_第五章复数练习2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

复数
1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则 (a＋bi)2＝(　　)
A．3－4i　　　　　 B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
2．如图，复数z1，z2在复平面上分别对应点A，B，则z1·z2＝(　　)
A．0
B．2＋i
C．－2－i
D．－1＋2i
3．如果复数z＝，则(　　)
A．|z|＝2 B．z的实部为1
C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i
4．“复数z是实数”的充分不必要条件为(　　)
A．|z|＝z B．z＝
C．z2是实数 D．z＋是实数
5．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，i为虚数单位，那么对应的复数为(　　)
A．4＋7i B．1＋3i
C．4－4i D．－1＋6i
6．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________.
7．已知复数z＝，i为虚数单位，是z的共轭复数，则z·＝________.
8．已知i是虚数单位，若＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．
9．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是实数，求z2.
10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
11．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的实部为－3，则|z|＝(　　)
A． B．2
C． D．5
12．(多选)设z是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
13．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
14．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，则|z|＝________.
15．已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z.
答案
1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则 (a＋bi)2＝(　　)
A．3－4i　　　　　 B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
A　[由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.]
2．如图，复数z1，z2在复平面上分别对应点A，B，则z1·z2＝(　　)
A．0
B．2＋i
C．－2－i
D．－1＋2i
C　[由图可得：z1＝－1＋2i，z2＝i，∴z1·z2＝·i＝－2－i.]
3．如果复数z＝，则(　　)
A．|z|＝2 B．z的实部为1
C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i
C　[因为z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，因此选C．]
4．“复数z是实数”的充分不必要条件为(　　)
A．|z|＝z B．z＝
C．z2是实数 D．z＋是实数
A　[由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故“|z|＝z”是“z为实数”的充分不必要条件．]
5．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，i为虚数单位，那么对应的复数为(　　)
A．4＋7i B．1＋3i
C．4－4i D．－1＋6i
C　[因为，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，＝－＝－(＋)，所以对应的复数为3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.]
6．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________.
　[已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，则z1·＝(3t＋4)＋(4t－3)i，∵z1·是实数，∴4t－3＝0，即t＝.]
7．已知复数z＝，i为虚数单位，是z的共轭复数，则z·＝________.
　[z＝－(－i)，|z|＝，∴z·＝|z|2＝.]
8．已知i是虚数单位，若＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．
－3　[∵＝b＋i，∴a＋3i＝(b＋i)i，
则a＋3i＝－1＋bi，可得∴ab＝－3.]
9．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是实数，求z2.
[解]　由z1＝2＋i，得1＝2－i，由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，
可设z2＝1＋bi(b∈R)，则1·z2＝(2－i)·(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.
又1·z2为实数，所以2b－1＝0，b＝.
所以z2＝1＋i.
10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
[解]　z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.
(1)|z|＝＝.
(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，
∵＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，
∴∴a＝－3，b＝4.
11．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的实部为－3，则|z|＝(　　)
A． B．2
C． D．5
D　[∵z＝＝＝的实部为－3，∴＝－3，解得a＝7.∴z＝－3－4i，则|z|＝5.故选D．]
12．(多选)设z是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
ABD　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则
故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．]
13．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
－2＋3i　[∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z2＝－2＋3i.]
14．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，则|z|＝________.
2　[由纯虚数的定义知解得m＝4，所以z＝4＋ni.
因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.
所以z＝4－2i，所以|z|＝＝2.]
15．已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z.
[解]　设z＝x＋yi，x，y∈R，如图，因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，
所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即
解得或
因为|OA|≠|BC|，所以x＝－3，y＝4(舍去)，故z＝－5.
6/6