2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第六章立体几何初步练习（Word版含解析）

立体几何初步
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是(　　)
A．①是棱台　　　　　 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个说法：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确说法的序号是(　　)
A．① B．②③
C．③④ D．①④
4．正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为(　　)
A．1∶ B．1∶
C．2∶ D．3∶
5．下列说法中，错误的是(　　)
A．若平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝l，平面β∩平面γ＝m，则l∥m
B．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β
C．若直线l⊥平面α，平面α⊥平面β，则l∥β
D．若直线l∥平面α，平面α∩平面β＝m，直线l?平面β，则l∥m
6．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．
7．在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
8．如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC．(填图中的一条直线)
9．如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB．
10．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小．
11．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是(　　)
A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b
B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β
D．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β
12．如图，三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不成立的是(　　)
A．AC＝BC
B．VC⊥VD
C．AB⊥VC
D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO
13．已知四面体A－BCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为________．
14．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．
15．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
答案
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是(　　)
A．①是棱台　　　　　 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
C　[图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥，图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱，故选C．]
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
D　[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.]
3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个说法：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确说法的序号是(　　)
A．① B．②③
C．③④ D．①④
A　[②如果m?γ，则m不平行于γ；③若m∥α，n∥α，则m，n相交，平行或异面；④若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行．]
4．正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为(　　)
A．1∶ B．1∶
C．2∶ D．3∶
B　[设正方体棱长为a，S正方体表面积＝6a2，正三棱锥侧棱长为a，则三棱锥表面积为S三棱锥表面积＝4××2a2＝2a2.∴＝＝.]
5．下列说法中，错误的是(　　)
A．若平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝l，平面β∩平面γ＝m，则l∥m
B．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β
C．若直线l⊥平面α，平面α⊥平面β，则l∥β
D．若直线l∥平面α，平面α∩平面β＝m，直线l?平面β，则l∥m
C　[对于A，由面面平行的性质定理可知为真命题，故A正确；对于B，由面面垂直的性质定理可知为真命题，故B正确；对于C，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l?β，故C错误；对于D，由线面平行的性质定理可知为真命题，故D正确．综上，选C．]
6．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．
πR3　[设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，则r＝R.又由已知，得圆锥母线长为R，所以圆锥的高h＝＝R，故体积为V＝πr2h＝πR3.]
7．在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
8　[如图，过点G作EF∥AC，分别交PA、PC于点E、F，过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，分别交AB、BC于点N、M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.]
8．如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC．(填图中的一条直线)
AF　[∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，∴BC⊥AC．
∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．
∵AF?平面PAC，∴AF⊥BC．
又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC．]
9．如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB．
[证明]　(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB．
又因为VB?平面MOC，OM?平面MOC，所以VB∥平面MOC．
(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．
又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC?平面ABC，所以OC⊥平面VAB．
又因为OC?平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB．
10．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小．
[解]　 (1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC．
∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′，∴OC⊥AB．又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA．
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成的角为30°.
(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
由题知OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝ )＝，
∴tan∠OAE＝＝.
(3)由(1)知OC⊥平面AOB．又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC．
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
11．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是(　　)
A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b
B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β
D．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β
C　[对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，
又b⊥β，故a∥b，故A正确；
对于B，若a⊥α，a⊥b，则b?α或b∥α，
∴存在直线m?α，使得m∥b，
又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；
对于C，若a⊥α，a⊥b，则b?α或b∥α，
又α∥β，∴b?β或b∥β，故C错误；
对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确，故选C．]
12．如图，三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不成立的是(　　)
A．AC＝BC
B．VC⊥VD
C．AB⊥VC
D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO
B　[因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB．
因为VO⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以VO⊥AB．
又VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD．
又CD?平面VCD，VC?平面VCD，所以AB⊥VC，AB⊥CD．
又AD＝BD，所以AC＝BC(线段垂直平分线的性质)．
因为VO⊥平面ABC，所以VV－ABC＝S△ABC·VO.
因为AB⊥平面VCD，
所以VV－ABC＝VB－VCD＋VA－VCD＝S△VCD·BD＋S△VCD·AD＝S△VCD·(BD＋AD)＝S△VCD·AB，
所以S△ABC·VO＝S△VCD·AB，
即S△VCD·AB＝S△ABC·VO.综上知，A，C，D正确．]
13．已知四面体A－BCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为________．
　[如图，设四面体A－BCD的棱长为a，延长AG交BC于E，取BD的中点F，连接EF，AF.由题意知E为BC的中点，所以CD∥EF，所以∠AEF即异面直线AG与CD所成的角．由题意知AE＝AF＝a，EF＝a，则在△AEF中，cos∠AEF＝＝.]
14．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．
144π　[∵S△OAB是定值，且VO－ABC＝VC－OAB，
∴当OC⊥平面OAB时，VC－OAB最大，即VO－ABC最大．
设球O的半径为R，则(VO－ABC)max＝×R2×R＝R3＝36，
∴R＝6，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×62＝144π.]
15．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
[解]　 (1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．
而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连接AC交BD于O，如图．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.
MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD．
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