山东省新人教B版数学（理科）2012届高三单元测试16：选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》
文档属性
| 名称 | 山东省新人教B版数学（理科）2012届高三单元测试16：选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 160.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-01-04 18:30:10 | ||
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文档简介
山东省新人教B版2012届高三单元测试16
选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》
．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 60分)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）
1．已知椭圆的离心率为，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为 （ ）
A． B． C． D．
2．当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P的抛物线的标
准方程是 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．设双曲线x2 –y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域（包含边界）为E,P(x,y)
为该区域内的一个动点，则目标函数的取值范围为 （ ）
A．[] B．[] C．[] D． []
4．短轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线于A、B两点，且|AB|=8,则△ABF2的周长为 （ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
5．已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△
ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
6．如果AC＜0,且BC＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知抛物线()与椭圆=1有一个相同的焦点，则动点的轨
迹是 （ ）
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．直线的一部分
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面为正方
形，侧面PAD与底面ABCD垂直，M为底面内的一个动点，且满
足MP=MC，则动点M的轨迹为 （ ）
A．椭圆 B．抛物线
C．双曲线 D．直线
9．若直线mx- ny = 4与⊙O: x2+y2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆的
交点个数是 （ ）
A．至多为1 B．2 C．1 D．0
10．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是 （ ）
A． B． C． D．
11．过点P(x,y)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且=1，则点P的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是 （ ）
A． B． C． D．以上答案均有可能
第Ⅱ卷(非选择题 90分)
二、填空题（请把答案填在题中横线上本大题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．点A(1,2,-3)关于x轴的对称点B的坐标为 , 点A关于坐标平面xOy的对称点C的坐标为 , B,C两点间的距离为 ．
14．已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点．设，则的值等于 ．
15．已知两条直线,,若，则＝___ ____。
16．已知两个点M(-5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1; ②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是 ．（填上所有正确结论的序号）
三、解答题：(本大题共6个大题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（12分）设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点,A是抛物线上的一个动点， 与x轴正方向的夹角为600,求||的值．
18．（12分）已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,
直线AB恒过定点 若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由．
19．（12分）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
2
20．（12分）
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭
圆G上一点到和的距离之和为12．圆:的圆心为点．
（1）求椭圆G的方程
（2）求的面积
（3）问是否存在圆包围椭圆G 请说明理由．
21．(12分)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形．
22．(14分)
设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,
且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理
由。
详解答案
一、选择题
1．A；解析：已知椭圆的离心率为，焦点是(-3,0)，(3,0)，则c=3，a=6，，
椭圆的方程为，选A．
2．C；解析：将直线方程化为,可得定点P（2，-8），再设抛物线
方程即可；
3．D；解析：双曲线x2 –y2=1的两条渐近线为: ,渐近线与直线x=
的交点坐标分别为(,)和(,-)．利用角点代入法得的取值范围
为[]．
4．B；解析：由于,∴,∴,∴,
由双曲线的定义知: |AF2|- |AF1|=, |BF2|- |BF1|=,
∴|AF2|+|BF2|- |AB|=2,∴|AF2|+|BF2|=8+2,
则△ABF2的周长为16+2．
5． A；解析：由题,∴即
∴，∴解之得：(负值舍去)．故答案选A．
6．C；解析：∵直线Ax＋By＋C=0化为,又AC＜0,BC＜0
∴ AB＞0,∴ ,直线过一、二、四象限，不过第三象限．故答案选C．
7．C；解析：由()得,其焦点为(,0) (),
因为抛物线与椭圆有一个相同的焦点，所以椭圆=1的一个焦点为(,0),
∴,得． (,)
8．D；解析：由MP=MC ,知M在PC的垂直平分面内，又M∈面ABCD
∴M在两平面的交线上．故答案选D．
9．B；解析:由题意＞2即m2+n2＜4,点(m,n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，
与椭圆的交点个数为2,故答案选B．
10．C；解析：对于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离因为，而，因此
，因此其渐近线方程为．
11．D；解析：设P(x,y)，则Q (-x,y)，
由 ∴A(),B(0,3y)， ∴- ．
从而由=(-x,y)·(-,3y)=1．
得其中x>0,y>0,故答案选D．
12．D；解析：⑴静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选B；⑵静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选C；⑶静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选A．
由于三种情况均有可能，故选D．
二、填空题：
13． (1,-2,3 ) (1,2,3) 4 解析：过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C,使CM=AM，则A与C'关于坐标平面xOy对称且C (1,2,3)．
过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使NB=AN，则A与B关于x轴对称且B(1,-2,3)．
∴A(1,2,-3)关于x轴对称的点B(1,-2,3 )．
又A(1,2,-3)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,3);
∴|BC|==4．
14． 3 解析：由题意知,直线的方程为,与抛物线联立得, 求得交点的横坐标为或,∵,又根据抛物线的定义得,∴=3．
15． 0 解析：当时, ,,．
当时, ,,若．则,上式显然不成立．
∴若，则＝0．
16．①③ 解析：∵|PM|-|PN|=6 ∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即
(x＞0)，将直线方程与其联立，方程组有解,判断其答案为①③．
三．解答题
17．解：由题意设代入y2=2px得
解得x=p(负值舍去)． 6分
∴A() ∴ 12分
18．解: (1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离．所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,,
所以所求的轨迹方程为 5分
(2) 假设存在A,B在上,
所以,直线AB的方程:,即 7分
即AB的方程为:,即
即:， 10分
令,得，
所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0) 12分
19．解：（Ⅰ）设，，
由勾股定理可得： 2分
得：，，
由倍角公式，解得,则离心率． 6分
（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立
将，代入，化简有 8分
将数值代入，有,解得 10分
故所求的双曲线方程为． 12分
20．解: （1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为：． 6分
（2）点的坐标为,． 8分
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G． 12分
21．解：（1）设椭圆方程为
则 2分
∴椭圆方程 4分
（2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m
又
∴l的方程为：
由 6分
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴m的取值范围是
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可
设
可得
8分
而
10分
∴k1＋k2=0
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形． 12分
22． 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为 4分
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
要使,需使,即,所以
,
所以又,
所以,所以,即或,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,
所求的圆为,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．
因为,
所以,
, 8分
①当时
因为所以,
所以,
所以当且仅当时取“=”．
②时,
③当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,
所以此时, 12分
综上, |AB |的取值范围为即: 14分
选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》
．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 60分)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）
1．已知椭圆的离心率为，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为 （ ）
A． B． C． D．
2．当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P的抛物线的标
准方程是 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．设双曲线x2 –y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域（包含边界）为E,P(x,y)
为该区域内的一个动点，则目标函数的取值范围为 （ ）
A．[] B．[] C．[] D． []
4．短轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线于A、B两点，且|AB|=8,则△ABF2的周长为 （ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
5．已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△
ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
6．如果AC＜0,且BC＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知抛物线()与椭圆=1有一个相同的焦点，则动点的轨
迹是 （ ）
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．直线的一部分
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面为正方
形，侧面PAD与底面ABCD垂直，M为底面内的一个动点，且满
足MP=MC，则动点M的轨迹为 （ ）
A．椭圆 B．抛物线
C．双曲线 D．直线
9．若直线mx- ny = 4与⊙O: x2+y2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆的
交点个数是 （ ）
A．至多为1 B．2 C．1 D．0
10．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是 （ ）
A． B． C． D．
11．过点P(x,y)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且=1，则点P的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是 （ ）
A． B． C． D．以上答案均有可能
第Ⅱ卷(非选择题 90分)
二、填空题（请把答案填在题中横线上本大题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．点A(1,2,-3)关于x轴的对称点B的坐标为 , 点A关于坐标平面xOy的对称点C的坐标为 , B,C两点间的距离为 ．
14．已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点．设，则的值等于 ．
15．已知两条直线,,若，则＝___ ____。
16．已知两个点M(-5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1; ②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是 ．（填上所有正确结论的序号）
三、解答题：(本大题共6个大题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（12分）设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点,A是抛物线上的一个动点， 与x轴正方向的夹角为600,求||的值．
18．（12分）已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,
直线AB恒过定点 若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由．
19．（12分）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
2
20．（12分）
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭
圆G上一点到和的距离之和为12．圆:的圆心为点．
（1）求椭圆G的方程
（2）求的面积
（3）问是否存在圆包围椭圆G 请说明理由．
21．(12分)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形．
22．(14分)
设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,
且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理
由。
详解答案
一、选择题
1．A；解析：已知椭圆的离心率为，焦点是(-3,0)，(3,0)，则c=3，a=6，，
椭圆的方程为，选A．
2．C；解析：将直线方程化为,可得定点P（2，-8），再设抛物线
方程即可；
3．D；解析：双曲线x2 –y2=1的两条渐近线为: ,渐近线与直线x=
的交点坐标分别为(,)和(,-)．利用角点代入法得的取值范围
为[]．
4．B；解析：由于,∴,∴,∴,
由双曲线的定义知: |AF2|- |AF1|=, |BF2|- |BF1|=,
∴|AF2|+|BF2|- |AB|=2,∴|AF2|+|BF2|=8+2,
则△ABF2的周长为16+2．
5． A；解析：由题,∴即
∴，∴解之得：(负值舍去)．故答案选A．
6．C；解析：∵直线Ax＋By＋C=0化为,又AC＜0,BC＜0
∴ AB＞0,∴ ,直线过一、二、四象限，不过第三象限．故答案选C．
7．C；解析：由()得,其焦点为(,0) (),
因为抛物线与椭圆有一个相同的焦点，所以椭圆=1的一个焦点为(,0),
∴,得． (,)
8．D；解析：由MP=MC ,知M在PC的垂直平分面内，又M∈面ABCD
∴M在两平面的交线上．故答案选D．
9．B；解析:由题意＞2即m2+n2＜4,点(m,n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，
与椭圆的交点个数为2,故答案选B．
10．C；解析：对于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离因为，而，因此
，因此其渐近线方程为．
11．D；解析：设P(x,y)，则Q (-x,y)，
由 ∴A(),B(0,3y)， ∴- ．
从而由=(-x,y)·(-,3y)=1．
得其中x>0,y>0,故答案选D．
12．D；解析：⑴静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选B；⑵静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选C；⑶静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选A．
由于三种情况均有可能，故选D．
二、填空题：
13． (1,-2,3 ) (1,2,3) 4 解析：过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C,使CM=AM，则A与C'关于坐标平面xOy对称且C (1,2,3)．
过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使NB=AN，则A与B关于x轴对称且B(1,-2,3)．
∴A(1,2,-3)关于x轴对称的点B(1,-2,3 )．
又A(1,2,-3)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,3);
∴|BC|==4．
14． 3 解析：由题意知,直线的方程为,与抛物线联立得, 求得交点的横坐标为或,∵,又根据抛物线的定义得,∴=3．
15． 0 解析：当时, ,,．
当时, ,,若．则,上式显然不成立．
∴若，则＝0．
16．①③ 解析：∵|PM|-|PN|=6 ∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即
(x＞0)，将直线方程与其联立，方程组有解,判断其答案为①③．
三．解答题
17．解：由题意设代入y2=2px得
解得x=p(负值舍去)． 6分
∴A() ∴ 12分
18．解: (1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离．所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,,
所以所求的轨迹方程为 5分
(2) 假设存在A,B在上,
所以,直线AB的方程:,即 7分
即AB的方程为:,即
即:， 10分
令,得，
所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0) 12分
19．解：（Ⅰ）设，，
由勾股定理可得： 2分
得：，，
由倍角公式，解得,则离心率． 6分
（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立
将，代入，化简有 8分
将数值代入，有,解得 10分
故所求的双曲线方程为． 12分
20．解: （1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为：． 6分
（2）点的坐标为,． 8分
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G． 12分
21．解：（1）设椭圆方程为
则 2分
∴椭圆方程 4分
（2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m
又
∴l的方程为：
由 6分
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴m的取值范围是
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可
设
可得
8分
而
10分
∴k1＋k2=0
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形． 12分
22． 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为 4分
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
要使,需使,即,所以
,
所以又,
所以,所以,即或,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,
所求的圆为,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．
因为,
所以,
, 8分
①当时
因为所以,
所以,
所以当且仅当时取“=”．
②时,
③当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,
所以此时, 12分
综上, |AB |的取值范围为即: 14分