_第四章三角恒等变换练习2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

三角恒等变换
1．已知sin θ＋cos θ＝，且0＜θ＜，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A．　　　　　　　 B．－
C． D．－
2．若－2π＜α＜－，则 的值是(　　)
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
3．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
4. 已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
5．同时具有性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在上是减函数的一个函数是(　　)
A．y＝sin＋cos
B．y＝sin＋cos
C．y＝sin 2x＋cos 2x
D．y＝sin 2x－cos 2x
6．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝________，b＝________.
7．若 ＜θ＜2π，sin θ＝－，则cos ＝________.
8. 化简：·＝________.
9．已知cos α－sin α＝，且π＜α＜，求的值．
10．已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
11．若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)
A． B．
C． D．－2
12．已知sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，则cos 2β的值为(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
13．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－2，则＝________.
14．已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，则cos等于________．
15．已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
答案
1．已知sin θ＋cos θ＝，且0＜θ＜，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A．　　　　　　　 B．－
C． D．－
B　[∵sin θ＋cos θ＝，∴1＋2sin θcos θ＝，
则2sin θcos θ＝.又0＜θ＜，
所以sin θ－cos θ＜0，故sin θ－cos θ＝－＝－＝－，故选B．]
2．若－2π＜α＜－，则 的值是(　　)
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
D　[＝ ＝ ＝，∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，
∴cos ＜0，∴＝－cos .]
3．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
D　[∵sin α－cos α＝－，∴1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－，∴tan α＋＝＋＝＝－8.]
4. 已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
A　[因为tan＝＝，
所以tan α＝－，
因为－<α<0，所以sin α＝－ ，
则＝＝2sin α＝－.]
5．同时具有性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在上是减函数的一个函数是(　　)
A．y＝sin＋cos
B．y＝sin＋cos
C．y＝sin 2x＋cos 2x
D．y＝sin 2x－cos 2x
D　[y＝sin 2x－cos 2x＝sin的最小正周期为T＝＝π；当x＝时，sin＝sin＝1，所以y＝sin 2x－cos 2x的图象关于直线x＝对称；当x∈时，2x－∈，所以函数y＝sin在上单调递减．故选D．]
6．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝________，b＝________.
　1　[2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，故A＝，b＝1.]
7．若 ＜θ＜2π，sin θ＝－，则cos ＝________.
－　[∵＜θ＜2π，∴＜＜π.又sin θ＝－，∴cos θ＝，
∴cos ＝－＝－ ＝－.]
8. 化简：·＝________.
　[原式＝·
＝·
＝·＝.]
9．已知cos α－sin α＝，且π＜α＜，求的值．
[解]　∵cos α－sin α＝，∴1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝.
又∵α∈，∴sin α＋cos α＝－＝－，
∴＝＝＝＝－.
10．已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
[解]　(1)因为f(x)＝coscos－sin 2x＋
＝－sin 2x＋
＝cos2 x－sin2 x－sin 2x＋
＝－－sin 2x＋
＝(cos 2x－sin 2x)＝cos，
所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
又因为x∈[0，π]，则f(x)在[0，π]上的单调递减区间为，.
11．若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)
A． B．
C． D．－2
A　[∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－，
∴＝＝＝＋1,1＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝，故选A．]
12．已知sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，则cos 2β的值为(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
C　[由题意知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝，
所以cos 2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝.]
13．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－2，则＝________.
3＋2　[∵tan 2θ＝＝－2，∴tan θ＝－或tan θ＝.
∵＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，∴tan θ＜0，∴tan θ＝－，
＝＝＝＝＝3＋2.]
14．已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，则cos等于________．
　[因为sin＋sin α＝－，
所以sin＋sin＝－，
所以sin＋sincos－cossin＝－，
所以sin－cos＝－，
所以－＝－，
即－cos＝－，cos＝，
所以cos＝cos＝.]
15．已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
[解]　(1)∵a＝(1，－)，b＝，
∴f(x)＝a·b＝sin x－＝sin x－cos x.
∵f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0，∴tan θ＝，
∴＝＝＝＝－2＋.
(2)由(1)知f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．
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