山东省新人教B版数学（理科）2012届高三单元测试4：必修2第一章《立体几何初步》
文档属性
| 名称 | 山东省新人教B版数学（理科）2012届高三单元测试4：必修2第一章《立体几何初步》 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 164.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-01-04 18:30:10 | ||
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文档简介
山东省新人教B版2012届高三单元测试4
必修2第一章《立体几何初步》
(本卷共150分，考试时间120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，正确的是( )
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
解析：选C.A中，可能有无数个平面，B中，两条直线还可能平行，相交，D中，两个平面可能相交．
2．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为( )
A．24π cm2,12π cm3 B．15π cm2,12π cm3
C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确
解析：选A.由三视图知该几何体为一个圆锥，其底面半径为3 cm，母线长为5 cm，高为4 cm，求表面积时不要漏掉底面积．
3．若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶ D.∶1
解析：选C.设正四棱锥底边长为a，则斜高为a，高h＝＝a
∴高与底边长之比为a∶a＝1∶.
4．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.本题主要考查圆锥侧面展开图的有关性质及侧面展开图中心角公式．设圆锥底面半径为r，母线长为l，依条件则有2πr＝πl，如图所示，∴＝，即∠ASO＝30°，
∴圆锥顶角为60°.
5．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )
A．2πR2 B.πR2
C.πR2 D.πR2
解析：选B.如图所示，设圆柱底面半径为r，则其高为3R－3r，全面积S＝2πr2＋2πr(3R－3r)＝6πRr－4πr2＝－4π(r－R)2＋πR2，故当r＝R时全面积有最大值πR2.
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥面PDF
B．DF⊥面PAE
C．面PDE⊥面ABC
D．面PAE⊥面ABC
解析：选C.因为BC∥DF，所以BC∥面PDF，即A正确；由中点有BC⊥PE，BC⊥AE，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，即B正确；由BC⊥平面PAE可得平面PAE⊥平面ABC，即D正确．
7．在纬度为α的纬线圈上有A，B两点，这两点间的纬线圈上的弧长为πRcosα，其中R为地球半径，则这两点间的球面距离是( )
A.R B.R
C．(π－2α)R D．(π－α)R
解析：选C.由题意易求得球心角为π－2α，所以球面距离为(π－2α)R.
8．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2则( )
A．S1＝2S2 B．S1＝3S2
C．S1＝4S2 D．S1＝2S2
解析：选B.不妨设正方体的棱长为1，则外接球直径为正方体的体对角线长为，而内切球直径为1，所以＝()2＝3，所以S1＝3S2.
9．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则( )
A．S1C．S2解析：选A.设底面积为S，由截面性质可知．
＝()2 S1＝S；
＝ S2＝S；
( )3＝ S3＝S.
可知S110．平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则对角面B1BDD1是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：选D.AA1在面ABCD内的射影在底面的一条对角线上，∵AC⊥BD，
∴AA1⊥BD，∴BB1⊥BD.
又∵∠BAD＝60°，∴BD＝AB＝BB1，
∴B1BDD1是正方形．
11．一个正四棱台(上、下底面是正方形，各侧面均为全等的等腰梯形)的上、下底面的边长分别为a，b，高为h，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是( )
A.＝＋ B.＝
C.＝＋ D.＝＋
解析：选A.S侧＝4× ×＝a2＋b2，
即4[h2＋()2]·(a＋b)2＝(a2＋b2)2，
化简得h(a＋b)＝ab，
∴＝＋.
12. 如图所示，三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2x(x∈[0,3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N－AMC的体积V与x的变化关系，其中正确的是( )
解析：选A.V＝S△AMC·NO＝(×3x×sin30°)·(8－2x)＝－(x－2)2＋2，x∈[0,3]，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)
13．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．
解析：球的直径等于正六棱柱的体对角线的长．设球的半径为R，由已知可得2R＝ ＝2，R＝.所以球的体积为πR3＝×()3＝4π.
答案：4π
14．一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下降的高度是________cm.
解析：由题意知，金属球的体积等于下降的水的体积，设水面下降h cm，则有＝π×22×h，解得h＝.
答案：
15．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z叫做x、y、z关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a、b、c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系具有传递性的是________．
答案：平行
16．点M是线段AB的中点，若点A、B到平面α的距离分别为4 cm和6 cm，则点M到平面α的距离为________．
解析：(1)如图(1)，当点A、B在平面α的同侧时，分别过点A、B、M作平面α的垂线AA′、BB′、MH，垂足分别为A′、B′、H，则线段AA′、BB′、MH的长分别为点A、B、M到平面α的距离．由题设知AA′＝4 cm，BB′＝6 cm.因此MH＝＝＝5(cm)．
(2)如图(2)，当点A、B在平面α的异侧时，设AB交平面α于点O，
∵AA′∶BB′＝4∶6，∴AO∶OB＝4∶6.
又∵M为AB的中点，
∴MH∶AA′＝1∶4，
即MH＝1(cm)．
故点M到平面α的距离为5 cm或1 cm.
答案：5 cm或1 cm
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线．
证明：
如图所示．(1)连接B1D1.∵E，F分别为D1C1，C1B1的中点，∴EF∥B1D1，
又∵B1D1∥BD，
∴EF∥BD，
∴EF与BD共面，
∴E，F，B，D四点共面．
(2)∵AC∩BD＝P，
∴P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
∵A1C∩平面DBFE＝R，
∴R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
∴P，Q，R三点共线．
18．一球内切于圆锥，已知球和圆锥的底面半径分别为r，R，求圆锥的体积．
解：
如图，设圆锥的高AD＝h，
由△AOE∽△ACD，可得＝，
即＝，解得h＝，
所以圆锥的体积为V＝R2·h＝.
19．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，设AA1＝2，求三棱锥F－A1ED1的体积．
解：如图，连接AE，容易证明AE⊥D1F.
又∵A1D1⊥AE，
∴AE⊥平面A1FD1.
∵A1D1∥AD，A1D1∥平面ABCD，
设平面A1FD1∩平面ABCD＝FG，
则A1D1∥FG且G为AB的中点，
∴AE⊥平面A1GFD1，AE⊥A1G，
设垂足为点H，则EH即为点E到平面A1FD1的距离，
∵A1A＝2，∴AE＝，AH＝，∴EH＝.
又∵S△A1FD1＝S A1GFD1＝，
∴VF－A1ED1＝××＝1，
故三棱锥F－A1ED1的体积为1.
20. 如图△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；
(3)求几何体ADEBC的体积V.
解：
(1)证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH.
∵G，F分别是EC和BD的中点，
∴HG∥BC，HF∥DE.
又∵四边形ADEB为正方形，
∴DE∥AB，从而HF∥AB.
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.
∴平面HGF∥平面ABC.
∴GF∥平面ABC.
(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC.
∴BE⊥AC.
又∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.
∴AC⊥平面BCE.
从而平面EBC⊥平面ACD.
(3)取AB的中点N，连接CN，∵AC＝BC，
∴CN⊥AB，且CN＝AB＝a.
又平面ABED⊥平面ABC，
∴CN⊥平面ABED.
∵C－ABED是四棱锥，
∴VC－ABED＝SABED·CN＝a2·a＝a3.
21．如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.设点O是AB的中点，求证：OC∥平面A1B1C1.
证明：作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D，则OD∥BB1∥CC1.
因为O是AB的中点，所以OD
＝(AA1＋BB1)＝3＝CC1，
则四边形ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D.因为C1D 平面C1B1A1且OC 平面C1B1A1，所以OC∥平面A1B1C1.
22．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
(3)在所给直观图中连接BC′，求证：BC′∥面EFG.
解：(1)如图所示．
(2)所求多面体体积
V＝V长方体－V正三棱锥
＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm3)．
(3)证明：如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，
连接AD′，则AD′∥BC′.
因为E，G分别为AA′，A′D′的中点，
所以AD′∥EG，从而EG∥BC′.
又BC′ 平面EFG，所以BC′∥面EFG.
必修2第一章《立体几何初步》
(本卷共150分，考试时间120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，正确的是( )
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
解析：选C.A中，可能有无数个平面，B中，两条直线还可能平行，相交，D中，两个平面可能相交．
2．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为( )
A．24π cm2,12π cm3 B．15π cm2,12π cm3
C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确
解析：选A.由三视图知该几何体为一个圆锥，其底面半径为3 cm，母线长为5 cm，高为4 cm，求表面积时不要漏掉底面积．
3．若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶ D.∶1
解析：选C.设正四棱锥底边长为a，则斜高为a，高h＝＝a
∴高与底边长之比为a∶a＝1∶.
4．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.本题主要考查圆锥侧面展开图的有关性质及侧面展开图中心角公式．设圆锥底面半径为r，母线长为l，依条件则有2πr＝πl，如图所示，∴＝，即∠ASO＝30°，
∴圆锥顶角为60°.
5．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )
A．2πR2 B.πR2
C.πR2 D.πR2
解析：选B.如图所示，设圆柱底面半径为r，则其高为3R－3r，全面积S＝2πr2＋2πr(3R－3r)＝6πRr－4πr2＝－4π(r－R)2＋πR2，故当r＝R时全面积有最大值πR2.
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥面PDF
B．DF⊥面PAE
C．面PDE⊥面ABC
D．面PAE⊥面ABC
解析：选C.因为BC∥DF，所以BC∥面PDF，即A正确；由中点有BC⊥PE，BC⊥AE，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，即B正确；由BC⊥平面PAE可得平面PAE⊥平面ABC，即D正确．
7．在纬度为α的纬线圈上有A，B两点，这两点间的纬线圈上的弧长为πRcosα，其中R为地球半径，则这两点间的球面距离是( )
A.R B.R
C．(π－2α)R D．(π－α)R
解析：选C.由题意易求得球心角为π－2α，所以球面距离为(π－2α)R.
8．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2则( )
A．S1＝2S2 B．S1＝3S2
C．S1＝4S2 D．S1＝2S2
解析：选B.不妨设正方体的棱长为1，则外接球直径为正方体的体对角线长为，而内切球直径为1，所以＝()2＝3，所以S1＝3S2.
9．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则( )
A．S1
＝()2 S1＝S；
＝ S2＝S；
( )3＝ S3＝S.
可知S1
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：选D.AA1在面ABCD内的射影在底面的一条对角线上，∵AC⊥BD，
∴AA1⊥BD，∴BB1⊥BD.
又∵∠BAD＝60°，∴BD＝AB＝BB1，
∴B1BDD1是正方形．
11．一个正四棱台(上、下底面是正方形，各侧面均为全等的等腰梯形)的上、下底面的边长分别为a，b，高为h，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是( )
A.＝＋ B.＝
C.＝＋ D.＝＋
解析：选A.S侧＝4× ×＝a2＋b2，
即4[h2＋()2]·(a＋b)2＝(a2＋b2)2，
化简得h(a＋b)＝ab，
∴＝＋.
12. 如图所示，三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2x(x∈[0,3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N－AMC的体积V与x的变化关系，其中正确的是( )
解析：选A.V＝S△AMC·NO＝(×3x×sin30°)·(8－2x)＝－(x－2)2＋2，x∈[0,3]，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)
13．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．
解析：球的直径等于正六棱柱的体对角线的长．设球的半径为R，由已知可得2R＝ ＝2，R＝.所以球的体积为πR3＝×()3＝4π.
答案：4π
14．一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下降的高度是________cm.
解析：由题意知，金属球的体积等于下降的水的体积，设水面下降h cm，则有＝π×22×h，解得h＝.
答案：
15．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z叫做x、y、z关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a、b、c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系具有传递性的是________．
答案：平行
16．点M是线段AB的中点，若点A、B到平面α的距离分别为4 cm和6 cm，则点M到平面α的距离为________．
解析：(1)如图(1)，当点A、B在平面α的同侧时，分别过点A、B、M作平面α的垂线AA′、BB′、MH，垂足分别为A′、B′、H，则线段AA′、BB′、MH的长分别为点A、B、M到平面α的距离．由题设知AA′＝4 cm，BB′＝6 cm.因此MH＝＝＝5(cm)．
(2)如图(2)，当点A、B在平面α的异侧时，设AB交平面α于点O，
∵AA′∶BB′＝4∶6，∴AO∶OB＝4∶6.
又∵M为AB的中点，
∴MH∶AA′＝1∶4，
即MH＝1(cm)．
故点M到平面α的距离为5 cm或1 cm.
答案：5 cm或1 cm
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线．
证明：
如图所示．(1)连接B1D1.∵E，F分别为D1C1，C1B1的中点，∴EF∥B1D1，
又∵B1D1∥BD，
∴EF∥BD，
∴EF与BD共面，
∴E，F，B，D四点共面．
(2)∵AC∩BD＝P，
∴P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
∵A1C∩平面DBFE＝R，
∴R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
∴P，Q，R三点共线．
18．一球内切于圆锥，已知球和圆锥的底面半径分别为r，R，求圆锥的体积．
解：
如图，设圆锥的高AD＝h，
由△AOE∽△ACD，可得＝，
即＝，解得h＝，
所以圆锥的体积为V＝R2·h＝.
19．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，设AA1＝2，求三棱锥F－A1ED1的体积．
解：如图，连接AE，容易证明AE⊥D1F.
又∵A1D1⊥AE，
∴AE⊥平面A1FD1.
∵A1D1∥AD，A1D1∥平面ABCD，
设平面A1FD1∩平面ABCD＝FG，
则A1D1∥FG且G为AB的中点，
∴AE⊥平面A1GFD1，AE⊥A1G，
设垂足为点H，则EH即为点E到平面A1FD1的距离，
∵A1A＝2，∴AE＝，AH＝，∴EH＝.
又∵S△A1FD1＝S A1GFD1＝，
∴VF－A1ED1＝××＝1，
故三棱锥F－A1ED1的体积为1.
20. 如图△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；
(3)求几何体ADEBC的体积V.
解：
(1)证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH.
∵G，F分别是EC和BD的中点，
∴HG∥BC，HF∥DE.
又∵四边形ADEB为正方形，
∴DE∥AB，从而HF∥AB.
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.
∴平面HGF∥平面ABC.
∴GF∥平面ABC.
(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC.
∴BE⊥AC.
又∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.
∴AC⊥平面BCE.
从而平面EBC⊥平面ACD.
(3)取AB的中点N，连接CN，∵AC＝BC，
∴CN⊥AB，且CN＝AB＝a.
又平面ABED⊥平面ABC，
∴CN⊥平面ABED.
∵C－ABED是四棱锥，
∴VC－ABED＝SABED·CN＝a2·a＝a3.
21．如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.设点O是AB的中点，求证：OC∥平面A1B1C1.
证明：作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D，则OD∥BB1∥CC1.
因为O是AB的中点，所以OD
＝(AA1＋BB1)＝3＝CC1，
则四边形ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D.因为C1D 平面C1B1A1且OC 平面C1B1A1，所以OC∥平面A1B1C1.
22．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
(3)在所给直观图中连接BC′，求证：BC′∥面EFG.
解：(1)如图所示．
(2)所求多面体体积
V＝V长方体－V正三棱锥
＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm3)．
(3)证明：如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，
连接AD′，则AD′∥BC′.
因为E，G分别为AA′，A′D′的中点，
所以AD′∥EG，从而EG∥BC′.
又BC′ 平面EFG，所以BC′∥面EFG.