山东省新人教B版数学（理科）2012届高三单元测试20：选修2-2第二、三章《推理与证明、数系的扩充与复数》

山东省新人教B版2012届高三单元测试20
选修2-2第二、三章《推理与证明、数系的扩充与复数》
（时间120分钟 满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.下列推理过程是类比推理的为（ ）
A.人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5
B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C.通过检验溶液的值得出溶液的酸碱性
D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
2.曲线在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
3.函数在下列哪个区间内是增函数（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数在区间[a, 2 ]上的最大值为，则 a 等于（ ）
A． B． C． D．或
5.已知，则等于 ( )
A．2 B．0 C．-2 D．
6.如图是导函数的图象，那么函数
在下面哪个区间是减函数( )
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)= ，则方程f(x)在区间[2,10]内零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
8.函数在上是的最大值为( )
A. B. C. D.
9.设、是定义域为R的恒大于零的可导函数，且，
则当时有( )
A. B.
C. D.
10. 用数学归纳法证明“”时，从 到，给等式的左边需要增乘的代数式是（ ）
A． B． C． D．
11.如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数的图象可能是（ ）
12.已知二次函数的导数为 对于任意实数x都有 则的最小值为（ ）
A．2 B. C． 3 D.
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共计16分）
13.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设应该是
14.如果过原点作曲线的切线，那么切线方程是
15.函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为_____________
16.已知，，，。。。，若
(a , b) , 则a= , b= .
三、解答题（本大题共6小题，共计74分）
17.（12分）已知，且，求证：．
18.（12分）某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
19.（12分）已知均为实数，且，
求证：中至少有一个大于0.
20.（12分）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值4，
其导函数y=f(x)的图象经过点(0，0)，(2，0)，如图，
（1）求 a，b，c的值；
（2）若求f(x)的最大和最小值.
22. （14分）已知函数处取得极值2。 （1）求函数的解析式；
（2）实数m满足什么条件时，函数在区间上单调递增？
（3）是否存在这样的实数m，同时满足：①；②当恒成立。若存在，请求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
参考答案
选择题：
BBCCD BADCC AA
二、填空题：
13. 假设三角形的三内角都大于 ； 14. y=ex； 15. ； 16. a=6，b=35 .
三、解答题：
17. 证明：(分析法)因为，且，
所以，，要证明原不等式成立，只需证明，
即证，从而只需证明，
即，因为，，
所以成立，故原不等式成立．
18. 解：设单价为, 总利润为, 由已知得,
把= 100， = 50 代入前式得 = 250000，即 ，
所以 ，令，得= 25 ，
易知= 25是极大值点，也是最大值点。
答：产量定为25件时总利润最大。
19. 证明：（反证法）
假设都不大于0，即，则，
因为
即，与矛盾，故假设错误，原命题成立.
20. 解：（1），
由图象可知，当时，有当时，有
所以当x=2时f(x)有极大值4，
因此得 …(5分) 解得
（2）由（1）可知，,
由于，列表如下
x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1
- - 0 + +
4 ↓ 0 ↑ 2
所以，当`时，的最大值是4，的最小值是0。
21. 解：（1），，
，
（2）猜想： 即：
（n∈N*）
下面用数学归纳法证明 （1）n=1时，已证S1=T1 ；
（2）假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：
则
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立.
22. 解：（1）已知函数
（2）由
（3）分两种情况讨论如下：
①当恒成立，必须
②当
恒成立，必须故此时不存在这样的m值。
综合①②得：满足条件的m的取值范围是
2
x
y
0
3
)
(
3
3
,
4
1
,
1
1
4
,
1
,
1
4
)
(
)
(
2
2
2
2
min
















m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
f
x
f
或者
舍去
即
因为