【高频易错题汇编】4.3 探索三角形全等的条件 （含解析）

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4.3 探索三角形全等的条件 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．下列物品不是利用三角形稳定性的是（　　）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．放缩尺
2．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（　　）
A．A，C两点之间 B．G，H两点之间
C．B，F两点之间 D．E，G两点之间
3．下列图形具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．三角形内角和180°
5．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（　　）
A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F
6．如图，点A，D，C，F在一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AD＝CF B．∠BCA＝∠F C．∠B＝∠E D．BC＝EF
7．如图，已知AB＝DE，BE＝CF，添加下列条件中哪一个能使△ABC≌△DEF（　　）
A．∠A＝∠D B．AB∥DE C．BE＝EC D．AC∥DF
8．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形的对数是（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　）
A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定
10．如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE＝（　　）
A．13 B．8 C．6 D．5
二．填空题（共5小题）
11．我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的　 　．
12．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是　 　．
13．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是　 　．（只需添加一个条件即可）
14．如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DBC，还需要补充一个条件：　 　（填一个即可）．
15．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝　 　度．
三．解答题（共5小题）
16．如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．
17．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABF≌△DCE．
18．已知：如图，BE＝FC，∠A＝∠D，∠B＝∠F．求证：△ABC≌△DFE．
19．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，请添加一个条件使△ABE≌△ACD．
答：需添加一个条件是　 　（只要写一个条件）．
证明：
20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若AD＝3，AB＝8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列物品不是利用三角形稳定性的是（　　）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．放缩尺
解：放缩尺是利用了平行四边形的不稳定性，
而A、B、C选项都是利用了三角形的稳定性，
故选：D．
总结：本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
2．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（　　）
A．A，C两点之间 B．G，H两点之间
C．B，F两点之间 D．E，G两点之间
解：工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是四边形没有稳定性．
故选：D．
总结：本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．下列图形具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵三角形具有稳定性，
∴A选项符合题意而B，C，D选项不合题意．
故选：A．
总结：本题主要考查了三角形的稳定性，解题时注意：三角形具有稳定性．
4．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．三角形内角和180°
解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
总结：本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
5．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（　　）
A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F
解：A、添加AC＝DF，满足SAS，可以判定两三角形全等；
B、添加∠B＝∠E，满足ASA，可以判定两三角形全等；
C、添加BC＝EF，不能判定这两个三角形全等；
D、添加∠C＝∠F，满足AAS，可以判定两三角形全等；
故选：C．
总结：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，点A，D，C，F在一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AD＝CF B．∠BCA＝∠F C．∠B＝∠E D．BC＝EF
解：已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，添加的一个条件是AD＝CF，可以得到AC＝DF，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意；
已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，添加的一个条件是∠BCA＝∠EFD，根据AAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，添加的一个条件是∠B＝∠E，根据ASA可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠EDF，添加的一个条件是BC＝EF，根据SSA不可以证明△ABC≌△DEF，故选项D符合题意；
故选：D．
总结：本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的判定解答．
7．如图，已知AB＝DE，BE＝CF，添加下列条件中哪一个能使△ABC≌△DEF（　　）
A．∠A＝∠D B．AB∥DE C．BE＝EC D．AC∥DF
解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF，
当AB∥DE时，∠B＝∠DEF，依据SAS即可得到△ABC≌△DEF；
当∠A＝∠D或BE＝EC或AC∥DF时，不能使△ABC≌△DEF；
故选：B．
总结：本题全等三角形的判定的应用，全等三角形的5种判定方法中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
8．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形的对数是（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
解：在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∴AD＝BC，
而OA+OC＝OD+OB，即AC＝DB，
在△ABD与△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
在△ADC与△BCD中，
，
∴△ADC≌△BCD（SSS）．
故选：C．
总结：本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”．
9．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　）
A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定
解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACP和△AEP中，，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
∴PE＝PC，
在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，
∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，
∴m+n＞b+c．
故选：A．
总结：本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．
10．如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE＝（　　）
A．13 B．8 C．6 D．5
解：在△ABE和△ECD中
∴△ABE≌△ECD（AAS）．
∴CE＝AB＝5．
∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8．
故选：B．
总结：本题主要考查全等三角形的判定和性质．
二．填空题（共5小题）
11．我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的　稳定性　．
解：用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
总结：本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
12．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是　三角形具有稳定性　．
解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
总结：本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
13．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是　∠D＝∠B　．（只需添加一个条件即可）
解：当∠D＝∠B时，
在△ADF和△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故答案为：∠D＝∠B．（答案不唯一）
总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
14．如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DBC，还需要补充一个条件：　∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB　（填一个即可）．
解：∵∠A＝∠D，BC＝BC，
∴当∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB时，△ABC≌△DBC（AAS），
∴还需要补充一个条件为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB．
故答案为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB．
总结：本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
15．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝　65　度．
解：如图所示：
∵∠BAC＝∠DAE，
∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠4，
∴∠1＝∠4，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，
又∵∠2+∠4+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝115°，
∴∠ADB＝115°，
又∠ADB+∠3＝180°，
∴∠3＝65°，
故答案为65．
总结：本题综合考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，邻补角的性质等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是灵活运用证明三角形全等的方法解决实际问题，易错点是学生将结果加上度的符号．
三．解答题（共5小题）
16．如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．
解：三种方案如图所示：
总结：此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
17．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABF≌△DCE．
解：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝FC+EF，即BF＝CE，
∴在△ABF与△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
总结：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．已知：如图，BE＝FC，∠A＝∠D，∠B＝∠F．求证：△ABC≌△DFE．
证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
总结：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
19．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，请添加一个条件使△ABE≌△ACD．
答：需添加一个条件是　∠B＝∠C（或AB＝AC或∠ADC＝∠AEB）　（只要写一个条件）．
证明：
解：∵AE＝AD，∠A＝∠A，
∴当∠B＝∠C时，依据AAS即可得到△ABE≌△ACD；
当AB＝AC时，依据SAS即可得到△ABE≌△ACD；
当∠ADC＝∠AEB时，依据ASA即可得到△ABE≌△ACD；
故答案为：∠B＝∠C（或AB＝AC或∠ADC＝∠AEB）（答案不唯一）
总结：本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意利用三角形的公共角或公共边相等．
20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若AD＝3，AB＝8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠F＝∠DAE．
又∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ECF＝∠ADE，
在△FEC与△AED中，
，
∴△FEC≌△AED（ASA），
∴CF＝AD．
（2）当BC＝5时，点B在线段AF的垂直平分线上，
理由：∵BC＝5，AD＝3，AB＝8，
∴AB＝BC+AD，
又∵CF＝AD，BC+CF＝BF，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等腰三角形，
∴点B在AF的垂直平分线上．
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