_第一章三角函数练习2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

三角函数
1．sin(－60°)的值是(　　)
A．－　　　　　　 B．
C．－ D．
2．函数y＝2sin的图象的两条相邻对称轴间的距离为(　　)
A． B．
C． D．π
3．函数y＝sin 3x的图象可以由函数y＝cos 3x的图象(　　)
A．向左平移个单位得到
B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到
D．向右平移个单位得到
4．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于(　　)
A．－ B．2kπ－(k∈Z)
C．kπ(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
5．将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
6．已知函数f(x)＝sin的最小正周期为π，则f＝________.
7．函数y＝tan 2x，x∈的值域是________．
8.如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的最小正周期是________．
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0,0<φ<的相邻对称轴之间的距离为，且该函数图象的一个最高点为.
(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间；
(2)若x∈，求函数f(x)的最大值和最小值．
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin α)>f(cos β)．
11．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z)
B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z)
D． x＝＋(k∈Z)
12．函数f(x)＝ln的单调递增区间为(　　)
A．
B．
C．
D．
13．(多选)函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴在区间内，则满足此条件的一个φ值为(　　)
A． B．
C． D．
14．若函数f(x)＝sin ωx在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
15．如图是正弦函数y1＝Asin(ωx＋φ)，|φ|<的一个周期的图象．
(1)写出y1的解析式；
(2)若y2与y1的图象关于直线x＝2对称，求y2的解析式．
答案
1．sin(－60°)的值是(　　)
A．－　　　　　　 B．
C．－ D．
C　[sin(－60°)＝－sin 60°＝－.]
2．函数y＝2sin的图象的两条相邻对称轴间的距离为(　　)
A． B．
C． D．π
B　[T＝＝，所以两条相邻对称轴间的距离T＝.]
3．函数y＝sin 3x的图象可以由函数y＝cos 3x的图象(　　)
A．向左平移个单位得到
B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到
D．向右平移个单位得到
D　[∵sin 3x＝cos＝cos＝cos.
∴函数y＝cos 3x的图象向右平移个单位即可得到函数y＝sin 3x的图象，故选D．]
4．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于(　　)
A．－ B．2kπ－(k∈Z)
C．kπ(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
D　[若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cos φ＝0，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．]
5．将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
A　[由题意得，t＝sin＝，故此时P′所对应的点为，此时向左平移－＝个单位，故选A．]
6．已知函数f(x)＝sin的最小正周期为π，则f＝________.
1　[由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝1.]
7．函数y＝tan 2x，x∈的值域是________．
[0，]　[函数y＝tan 2x在区间x∈上单调递增，所以值域是[0，]．]
8.如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的最小正周期是________．
4　[连接AB(图略)，设AB与x轴的交点为C，则由∠AOB＝，得CO＝CA＝CB．又OA＝CA，所以△AOC是高为的正三角形，从而OC＝2，所以该函数的最小正周期是4.]
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0,0<φ<的相邻对称轴之间的距离为，且该函数图象的一个最高点为.
(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间；
(2)若x∈，求函数f(x)的最大值和最小值．
[解]　(1)由题意有：A＝2，T＝π ，即ω＝＝2，
由当x＝时，函数f(x)取最大值，即2×＋φ＝2kπ＋，解得φ＝2kπ＋，k∈Z.又0<φ<，所以φ＝，
即f(x)＝2sin，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)若x∈，则2x＋∈，
所以2sin∈[1,2]，
故函数f(x)的最大值为2，最小值为1.
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin α)>f(cos β)．
[证明]　∵f(x＋2)＝f(x)，∴y＝f(x)的周期为2.
∴f(x)在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同．
∴f(x)在[－1,0]上单调递减．
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反．
∴f(x)在[0,1]上单调递增．①
∵α，β是锐角三角形的两个内角，
∴α＋β>，
∴α>－β，且α∈，－β∈.
又∵y＝sin x在上单调递增，
∴sin α>sin＝cos β，即sin α>cos β.②
由①②，得f(sin α)>f(cos β)．
11．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z)
B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z)
D． x＝＋(k∈Z)
B　[函数y＝2sin 2x的图象的对称轴为x＝＋，因此平移后函数图象的对称轴为x＝＋－，即x＝＋(k∈Z)．]
12．函数f(x)＝ln的单调递增区间为(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[设t＝2x－，即f(x)＝ln，
t的取值需要满足两个条件，一是保证sin t>0，二是保证f(x)＝sin t单调递增，
所以，0＋2kπ13．(多选)函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴在区间内，则满足此条件的一个φ值为(　　)
A． B．
C． D．
AB　[令2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋－(k∈Z)，
因为函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴在区间内，
所以令<＋－<(k∈Z)，解得kπ－<φ四个选项中AB符合，故选AB．]
14．若函数f(x)＝sin ωx在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
　[由于函数f(x)＝sin ωx的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f的周期，故＝，解得ω＝.]
15．如图是正弦函数y1＝Asin(ωx＋φ)，|φ|<的一个周期的图象．
(1)写出y1的解析式；
(2)若y2与y1的图象关于直线x＝2对称，求y2的解析式．
[解]　(1)由图象可知：A＝2，T＝2×[3－(－1)]＝8，ω＝＝＝，
∴y1＝2sin，将点(－1,0)代入得0＝2sin，
∴－＋φ＝2kπ，φ＝2kπ＋.
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴y1＝2sin.
(2)设y2图象上任意一点的坐标为(x，y2)，则其关于直线x＝2对称的点的坐标为(4－x，y2)，由题意易知(4－x，y2)在y1的图象上，
故y2＝2sin＝2sin.
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