【高频易错题汇编】5.3 简单的轴对称图形 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
5.3 简单的轴对称图形 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
2．如图：一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
3．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（　　）
A．7 B．8 C．12 D．13
4．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（　　）
A．24cm B．25cm C．30cm D．36cm
5．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABE C．AE＝EC D．AE＝BE
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A═55°，点P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（　　）
A．55° B．62° C．80° D．130°
7．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
9．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　）
A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定
10．如图，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分别交AB、AC于点E、F，若EF＝2DF，则AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
二．填空题（共5小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC于E，AD＝3，DC＝4，则DE＝　 　．
12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　．
13．如图所示，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD＝　 　．
14．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有　 　个．
15．如图，线段OA的长为2，它的一个端点O是数轴的原点，OA与数轴正半轴的夹角为45度，以OA为一边作等腰三角形OAB，使顶点B在数轴上，则数轴上点B所表示的数是　 　．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长．
17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E＝38°，求∠BAC的度数．
19．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
20．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC，EF分别交BC、BD于点F、G．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AE＝BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝30，
故选：B．
总结：本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2．如图：一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
解：如图所示：过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：B．
总结：此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
3．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（　　）
A．7 B．8 C．12 D．13
解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB＝5，
又∵CD＝3，
∴BC＝CD+BD＝3+5＝8，
故选：B．
总结：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（　　）
A．24cm B．25cm C．30cm D．36cm
解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝36（cm）．
故选：D．
总结：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABE C．AE＝EC D．AE＝BE
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
故选：A．
总结：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A═55°，点P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（　　）
A．55° B．62° C．80° D．130°
解：∵AB＝AC，∠A═55°，
∴∠B＝∠ACB＝62.5°，
∵∠APC是△BCP的外角，
∴∠APC＝∠B+∠BCP，
又∵点P是AB上的一个动点，
∴0≤∠BCP≤62.5°，
∴62.5°≤∠APC≤125°，
∴∠APC的度数可能是80°，
故选：C．
总结：本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等．
7．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故选：C．
总结：本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．
8．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．
故选：A．
总结：本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．
9．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　）
A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定
解：如图，延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2），
故选：B．
总结：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
10．如图，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分别交AB、AC于点E、F，若EF＝2DF，则AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：如图，延长AD，BC交于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠GBD，
∵AD⊥BD于点D，
∴∠ADB＝∠GDB＝90°，
又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△GBD（ASA），
∴AB＝BG，
∴D是AG的中点，
又∵DE∥BG，
∴E是AB的中点，F是AC的中点，
∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝2，
又∵EF＝2DF，
∴DF＝1，
∴DE＝3，
∴BG＝2DE＝6，
∴AB＝6，
故选：B．
总结：本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用三角形中位线定理进行推算．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC于E，AD＝3，DC＝4，则DE＝　3　．
解：∵∠A＝90°，
∴DA⊥BA，
又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴DE＝AD，
∵AD＝3，
∴DE＝3，
故答案为：3．
总结：本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　10°　．
解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
总结：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
13．如图所示，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD＝　30°　．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC．
∴∠DBC＝180°﹣2∠C＝40°
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
总结：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．
14．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有　9　个．
解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
总结：此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．
15．如图，线段OA的长为2，它的一个端点O是数轴的原点，OA与数轴正半轴的夹角为45度，以OA为一边作等腰三角形OAB，使顶点B在数轴上，则数轴上点B所表示的数是　﹣2或或2或2　．
解：如图，在数轴上取点B1，B2，B3，B4，
使OB1＝OA＝2，OB3＝OA＝2，AB4＝OA＝2，
根据题意可知：
OA＝2，∠AOB2＝45°，
作AB2⊥x轴于点B2，
则OB2＝AB2＝，
∴OB4＝2，
∴数轴上点B所表示的数是：﹣2，，2，2．
故答案为：﹣2或或2或2．
总结：本题考查了等腰三角形的判定与性质、数轴，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长．
解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，
∴DE＝CD＝1.5，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
BE＝＝＝2，
∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC＝AE，
设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，
由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，
即（x+2）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴AC＝3．
总结：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并运用勾股定理列方程求解是解题的关键．
17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
总结：本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E＝38°，求∠BAC的度数．
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB，
∵AE∥DC，
∴∠BCD＝∠E＝38°，
∴∠ACB＝2×38°＝76°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝28°．
总结：本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．
19．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
依题意，得2x+2x+x＝18，
解得x＝．
∴2x＝．
∴三角形三边的长为cm、cm、cm．
（2）若腰长为4cm，则底边长为18﹣4﹣4＝10cm．
而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形．
若底边长为4cm，则腰长为（18﹣4）＝7cm．
此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm．
总结：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
20．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC，EF分别交BC、BD于点F、G．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AE＝BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．
解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
∴BE＝CF．
（2）若AE＝BE，则AE＝DE＝BE，
∴∠A＝∠ADE，∠EBD＝∠EDB，
又∵∠A+∠ADE+∠EDB+∠EBD＝180°，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，即BD⊥AC，
又∵EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴图中的直角三角形为：△ABD，△CBD，△BEG，△BFG，△DEG．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_