【高频易错题汇编】4.1 认识三角形（含解析）

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4.1 认识三角形 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．图中共有三角形的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，图中直角三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示，△ABC中AC边上的高线是（　　）
A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD
4．在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（　　）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
6．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积的大小关系为（　　）
A．△ABF的面积大 B．四边形CEFD的面积大
C．面积一样大 D．无法确定
7．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则＝（　　）
A．1：1 B．2：1 C．2：3 D．3：2
8．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD＝6，则AG的长度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．下列长度的线段能组成三角形的是（　　）
A．3、4、8 B．5、6、11 C．5、6、10 D．3、5、10
10．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．5 cm，3 cm，1 cm B．2 cm，5 cm，8 cm
C．1 cm，3 cm，4 cm D．1.5 cm，2 cm，2.5 cm
二．填空题（共5小题）
11．某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有　 　个三角形出现．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝　 　．
13．△ABC中，AB＝25，AC＝17，高AD＝15，则BC的长为　 　．
14．如图，△ABC中，G为重心，S△BGC＝2，那么S△ABC＝　 　．
15．若从长度分别为3cm、4cm、7cm和9cm的小木棒中选取的3根搭成了一个三角形，则这个三角形的周长为　 　．
三．解答题（共5小题）
16．过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
（1）其中以AB为一边可以画出　 　个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出　 　个三角形．
17．如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．
18．如图，长方形ABCD中AD＝acm，AB＝bcm，且a，b满足|8﹣a|+（b﹣4）2＝0．（1）求长方形ABCD的面积；
（2）动点P在AD所在直线上，从A出发向左运动，速度为2cm/s，动点Q在DC所在直线上，从D出发向上运动，速度为4cm/s．动点P，Q同时出发，设运动时间为t秒．
①当0＜t＜4时，以D，P，B，Q为顶点的四边形面积为　 　cm2；（用含t的式子表示）；
②当t＞4时，以D，P，B，Q为顶点的四边形面积为　 　cm2；（用含t的式子表示）；
③求当t为何值时，S△BAP＝S△CQB．
19．已知：如图，△ABC中，点D在△ABC的边BC上且与B、C不重合，过点D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，BC＝5，AC＝AB，且DF经过△ABC的重心G，求EF的长．
20．若a，b，c是△ABC的三边，化简：|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b+c|．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．图中共有三角形的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，
共6个．
故选：C．
总结：此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．
2．如图，图中直角三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，
故选：C．
总结：本题考查了直角三角形的定义，比较简单，掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏．
3．如图所示，△ABC中AC边上的高线是（　　）
A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD
解：由图可得，△ABC中AC边上的高线是BD，
故选：D．
总结：本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4．在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：AC边上的高应该是过B作垂线段AC，符合这个条件的是C；
A，B，D都不过B点，故错误；
故选：C．
总结：本题主要考查了利用基本作图做三角形高的方法，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（　　）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC（等底等高的三角形面积相等），
∵E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△BDE，S△ACE＝S△CDE（等底等高的三角形面积相等），
∴S△ABE＝S△DBE＝S△DCE＝S△AEC，
∴S△BEC＝S△ABC＝6cm2．
∵EF＝2FC，
∴S△BEF＝S△BCE，
∴S△BEF＝S△BEC＝4cm2．
故选：C．
总结：此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．
6．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积的大小关系为（　　）
A．△ABF的面积大 B．四边形CEFD的面积大
C．面积一样大 D．无法确定
解：∵AD、BE是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2S△ACD，
∴S△ABE＝S△ACD，
∵S△ABF＝S△ABE﹣S△AEF，S四边形CEFD＝S△ACD﹣S△AEF，
∴S△ABF＝S四边形CEFD，
即△ABF与四边形CEFD的面积相等．
故选：C．
总结：本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则＝（　　）
A．1：1 B．2：1 C．2：3 D．3：2
解：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴＝2：1．
故选：B．
总结：本题主要考查了三角形的重心的性质，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD＝6，则AG的长度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵D、E分别是边BC、AB的中点，AD、BF相交于G，
∴G为△ABC的重心，
∴AG＝2DG，
∵AD＝6，
∴AG＝4，
故选：C．
总结：此题主要考查了三角形重心的性质，根据已知得出G为△ABC的重心是解决问题的关键．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
9．下列长度的线段能组成三角形的是（　　）
A．3、4、8 B．5、6、11 C．5、6、10 D．3、5、10
解：由3、4、8，可得3+4＜8，故不能组成三角形；
由5、6、11，可得5+6＝11，故不能组成三角形；
由5、6、10，可得5+6＞10，故能组成三角形；
由3、5、10，可得3+5＜10，故不能组成三角形；
故选：C．
总结：本题主要考查了三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
10．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．5 cm，3 cm，1 cm B．2 cm，5 cm，8 cm
C．1 cm，3 cm，4 cm D．1.5 cm，2 cm，2.5 cm
解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+1＜5，不能组成三角形；
B中，5+2＜8，不能组成三角形；
C中，1+3＝4，不能够组成三角形；
D中，1.5+2＞2.5，能组成三角形．
故选：D．
总结：本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
二．填空题（共5小题）
11．某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有　0或3或4或8　个三角形出现．
解：∵①当四个点共线时，不能作出三角形；
②当三个点共线，第四个点不在这条直线上时，能够画出3个三角形；
③若4个点能构成凹四边形，则能画出4个三角形；
④当任意的三个点不共线时，则能够画出8个三角形．
∴0或3或4或8．
总结：考查了平面内点的位置关系以及三角形的概念．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝　45°　．
解：延长CH交AB于点H，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，
∴∠ACF＝15°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
故答案为∠CHD＝45°．
总结：考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．
13．△ABC中，AB＝25，AC＝17，高AD＝15，则BC的长为　28或12　．
解：∵AD为边BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，BD＝＝＝20，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝8．
当点D在线段BC上时，如图1，BC＝BD+CD＝20+8＝28；
当点D在线段CB的延长线上时，如图2，BC＝BD﹣CD＝20﹣8＝12．
∴BC的长为28或12．
故答案为：28或12．
总结：本题考查了勾股定理，分类讨论是关键，容易丢解，注意正确画图．
14．如图，△ABC中，G为重心，S△BGC＝2，那么S△ABC＝　6　．
解：如图，连接AG并延长，交BC于D，
∵G为重心，
∴AG：GD＝2：1，
∴AD＝3DG，
∴S△ABD＝3S△BDG，S△ACD＝3S△CDG，
∴S△ABC＝3S△BCG＝3×2＝6，
故答案为：6．
总结：本题考查的是三角形的重心的知识，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
15．若从长度分别为3cm、4cm、7cm和9cm的小木棒中选取的3根搭成了一个三角形，则这个三角形的周长为　19cm或20cm　．
解：任意三条组合有4cm、7cm、9cm；3cm、4cm、7cm；3cm、7cm、9cm；3cm、4cm、9cm共四种情况，
根据三角形的三边关系，则只有4cm、7cm、9cm；3cm、7cm、9cm两种情况符合，
故周长是19cm或20cm．
故答案为：19cm或20cm．
总结：此题考查了三角形的三边关系．关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
三．解答题（共5小题）
16．过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
（1）其中以AB为一边可以画出　3　个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出　6　个三角形．
解：（1）如图，以AB为一边的三角形有△ABC、△ABD、△ABE共3个；
（2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个．
故答案为：（1）3，（2）6．
总结：本题考查了三角形的定义，以及网格结构的知识，根据网格结构作出图形是解题的关键．
17．如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．
解：设AC＝x，则AB＝2x，
∵BD是中线，
∴AD＝DC＝x，
由题意得，2x+x＝30，
解得，x＝12，
则AC＝12，AB＝24，
∴BC＝20﹣×12＝14．
答：AB＝24，BC＝14．
总结：本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．
18．如图，长方形ABCD中AD＝acm，AB＝bcm，且a，b满足|8﹣a|+（b﹣4）2＝0．（1）求长方形ABCD的面积；
（2）动点P在AD所在直线上，从A出发向左运动，速度为2cm/s，动点Q在DC所在直线上，从D出发向上运动，速度为4cm/s．动点P，Q同时出发，设运动时间为t秒．
①当0＜t＜4时，以D，P，B，Q为顶点的四边形面积为　（12t+16）　cm2；（用含t的式子表示）；
②当t＞4时，以D，P，B，Q为顶点的四边形面积为　4t2　cm2；（用含t的式子表示）；
③求当t为何值时，S△BAP＝S△CQB．
解：（1）∵a，b满足|8﹣a|+（b﹣4）2＝0，
∴8﹣a＝0，b﹣4＝0，
∴a＝8，b＝4，
∴长方形ABCD的面积＝ab＝8×4＝32；
（2）动点P在AD所在直线上，从A出发向左运动，速度为2cm/s，
动点Q在DC所在直线上，从D出发向上运动，速度为4cm/s．
动点P，Q同时出发，设运动时间为t秒，
则AP＝2t，DQ＝4t，
①当0＜t＜4时，以D，P，B，Q为顶点的四边形面积为：
（4t+4）×8﹣×2t×4＝（12t+16）cm2；
故答案为（12t+16）；
②当t＞4时，以D，P，B，Q为顶点的四边形面积为：
S△BCD+S△BCQ+S△PDQ
＝4×8+8×（4t﹣4）+4t（2t﹣8）
＝16+16t﹣16+4t2﹣16t
＝4t2（cm2）．
故答案为4t2．
③S△BAP＝S△CQB
4×2t＝8×|4﹣4t|
解得t＝或t＝．
答：当t为或秒时，S△BAP＝S△CQB．
总结：本题考查了三角形的面积，解决本题的关键是理解动点的运动过程．
19．已知：如图，△ABC中，点D在△ABC的边BC上且与B、C不重合，过点D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，BC＝5，AC＝AB，且DF经过△ABC的重心G，求EF的长．
解：∵点G是△ABC的重心，DF过点G，DF∥AB，
∴＝，
∴DF＝AB，
∵DE∥AC，＝，
∴DE＝AC，
∵AC＝AB，
∴＝，＝，
∴＝，即＝，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠EDF＝∠A，
∴△DEF∽△ABC，
∴＝，
∴EF＝＝＝．
20．若a，b，c是△ABC的三边，化简：|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b+c|．
解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0，
∴原式＝a﹣b+c+a+b﹣c﹣a﹣b﹣c＝a﹣b﹣c．
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