是　n＝120t　，其中　t和n　为变量，　120　为常量．
解：∵齿轮每分钟120转，n表示转数，t表示转动时间，
∴用t（分）表示n（转）的关系式是n＝120t，其中t和n为变量，120为常量，
故答案为：n＝120t，t和n，120．
总结：此题主要考查了函数关系式以及常量和变量的定义，关键是正确理解定义的意思．
三．解答题（共5小题）
14．一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，纸箱和苹果的总质量不超过10kg．
（1）填表：
苹果数/个 8 20 30 36
总质量/kg 　3　 　6　 　8.5　 　10　
（2）设苹果数是x个，纸箱和苹果总质量为ykg，则y与x的关系式是　y＝1+0.25x　；
（3）请估计这只纸箱内最多能装多少个苹果．
解：（1）1+0.25×8＝3（kg），
1+0.25×20＝6（kg），
1+0.25×30＝8.5（kg），
1+0.25×36＝10（kg），
填表如下：
苹果数/个 8 20 30 36
总质量/kg 3 6 8.5 10
故答案为：3，6，8.5，10；
（2）根据题意，得y＝1+0.25x；
故答案为：y＝1+0.25x；
（3）设这只纸箱内装了x个苹果，根据题意得
0.25x+1≤10
解得x≤36
所以的最大值是36．
答：估计这只纸箱内最多能装36个苹果．
总结：本题主要考查函数关系式和不等式的应用．解题的关键是掌握不等式的应用，能够找出题中的等量关系列出不等式．
15．如图，圆柱的高是3cm，当圆柱的底面半径rcm由小到大变化时，圆柱的体积Vcm3也随之发生了变化．
（1）在这个变化中，自变量是　r　，因变量是　V　；
（2）写出体积V与半径r的关系式；
（3）当底面半径由1cm到10cm变化时，通过计算说明圆柱的体积增加了多少cm3．
解：（1）在这个变化过程中，自变量是r，因变量是V．
故答案为：r，V；
（2）圆柱的体积V与底面半径r的关系式是 V＝3πr2．
（3）（π×102﹣π×12）×3＝297π（cm3）．
所以当底面半径由1cm到10cm变化时，通过计算说明圆柱的体积增加了297πcm3．
总结：本题考查了函数关系式，利用圆柱的体积公式得出函数关系式是解题的关键．
16．一个长方形的长是6，宽是x，周长是y，面积是s．
（1）写出y随x变化而变化的关系式；
（2）写出s随x变化而变化的关系式；
（3）当s＝60时，x等于多少？y等于多少？
解：（1）y和x之间的函数关系式为y＝2（6+x）＝2x+12（x＞0）；
（2）s与x之间函数关系式为s＝6x（x＞0）；
（3）当s＝60时，即60＝6x，
∴x＝10，
∴y＝2×10+12＝32．
总结：本题考查了函数关系式．解题的关键是能够正确利用长方形的周长和面积公式，长方形的宽与周长，长方形的长与长方形的宽的关系．
17．在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系：（假设都在弹性限度内）
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6
弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
（1）由表格知，弹簧原长为　12　cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长　0.5　cm．
（2）请写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的关系式．
（3）预测当所挂物体质量为10kg时，弹簧长度是多少？
（4）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
解：（1）由表可知：弹簧原长为12cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm，
故答案为：12，0.5；
（2）弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式为y＝0.5x+12，
（3）当x＝10kg时，代入y＝0.5x+12，
解得y＝17cm，
即弹簧总长为17cm．
（4）当y＝20kg时，代入y＝0.5x+12，
解得x＝16，
即所挂物体的质量为16kg．
总结：本题考查了函数的关系式及函数值，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式．
18．中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之首，被称为”神州第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从AC开始顺时针旋转至AD便立即回转，灯B发出的光束从BE开始顺时针旋转至BF便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD＝∠BAC，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达BF之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间t；
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达AD之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作∠AMN交BE于点N，且∠AMN＝135°．请探究：∠BAM与∠BMN的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
解：（1）如图1，∵∠BAC+∠BAD＝180°，∠BAC：∠BAD＝3：1，
∴∠BAD＝180°×＝45°，
故答案为：45；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，如图2，
∵CD∥EF
∴∠EBE'＝∠BE'A，
∵BE'∥AC'，
∴∠BE'A＝∠CAC'，
∴∠EBE'＝∠CAC'
∴3t＝2（10+t），
解得 t＝20；
②当60＜t＜80时，如图3，
∵CD∥EF，
∴∠EBE'+∠BE'D＝180°，
∵AC'∥BE'，
∴∠BE'D＝∠C'AD
∴∠EBE'+∠C'AD＝180°
∴2（10+t）+（3t﹣180）＝180，
解得 t＝68，
综上所述，当t＝20秒或68秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAM与∠BMN关系不会变化．
理由：如图4，设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠MAD＝180°﹣3t，
∴∠BAM＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵∠ABM＝135°﹣2t，
∴∠BMA＝180°﹣∠ABM﹣∠BAM＝180°﹣（135°﹣2t）﹣（3t﹣135°）＝180°﹣t，而∠AMN＝135°，
∴∠BMN＝135°﹣∠BMA＝135°﹣（180°﹣t）＝t﹣45°，
∴∠BAM：∠BMN＝3：1，
即∠BMN＝∠BAM，
∴∠BAM和∠BMN关系不会变化．
总结：本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
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