【高频易错题汇编】5.2 探索轴对称的性质 （含解析）

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5.2 探索轴对称的性质 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（　　）
A．∠ANM＝∠BNM B．∠MAP＝∠MBP C．AM＝BM D．AP＝BN
3．如图，点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，B、B′关于AD对称，且BB′交AD于F，交AC于E，连接FC、AB′，下列说法：①∠BAD＝30°；②∠BFC＝135°；③AF＝2B′C；④S△AFE＝S△FCE，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
6．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
7．如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（　　）
A．PA＝PC B．PA＝PE C．∠APE＝90° D．∠APC＝∠DPE
9．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
10．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有　 　个
12．如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有　 　个．
13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为　 　．
14．已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45°，且OM＝6，MN＝2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是　 　．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，BC＝7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为　 　．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
17．如图所示，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长是20cm，求MN的长．
18．阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1＝　 　（用x、y的式子表示）
W2＝　 　（用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．
①在方案一中，a1＝　 　km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2＝　 　km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
19．如图，A、B两工厂在河边CD的同侧，A、B两工厂到河边的距离分别为AC＝3.5km，BD＝12.5km，CD＝12km，现要在河边CD上建一水厂P向A、B两工厂输送自来水，铺设水管时工程费为每千米2000元．请你设计一种方案：要求水厂P建在线段CD上且能使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的最省费用．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处．
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
解：如图所示：
与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有8个，
故选：D．
总结：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
2．如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（　　）
A．∠ANM＝∠BNM B．∠MAP＝∠MBP C．AM＝BM D．AP＝BN
解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵点P是直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，B，C正确，而D错误，
故选：D．
总结：本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
3．如图，点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，B、B′关于AD对称，且BB′交AD于F，交AC于E，连接FC、AB′，下列说法：①∠BAD＝30°；②∠BFC＝135°；③AF＝2B′C；④S△AFE＝S△FCE，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，
∴BD＝BC＝AB，
∴tan∠BAD＝，
∴∠BAD≠30°，故①错误；
如图，连接B'D，
∵B、B′关于AD对称，
∴AD垂直平分BB'，
∴∠AFB＝90°，BD＝B'D，
又∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠DBB'＝∠BB'D，∠DCB'＝∠DB'C，
∴∠BB'C＝∠BB'D+∠DB'C＝90°，
∴∠AFB＝∠BB'C，
又∵∠BAF+∠ABF＝90°＝∠CBB'+∠ABF，
∴∠BAF＝∠CBB'，
∴△ABF≌△BCB'，
∴BF＝CB'＝B'F，
∴△FCB'是等腰直角三角形，
∴∠CFB'＝45°，即∠BFC＝135°，故②正确；
由△ABF≌△BCB'，可得AF＝BB'＝2BF＝2B'C，故③正确；
∵AF＞BF＝B'C，
∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；
故选：B．
总结：本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
解：如图，连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'，
∵点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，
∴AC＝A'C，BC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB'，AB垂直平分CC'，
∴△ABC≌△A'B'C（SAS），
∴S△ABC＝S△A'B'C，∠A＝∠AA'B'，AB＝A'B'，
∴AB∥A'B'，
∴CD⊥A'B'，
∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD＝CE，
∴CD＝CE＝EC'，
∴S△A'B'C＝S△A'B'C'，
∴S△ABC＝S△A'B'C'，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为，
故选：B．
总结：本题考查的是轴对称的性质、三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是熟知对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
5．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，
故选：B．
总结：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
解：∵P点关于OB、OA的对称点为P1，P2，
∴P1M＝PM，P2N＝PN，
∴△PMN的周长＝MN+PM+PN＝MN+P1M+P2N＝P1P2，
∵P1P2＝15，
∴△PMN的周长为15．
故选：B．
总结：本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
7．如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（　　）
A． B．
C． D．
解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
故选：D．
总结：本题考查了最短路线问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（　　）
A．PA＝PC B．PA＝PE C．∠APE＝90° D．∠APC＝∠DPE
解：如图，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小．
由对称性可知：∠EPD＝∠FPD，
∵∠CPA＝∠FPD，
∴∠APC＝∠DPE，
∴PA+PE最小时，点P应该满足∠APC＝∠DPE，
故选：D．
总结：本题考查轴对称最短问题、对顶角的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
解：∵MN＝MP，
∴∠MNP＝∠MPN，
∴∠CPN＝∠ONM，
由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，
∴∠CPN＝∠CNM，
又∵∠C＝∠C，
∴△CPN∽△CNM，
＝，即CN2＝CP×CM，
∴62＝CP×（CP+5），
解得CP＝4，
又∵＝，
∴＝，
∴PN＝，
故选：D．
总结：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（　　）
A． B． C． D．
解：∵A1D∥BC，
∴∠B＝∠A1DB，
由折叠可得，∠A1＝∠A，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A1+∠A1DB＝90°，
∴AB⊥CE，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，，
∴AB＝＝3，
∵AB×CE＝BC×AC，
∴CE＝＝，
又∵A1C＝AC＝4，
∴A1E＝4﹣＝，
故选：B．
总结：本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是得到CE⊥AB以及面积法的运用．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有　3　个
解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：
故答案为：3．
总结：本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
12．如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有　3　个．
解：如图所示：符合题意的有3个三角形．
故答案为：3．
总结：此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为　5　．
解：分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q．
则DE＝PD，EF＝FQ．
连结AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，
则∠PAQ＝120°，且AP＝AE＝AQ，从而∠APQ＝30°，
故．
过点A作AH⊥BC于点H，则，
于是△DEF的周长为：．
故答案为：5．
总结：本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．对“动点”进行两次轴对称变换是解决问题的难点．
14．已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45°，且OM＝6，MN＝2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是　10　．
解：如图，作点M关于直线l的对称点M'，连接NM'，交直线l于P，连接NP，则MP＝M'P，
∴PM+PN的最小值等于线段M'N的长，
∵OM＝OM'，OP＝OP，PM＝PM'，
∴△OPM≌△OPM'（SSS），
∴∠POM＝∠POM'＝45°，OM＝OM'＝6，
∴∠NOM'＝90°，
∴Rt△NM'O中，M'N＝＝＝10，
∴PM+PN的最小值是10，
故答案为：10．
总结：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题和勾股定理等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，BC＝7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为　4　．
解：如图，过E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，
由折叠可得，AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，
又∵∠BAC＝75°，
∴∠EAF＝150°，
∴∠EAG＝30°，
∴EG＝AE＝AD，
当AD⊥BC时，AD最短，
∵BC＝7，△ABC的面积为14，
∴当AD⊥BC时，AD＝4＝AE＝AF，
∴△AEF的面积最小值为：AF×EG＝×4×2＝4，
故答案为：4．
总结：本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，解决问题的关键是利用对应边和对应角相等．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDC+∠DEC＝∠ACB，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EDC+∠DEC．
∵DE＝DA，
∴∠DAC＝∠DEC，
∴∠BAD＝∠EDC．
（2）猜想：DM＝AM．理由如下：
∵点M、E关于直线BC对称，
∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM．
又由（1）知∠BAD＝∠EDC，
∴∠MDC＝∠BAD．
∵∠ADC＝∠BAD+∠B，
即∠ADM+∠MDC＝∠BAD+∠B，
∴∠ADM＝∠B＝60°．
又∵DA＝DE＝DM，
∴△ADM是等边三角形，
∴DM＝AM．
总结：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称变换以及三角形外角性质等知识的综合应用．解题时注意运用等边三角形的三个内角都等于60°，三条边都相等．
17．如图所示，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长是20cm，求MN的长．
解：∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，
∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，
∵△PEF的周长等于20cm，
∴MN＝20cm．
总结：本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
18．阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1＝　3x+7y　（用x、y的式子表示）
W2＝　2x+8y　（用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．
①在方案一中，a1＝　（3+x）　km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2＝　　km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
（1）解：①W1＝3x+7y，W2＝2x+8y，
故答案为：3x+7y，2x+8y．

②解：W1﹣W2＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴W1﹣W2＞0，
得W1＞W2，
所以张丽同学用纸的总面积大．

（2）①解：a1＝AB+AP＝x+3，
故答案为：x+3．

②解：过B作BM⊥AC于M，
则AM＝4﹣3＝1，
在△ABM中，由勾股定理得：BM2＝AB2﹣12＝x2﹣1，
在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP＝A′B＝＝，
故答案为：．
③解：＝（x+3）2﹣（）2＝x2+6x+9﹣（x2+48）＝6x﹣39，
当＞0（即a1﹣a2＞0，a1＞a2）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5，
当＝0（即a1﹣a2＝0，a1＝a2）时，6x﹣39＝0，解得x＝6.5，
当＜0（即a1﹣a2＜0，a1＜a2）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5，
综上所述
当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，
当x＝6.5时，两种方案一样，
当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．
总结：本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
19．如图，A、B两工厂在河边CD的同侧，A、B两工厂到河边的距离分别为AC＝3.5km，BD＝12.5km，CD＝12km，现要在河边CD上建一水厂P向A、B两工厂输送自来水，铺设水管时工程费为每千米2000元．请你设计一种方案：要求水厂P建在线段CD上且能使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的最省费用．
解：（1）如图所示，若建在C点，根据垂线段最短和两点之间线段最短，可确定最短距离是：D1＝AC+AB，
过点A作AE⊥BD，由AC＝3.5km，BD＝12.5km，CD＝12km，
易得BE＝BD﹣AC＝12.5﹣3.5＝9km，
AE＝CD＝12km，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
即AB2＝122+92，
AB＝15km，
则最短距离是：AC+AB＝3.5+15＝18.5km，
工程费用为：18.5×2000＝37000元．
（2）如图所示，若建在D点，根据垂线段最短和两点之间线段最短，可确定最短距离是：D2＝BD+AB，
∵BD＝12.5，且由（1）可知AB＝15km，
∴最短距离是：BD+AB＝12.5+15＝27.5km，
工程费用为：27.5×2000＝55000元．

（3）如图所示，若建在线段CD（不包括C，D点），分别向A、B两地输送自来水，作A点关于直线CD的对称点E，连接BE，与CD交于点P，则PA+PB最短，过E作EF∥CD与BD交于点F，由作图可知，
PA＝EP，EF＝CD＝12km，AC＝CE＝DF＝3.5KM，
所以PA+PB＝EP+PB＝EB，在Rt△BEF中，
EF＝12km，BF＝BD+DF＝12.5+3.5＝16KM，
由勾股定理可得：BE2＝BF2+EF2，
BE2＝162+122，
解得：BE＝20，
工程费用为：20×2000＝40000元．
故综合考虑水厂P应建在C点，铺设水管的最省，最底费用为37000元．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处．
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCB'＝90°，
∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°，
即∠ECF＝45°；
（2）由折叠可得，∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，
∴∠EFC＝45°＝∠ECF，
∴CE＝EF＝4，
∴BE＝4+1＝5，
∴Rt△BCE中，BC＝＝，
设AE＝x，则AB＝x+5，
∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，
即x2+42＝（x+5）2﹣41，
解得x＝，
∴S△ABC＝AB×CE＝（+5）×4＝．
总结：本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
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