【高频易错题汇编】5.4 利用轴对称进行设计（含解析）

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5.4 利用轴对称进行设计 高频易错题集
一．选择题（共4小题）
1．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．图1中的图案可以由图2的图案通过翻折后得到的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，由4个小正方形组成的田字格，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上能画出与△ABC成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题）
5．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　（结果用含a，b代数式表示）．
6． 如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴（保留作图痕迹）．　 　．
7．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有　 　种．
8．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种．
9．如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形：．
三．解答题（共5小题）
10．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形．
（2）求△ABC的面积．
（3）若P点在x轴上，当BP+CP最小时，直接写出BP+CP最小值为　 　．
11．如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是　 　．
12．在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标如图所示，
（1）请你在图中先作出△ABC关于直线m（直线m上点的横坐标均为﹣1）对称图形△A1B1C1，再作出△A1B1C1关于直线n（直线n上点的纵坐标均为2）对称图形△A2B2C2；
（2）线段BC上有一点M（a，b），点M关于直线m的对称点为N，点N关于直线的n的对称点为E，求N、E的坐标（用含a，b的代数式表示）．
13．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用三种不同方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．答案涂在答卷相应的位置．
14．如图是由16个小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形画成阴影，请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白小正方形画成阴影，使它成为轴对称图形．
试题解析
一．选择题（共4小题）
1．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，
∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确；
∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，
由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，
又∵∠EPO＝∠BPA，
∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；
∵△ACE≌△ADB，
∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，
∴BD边上的高与CE边上的高相等，
即点A到∠BOC两边的距离相等，
∴OA平分∠BOC，故③正确；
只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误；
在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，
∴BP＜EQ，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：B．
总结：本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
2．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
总结：此题主要考查了轴对称图形的概念．利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
3．图1中的图案可以由图2的图案通过翻折后得到的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：观察图案可知：
具有轴对称性质的图案只有2个，
第二个需要图2上下翻折可得，
第1个需要左右翻折可得．
故选：C．
总结：本题考查了利用轴对称设计图案，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
4．如图，由4个小正方形组成的田字格，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上能画出与△ABC成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：分别以大正方形的两条对角线AB、EF及MN、CH为对称轴，作轴对称图形：
则△ABM、△ANB、△EHF、△EFC都是符合题意的三角形．
故选：C．
总结：此题考查了利用轴对称涉及图案的知识，关键是根据要求顶点在格点上寻找对称轴，有一定难度，注意不要漏解．
二．填空题（共5小题）
5．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　a+8b　（结果用含a，b代数式表示）．
解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b
故答案为：a+8b．
方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形
∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，
而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，
即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，
故答案为a+8b．
总结：本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
6． 如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴（保留作图痕迹）．　　．
解：如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴（解答不唯一）．
总结：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握正五边形的对称性是解题的关键．
7．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有　13　种．
解：如图所示：
故一共有13移法，
故答案为：13．
总结：此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
8．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有　5　种．
解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处．
故答案为：5．
总结：本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9．如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形：．
解：如图所示：
总结：解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．
对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．
三．解答题（共5小题）
10．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形．
（2）求△ABC的面积．
（3）若P点在x轴上，当BP+CP最小时，直接写出BP+CP最小值为　　．
解：如图所示，
（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积为：2×3﹣2×2﹣1×1﹣1×3＝2；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，
连接CB′交x轴于点P，此时BP+CP最小，
BP+CP的最小值即为CB′＝．
故答案为．
总结：本题考查了作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
11．如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是　9　．
解：（1）如图所示；
（2）S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×3×3﹣×1×5
＝20﹣4﹣﹣
＝9．
故答案为：9．
总结：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
12．在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标如图所示，
（1）请你在图中先作出△ABC关于直线m（直线m上点的横坐标均为﹣1）对称图形△A1B1C1，再作出△A1B1C1关于直线n（直线n上点的纵坐标均为2）对称图形△A2B2C2；
（2）线段BC上有一点M（a，b），点M关于直线m的对称点为N，点N关于直线的n的对称点为E，求N、E的坐标（用含a，b的代数式表示）．
解：（1）如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求；
（2）设点N的坐标为（x，y），点E的坐标为（p，q），
∵点M与点N关于直线m对称，
∴＝﹣1，y＝b，
解得x＝﹣2﹣a，y＝b，
∴点N的坐标为（﹣2﹣a，b），
又∵点N与点E关于直线n对称，
∴p＝﹣2﹣a，＝2，
解得p＝﹣2﹣a，q＝4﹣b，
∴点E的坐标为（﹣2﹣a，4﹣b）．
总结：本题主要考查了利用轴对称变换作图，关键是熟练掌握轴对称的性质，并据此得到三顶点关于直线的对称点．
13．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用三种不同方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．答案涂在答卷相应的位置．
解：如图所示：
总结：此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
14．如图是由16个小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形画成阴影，请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白小正方形画成阴影，使它成为轴对称图形．
解：如图所示，即为所作图形．（答案不唯一，主要合理即可）
总结：本题考查了利用轴对称设计图案，先确定出对称轴是作图的关键，需要注意阴影部分斜线的倾斜方向的不同，这是本题容易出错的地方．
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