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5.3平行线的性质
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠E＝15°，则∠C的度数为（ ）
A．50°
B．65°
C．35°
D．15°
2．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CED＝46°，那么∠BAF的度数为（ ）
A．48°
B．16°
C．14°
D．32°
3．如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝（ ）
A．
B．
C．
D．
4．要说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，可设（ ）
A．a＝3，b＝4
B．a＝4，b＝3
C．a＝﹣3，b＝﹣4
D．a＝﹣4，b＝﹣3
5．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
6．如图，已知∠1＝∠2，∠D＝68°，则∠BCD＝（ ）
A．98°
B．62°
C．88°
D．112°
7．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，则图中与∠FDB相等的角（不包含∠FDB）的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（ ）
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
二．填空题（共4小题）
9．命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是
命题．（填“真”或“假”）
10．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为
度．
11．如图：AB∥CD，AE⊥CE，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，则∠AFC＝
．
12．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是
．
三．解答题（共4小题）
13．如图，AD∥BE，∠ACB＝90°，∠CBE＝40°，求∠CAD的度数．
14．如图，MN，EF分别表示两面镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，且AB∥CD．求证：MN∥EF．
15．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
16．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连结PA、PB．
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为
度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
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（共
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5.3平行线的性质
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠E＝15°，则∠C的度数为（ ）
A．50°
B．65°
C．35°
D．15°
解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DOE＝∠A＝50°，
∵∠E＝15°，
∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝50°﹣15°＝35°，
故选：C．
2．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CED＝46°，那么∠BAF的度数为（ ）
A．48°
B．16°
C．14°
D．32°
解：∵DE∥AF，
∴∠CED＝∠EAF＝46°，
∵∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠EAF＝60°﹣46°＝14°，
故选：C．
3．如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝（ ）
A．
B．
C．
D．
解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
故选：D．
4．要说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，可设（ ）
A．a＝3，b＝4
B．a＝4，b＝3
C．a＝﹣3，b＝﹣4
D．a＝﹣4，b＝﹣3
解：当a＝﹣3，b＝﹣4时，a2＝9，b2＝16，
a＞b，而a2＜b2，
∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，
故选：C．
5．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
解：∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠FGD＝∠ADB＝90°，
∴FG∥AD，
故①正确；
∵DE∥AC，∠BAC＝90°，
∴DE⊥AB，
不能证明DE为∠ADB的平分线，
故②错误；
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BAD+∠ADE＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
故③正确；
∵∠BAC＝90°，DE⊥AB，
∴∠CFG+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠CFG+∠BDE＝90°，
故④正确，
综上所述，正确的选项①③④，
故选：C．
6．如图，已知∠1＝∠2，∠D＝68°，则∠BCD＝（ ）
A．98°
B．62°
C．88°
D．112°
解：如图所示：
∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴∠D+∠BCD＝180°，
又∵∠D＝68°，
∴∠BCD＝112°，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，则图中与∠FDB相等的角（不包含∠FDB）的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴DF∥CE，
∴∠ECB＝∠FDB，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠ACE＝∠FDB，
∵AC∥DE，
∴∠ACE＝∠DEC＝∠FDB，
∵DF∥CE，
∴∠DEC＝∠EDF＝∠FDB，
即与∠FDB相等的角有∠ECB、∠ACE、∠CED、∠EDF，共4个，
故选：B．
8．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（ ）
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
解：∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
又∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°，
又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝45°，
∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③错误；
∵∠D＝30°，∠CAD＝150°，
∴∠CAD+∠D＝180°，
∴AC∥DE，
∴∠4＝∠C，故④正确．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
9．命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是 真 命题．（填“真”或“假”）
解：命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”，是真命题，
故答案为：真．
10．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为 59或121 度．
解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，
∵∠MFD＝∠BEF＝62°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF＝BEF＝31°，
∴∠FGE＝31°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣31°＝59°；
②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，
同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+31°＝121°．
则∠PGF的度数为59或121度．
故答案为：59或121．
11．如图：AB∥CD，AE⊥CE，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，则∠AFC＝ 60° ．
解：连接AC，设∠EAF＝x，∠ECF＝y，∠EAB＝3x，∠ECD＝3y，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+3x+∠ACE+3y＝180°，
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（3x+3y），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（2x+2y）
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）
＝180°﹣[180°﹣（3x+3y）]
＝3x+3y
＝3（x+y），
∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）
＝180°﹣[180°﹣（2x+2y）]
＝2x+2y
＝2（x+y），
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AFC＝∠AEC＝×90°＝60°．
故答案为：60°．
12．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是 180°﹣3α ．
解：∵AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝α，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣α，
∴∠CFG＝∠CFE﹣∠BFE＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，
∴∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α．
故答案为：180°﹣3α．
三．解答题（共4小题）
13．如图，AD∥BE，∠ACB＝90°，∠CBE＝40°，求∠CAD的度数．
解：过点C作CF∥AD，
∵AD∥BE，
∴CF∥BE，
∴∠CAD＝∠ACF，∠CBE＝∠FCB，
∴∠ACB＝∠CAD+∠CBE，
∴∠CAD＝∠ACB﹣∠CBE＝90°﹣40°＝50°．
14．如图，MN，EF分别表示两面镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，且AB∥CD．求证：MN∥EF．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1+∠ABC+∠2＝∠3+∠BCD+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠3，
∴MN∥EF．
15．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵∠1+∠4＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠4，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠5，
∵∠3＝∠B，
∴∠5＝∠B，
∴DE∥BC，
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠5＝∠6，
∵DE∥BC，
∴∠5＝∠B，
∵∠2＝3∠B，
∴∠2+∠5+∠6＝3∠B+∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠2＝108°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝72°．
16．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连结PA、PB．
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 55 度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
解：猜想：如图①，过点P作PG∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，
故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
∵l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P在射线CE上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD．
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