【高频易错题汇编】4.4 用尺规作三角形 （含解析）

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4.4 用尺规作三角形 高频易错题集
一．选择题（共3小题）
1．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，正确的作法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
二．解答题（共5小题）
4．已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠OCD，使得∠OCD＝∠AOB．
要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（说明：作出一个即可）
2．请你写出作图的依据．
5．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高．
（1）尺规作图：作∠C的平分线，交AB于点E，交AD于点F（不写作法，必须保留作图痕迹，标上应有的字母）；
（2）在（1）的条件下，过F画BC的平行线交AC于点H，线段FH与线段CH的数量关系如何？请予以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE、DH．求证：ED⊥HD．
6．已知线段a，线段b，
动手画线段AM＝3a，AN＝b，点A、M、N在一条直线上；
（1）画图：（只要求画图，不必写画法）
（2）写出线段MN表示的长度是多少？
（3）线段a＝3cm，线段b＝4cm，取线段AN的中点P，取线段MN的中点Q，直接写出PQ的长．
7．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．
（1）画出AB上高CD；
（2）求CD的长．
8．如图，已知∠AOB＝α，以P为顶点，PC为一边作∠CPD＝α，并用移动三角尺的方法验证PC与OB，PD与OA是否平行．
三．填空题（共4小题）
9．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是　 　．
10．已知：∠AOB，求作∠AOB的平分线；如图所示，填写作法：
①　 　．
②　 　．
③　 　．
11．如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠ACB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠ACB的平分线上．　 　．
12．如图，已知线段AB，在图中作线段AB的垂直平分线CD（不写作法，保留作图痕迹）
　 　．
试题解析
一．选择题（共3小题）
1．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，正确的作法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
解：（1）根据垂径定理作图的方法可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（2）根据直径所对圆周角是直角的方法可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（3）根据相交两圆的公共弦的性质可知：不然呢？
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（4）无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法不正确；
综上所述：正确的作法有3种．
故选：C．
总结：本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握作高线的方法．
2．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
解：①作一个角的平分线的作法正确；
②作一个角等于已知角的方法正确；
③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；
故选：A．
总结：此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
3．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
解：根据作一个角等于已知角的过程可知：
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
故选：C．
总结：本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程．
二．解答题（共5小题）
4．已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠OCD，使得∠OCD＝∠AOB．
要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（说明：作出一个即可）
2．请你写出作图的依据．
解：（1）如图所示，∠OCD即为所求；
（2）作图的依据为SSS．
总结：本题主要考查了基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
5．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高．
（1）尺规作图：作∠C的平分线，交AB于点E，交AD于点F（不写作法，必须保留作图痕迹，标上应有的字母）；
（2）在（1）的条件下，过F画BC的平行线交AC于点H，线段FH与线段CH的数量关系如何？请予以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE、DH．求证：ED⊥HD．
解：（1）如图所示：
（2）结论：FH＝HC．
理由：∵FH∥BC，
∴∠HFC＝∠FCB，
∵∠FCB＝∠FCH，
∴∠FCH＝∠HFC，
∴FH＝HC．
（3）∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，
∴∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠CAD+∠ACF，∠ACF＝∠ECB，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵FH∥CD，
∴＝，∵AF＝AE，CH＝FH，
∴＝，
∴＝，∵∠BAD＝∠DCH，
∴△EAD∽△HCD，
∴∠ADE＝∠CDH，
∴∠EDH＝∠ADC＝90°，
∴ED⊥DH．
总结：本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，本题综合性比较强，属于中考常考题型．
6．已知线段a，线段b，
动手画线段AM＝3a，AN＝b，点A、M、N在一条直线上；
（1）画图：（只要求画图，不必写画法）
（2）写出线段MN表示的长度是多少？
（3）线段a＝3cm，线段b＝4cm，取线段AN的中点P，取线段MN的中点Q，直接写出PQ的长．
解：（1）如图所示，
（2）当点N在线段AM上时，MN＝3a﹣b，
或当点N在MA的延长线上时，MN＝3a+b；
（3）∵线段a＝3cm，线段b＝4cm，
∴AN＝4cm，AM＝9cm，
∴MN＝9﹣4＝5cm，或MN＝9+4＝13cm，
又∵点P为线段AN的中点，点Q为线段MN的中点，
∴PQ＝2+2.5＝4.5cm，或PQ＝6.5﹣2＝4.5cm．
总结：本题考查的是基本作图以及两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
7．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．
（1）画出AB上高CD；
（2）求CD的长．
解：（1）如图所示，CD即为AB上的高；
（2）∵直角△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，
∴AC×BC＝AB×CD，
即CD＝＝＝4.8．
总结：本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是运用面积法求得直角三角形斜边上的高．
8．如图，已知∠AOB＝α，以P为顶点，PC为一边作∠CPD＝α，并用移动三角尺的方法验证PC与OB，PD与OA是否平行．
解：用三角尺平移可以验证得PC∥OB，但PD与OA不一定平行，∠CPD＝∠AOB＝∠α，
有两解，如图：
总结：此题主要考查作一个角等于已知角的作法，易错点在有两个角符合条件．
三．填空题（共4小题）
9．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是　到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．　．
解：∵CA＝CB，DA＝DB，
∴CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．）
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．
总结：本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
10．已知：∠AOB，求作∠AOB的平分线；如图所示，填写作法：
①　以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N　．
②　分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C　．
③　画射线OC，射线OC即为所求．　．
解：①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N．
②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
③画射线OC，射线OC即为所求．
总结：根据所给图形抓住关键点是解决本题的关键．
11．如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠ACB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠ACB的平分线上．　请参见解答　．
解：作法：
12．如图，已知线段AB，在图中作线段AB的垂直平分线CD（不写作法，保留作图痕迹）
　参见解答　．
解：作法：分别以A，B为圆心，大于AB为半径作圆，两圆的交点分别为C，D连接CC，CD即为线段AB的垂直平分线，
∵连接BC，AC，AD，BD，AD＝BD＝R，AC＝BC＝R，故C，D均在线段BC的垂直平分线上，
∴CD即为AB的垂直平分线．
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