【高频易错题汇编】4.5 利用三角形全等测距离 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
4.5 利用三角形全等测距离 高频易错题集
一．填空题（共5小题）
1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么亮亮画图的依据是　 　．
2．如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是　 　秒．
3．如图，AD、BC表示两根长度相同的木条，若O是AD、BC的中点，经测量AB＝9cm，则容器的内径CD为　 　cm．
4．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为
　 　m．
5．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连结BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出　 　的长就等于AB的长． 这是因为可根据　 　方法判定△ABC≌△DEC．
二．解答题（共5小题）
6．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
7．小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝　 　，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段　 　的长度就是AB的长．
（1）按小明的想法填写题目中的空格；
（2）请完成推理过程．
8．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过F点作AB的平行线MF，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你知道其中的道理吗？
9．如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了100步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．
10．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．
三．选择题（共10小题）
11．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CD＝CA，CE＝CB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
12．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么△ABC≌△EDC，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定△ABC≌△EDC的方法是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
13．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离．我们可以证明出△ABC≌△DEC，进而得出AB＝DE，那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
14．一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，小亮现在要带其中的一块去配成与原来一样大小的三角形玻璃，小亮去时应该带（　　）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
15．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到△ABC≌△DEC，理由是（　　）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
16．为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
17．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
18．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法（　　）
A．选①去 B．选②去 C．选③去 D．选④去
19．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
20．如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省事的方法是（　　）
A．带①和②去 B．只带②去 C．只带③去 D．都带去
试题解析
一．填空题（共5小题）
1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么亮亮画图的依据是　两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等　．
解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故答案为：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
总结：本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等是解题的关键．
2．如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是　4　秒．
解：∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
又∵∠CAM＝90°，
∴∠CMA+∠C＝90°，
∴∠C＝∠DMB．
在Rt△ACM和Rt△BMD中，
，
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴BD＝AM＝12米，
∴BM＝20﹣12＝8（米），
∵该人的运动速度为2m/s，
∴他到达点M时，运动时间为8÷2＝4（s）．
故答案为4．
总结：本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt△ACM≌Rt△BMD．
3．如图，AD、BC表示两根长度相同的木条，若O是AD、BC的中点，经测量AB＝9cm，则容器的内径CD为　9　cm．
解：由题意知：OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴CD＝AB＝9cm．
故答案为：9．
总结：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；解答的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．关键是要先证明△AOB≌△DOC，然后利用全等的性质求解．
4．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为　4　m．
解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣FC＝EF﹣FC，
即BF＝CE＝5m，
∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14m﹣5m﹣5m＝4m；
故答案为：4．
总结：本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连结BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出　DE　的长就等于AB的长． 这是因为可根据　SAS　方法判定△ABC≌△DEC．
解：量出DE的长就等于AB的长． 这是因为可根据SAS方法判定△ABC≌△DEC．
故答案为：DE，SAS．
总结：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
二．解答题（共5小题）
6．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD＝OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝20（m）．
总结：本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
7．小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝　CB　，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段　DE　的长度就是AB的长．
（1）按小明的想法填写题目中的空格；
（2）请完成推理过程．
解：（1）在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝CB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE的长度就是AB的长．
故答案为：CB，DE；
（2）由题意得DG⊥BF，
∴∠CDE＝∠CBA＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB（全等三角形的对应边相等）．
总结：此题主要考查了全等三角形的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形对应边相等．
8．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过F点作AB的平行线MF，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你知道其中的道理吗？
解：∵在△BDE和△FDM中，
∴△BDE≌△FDM（SAS），
∴∠BEM＝∠FME，
∴BE∥MF，
∵AB∥MF，
∴A、C、E三点在一条直线上．
总结：此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确理解题意，证明BE∥MF．
9．如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了100步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．
解：（1）所画示意图如下：
（2）在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE，
又∵小刚共走了100步，其中AD走了40步，
∴走完DE用了60步，
步大约50厘米，即DE＝60×0.5米＝30米．
答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为30米．
总结：本题考查全等三角形的应用，像此类应用类得题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可．
10．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．
证明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠BDE
又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE
∴△EDC≌△ABC（ASA），
∴DE＝BA．
总结：本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．
三．选择题（共10小题）
11．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CD＝CA，CE＝CB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
解：根据题意可得：
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴AB＝DE，
∴依据是SAS，
故选：D．
总结：此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等解决实际问题．
12．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么△ABC≌△EDC，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定△ABC≌△EDC的方法是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
解：∵C是BD的中点，
∴BC＝DC，
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB．
故选：B．
总结：本题考查了全等三角形的应用，根据题目信息，确定出三角形全等的条件是确定利用哪种三角形全等的方法的关键．
13．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离．我们可以证明出△ABC≌△DEC，进而得出AB＝DE，那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
证明：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DCE，（SAS）
故选：B．
总结：此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等解决实际问题．
14．一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，小亮现在要带其中的一块去配成与原来一样大小的三角形玻璃，小亮去时应该带（　　）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
解：一、二、三块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第四块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：D．
总结：本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
15．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到△ABC≌△DEC，理由是（　　）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
证明：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
故选：D．
总结：此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握三角形全等的判定定理．
16．为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
解：在△ACB和△ACD中，，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．
故选：A．
总结：本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
17．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
解：根据伞的结构，AE＝AF，伞骨DE＝DF，AD是公共边，
∵在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE＝∠DAF，
即AP平分∠BAC．
故选：A．
总结：本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关键．
18．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法（　　）
A．选①去 B．选②去 C．选③去 D．选④去
解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的；
第②、③只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
最省事的方法是应带④去，
故选：D．
总结：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
19．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
总结：此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省事的方法是（　　）
A．带①和②去 B．只带②去 C．只带③去 D．都带去
解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：C．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_