5.3.2 命题、定理、证明同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.3.2 命题、定理、证明同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-06 21:10:31 | ||
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文档简介
人教版数学七年级下册 第五章 相交线与平行线
5.3.2 命题、定理、证明 同步练习
一、单选题
1.下列语句中不是命题的有（ ??）
⑴两点之间，线段最短； （2）连接A、B两点；（3）鸟是动物；（4）不相交的两条直线叫做平行线；（5）无论a为怎样的有理数，式子a2+1的值都是正数吗？
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.命题“等角的补角相等”中，“等角的补角”是命题的（?? ）
A.?条件部分????????????????B.?是条件，也是结论????????????????C.?结论部分????????????????D.?不是条件，也不是结论
3.下列语句中，不是命题的是 ( ?????)
A.?若两角之和为90°，则这两个角互余。????????????????B.?同角的余角相等。
C.?画线段的中垂线。??????????????????????????????????????????????D.?相等的角是对顶角。
4.下列命题中，为真命题的是（?? ）
A.?对顶角相等????????????B.?同位角相等????????????C.?若a2＝b2 ， 则a＝b????????????D.?若a＞b，则－2a＞－2b
5.下列命题中是真命题的是（?? ）
A.?相等的角是对顶角??????????????????????????????????????????????B.?数轴上的点与实数一一对应
C.?同旁内角互补?????????????????????????????????????????????????????D.?无理数就是开方开不尽得数
二、填空题
6.把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为________．
7.命题“对顶角相等”的逆命题是________ ，这是一个________（填真或假）命题．
8.命题“内错角相等”是________命题（填“真”、“假”）.
9.如图，在四边形ABCD中，给出了下列三个论断：①对角线AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，则可以得出________个正确的命题.
三、解答题
10.下列各命题的条件是什么？结论是什么？
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
11.下列语句哪些是命题？对于命题，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论，并指出是真命题还是假命题，并说明为什么是假命题．
（1）小亮今年上八年级，明年一定上九年级；
（2）作一条线段的垂直平分线；
（3）互为倒数的两个数的积为1；
（4）内错角相等；
（5）不等式的两边同时乘以一个数，不等号的方向改变．
12.下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
①内错角相等；
②两直线平行，同旁内角互补；
③若x=2，则x+1>1；
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向；
⑤三角形两边之和大于第三边．
13.如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
14.如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．
四、综合题
15.如图，①AB CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC.
（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】两点之间，线段最短，所以（1）为命题；
连接A、B两点，它为描述性语言，所以（2）不是命题；
鸟是动物，所以（3）为命题；
不相交的两条直线叫做平行线，所以（4）为命题；
无论a为怎样的有理数，式子a2+1的值都是正数吗？它为疑问句，所以（5）不是命题．
故答案为：C．
2.【答案】 A
【解析】解：命题“等角的补角相等”: 题设是两个角是等角的补角, 结论是这两个角相等,故答案为：A.
3.【答案】 C
【解析】命题就是判断一件事情的语句．
4.【答案】 A
【解析】解：A.对顶角相等，正确，为真命题；
B.两直线平行，同位角相等，错误，为假命题；
C.若a2=b2 ， 则a=b或a=-b，错误，为假命题；
D.若a＞b，则-2a＜-2b，错误，为假命题。
故答案为：A.
5.【答案】 B
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故此命题是假命题；
B、数轴上的点与实数一一对应，故此命题是真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，故此命题是假命题；
D、π是无理数，但不是开方开不尽的数，故此命题是假命题；．
故答案为：B．
二、填空题
6.【答案】 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两直线互相平行
【解析】解：“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果???，那么???”的形式为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”.
7.【答案】 相等的两个角是对顶角；假
【解析】解：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，该逆命题是一个假命题．
8.【答案】 假
【解析】∵两直线平行，内错角相等，
∴若两直线不平行，内错角不相等，
∴此命题为假命题，
故答案为：假.
9.【答案】 3
【解析】（1）共有：①②作为条件，③作为结论，
①③作为条件，②作为结论，
②③作为条件，①作为结论，3种情况，都是真命题，
故可以写出3个正确的命题；
故答案为3.
三、解答题
10.【答案】 （1）解：条件是两直线平行；结论是同位角相等。
（2）解：条件是直线外有一点，过这一点做一条直线和已知直线平行；结论是这样的平行线有且只有一条。
【解析】命题都由条件和结论两部分组成，常可写成“如果…那么…”的形式，即“如果p，那么q”的形式，p是条件，q是结论。本题重在区分命题的条件和结论。
11.【答案】 （1）解：如果小亮今年上八年级，那么明年一定上九年级。条件是小亮今年上八年级；结论是明年一定上九年级。有可能留级，所以是假命题。
（2）解：不是命题。
（3）解：如果两个数互为倒数，那么它们的积为1。条件是两个数互为倒数；结论是它们的积为1。是真命题。
（4）解：如果两个角是内错角，那么它们相等。条件是两个角是内错角；结论是它们相等。因为两直线不一定平行，所以是假命题。
（5）解：如果不等式的两边同时乘以一个数，那么不等号的方向改变。条件是不等式的两边同时乘以一个数；结论是不等号的方向改变。只有乘以的是负数才改变，乘以正数不改变，所以是假命题。
【解析】命题是可以判断真假的语句，疑问句、感叹句、祈使句一般都不是命题，所以（2）不是命题。命题一般由条件和结论两部分组成，一般可改写成“如果…，那么…”，如果是条件，那么是结论。
12.【答案】 解：①内错角相等是假命题，应该是两直线平行，内错角相等.
②两直线平行，同旁内角互补，真命题;
③若x＝2，则:x＋1＞1，真命题;
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向，真命题.
⑤三角形两边之和大于第三边，真命题.
故由分析可知，真命题是②③④⑤，假命题是①.
【解析】命题是可以判断真假的语句，判断出是正确的命题为真命题，判断结论不正确的为假命题。
13.【答案】 解：已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC?∠EBC=∠DCB?∠FCB，
∴∠1=∠2.
【解析】选择两个条件作为题设，即为已知条件；另外一个条件为结论，即为证明的结论。根据任选的题设和结论进行证明即可。
?
14.【答案】 解：已知，DE∥BC，∠1＝∠2.
求证：∠B＝∠C.
证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
又∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C
【解析】命题由题设和结论组成，根据选取的两个条件是否可以推出第三个条件，即可证明其是否组成一个命题。
四、综合题
15.【答案】 （1）解：由题意可得：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④.
（2）解：当选取条件②③④，结论：①时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
又∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴AB CD
当选取条件①③④，结论：②时
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵DE平分∠BDC
∴∠CDE=∠2
∴∠ABE+∠2=90°
∴∠ABE=∠1
∴BE平分∠ABD
当选取条件①②④，结论：③时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴2∠1+2∠2=180°
∴∠1+∠2=90°
当选取条件①②③，结论：④时
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠1
∴∠1+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠2
∴DE平分∠BDC
【解析】（1）根据题意可得出有四种情况，分别为：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④.（2）条件为②③④时，可通过内错角互补证出结论①成立，故为真命题；条件为①③④，①②④和①②③时，可通过两条直线平行，内错角互补等量代换证出相应结论成立，故都为真命题.
5.3.2 命题、定理、证明 同步练习
一、单选题
1.下列语句中不是命题的有（ ??）
⑴两点之间，线段最短； （2）连接A、B两点；（3）鸟是动物；（4）不相交的两条直线叫做平行线；（5）无论a为怎样的有理数，式子a2+1的值都是正数吗？
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.命题“等角的补角相等”中，“等角的补角”是命题的（?? ）
A.?条件部分????????????????B.?是条件，也是结论????????????????C.?结论部分????????????????D.?不是条件，也不是结论
3.下列语句中，不是命题的是 ( ?????)
A.?若两角之和为90°，则这两个角互余。????????????????B.?同角的余角相等。
C.?画线段的中垂线。??????????????????????????????????????????????D.?相等的角是对顶角。
4.下列命题中，为真命题的是（?? ）
A.?对顶角相等????????????B.?同位角相等????????????C.?若a2＝b2 ， 则a＝b????????????D.?若a＞b，则－2a＞－2b
5.下列命题中是真命题的是（?? ）
A.?相等的角是对顶角??????????????????????????????????????????????B.?数轴上的点与实数一一对应
C.?同旁内角互补?????????????????????????????????????????????????????D.?无理数就是开方开不尽得数
二、填空题
6.把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为________．
7.命题“对顶角相等”的逆命题是________ ，这是一个________（填真或假）命题．
8.命题“内错角相等”是________命题（填“真”、“假”）.
9.如图，在四边形ABCD中，给出了下列三个论断：①对角线AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，则可以得出________个正确的命题.
三、解答题
10.下列各命题的条件是什么？结论是什么？
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
11.下列语句哪些是命题？对于命题，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论，并指出是真命题还是假命题，并说明为什么是假命题．
（1）小亮今年上八年级，明年一定上九年级；
（2）作一条线段的垂直平分线；
（3）互为倒数的两个数的积为1；
（4）内错角相等；
（5）不等式的两边同时乘以一个数，不等号的方向改变．
12.下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
①内错角相等；
②两直线平行，同旁内角互补；
③若x=2，则x+1>1；
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向；
⑤三角形两边之和大于第三边．
13.如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
14.如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．
四、综合题
15.如图，①AB CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC.
（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】两点之间，线段最短，所以（1）为命题；
连接A、B两点，它为描述性语言，所以（2）不是命题；
鸟是动物，所以（3）为命题；
不相交的两条直线叫做平行线，所以（4）为命题；
无论a为怎样的有理数，式子a2+1的值都是正数吗？它为疑问句，所以（5）不是命题．
故答案为：C．
2.【答案】 A
【解析】解：命题“等角的补角相等”: 题设是两个角是等角的补角, 结论是这两个角相等,故答案为：A.
3.【答案】 C
【解析】命题就是判断一件事情的语句．
4.【答案】 A
【解析】解：A.对顶角相等，正确，为真命题；
B.两直线平行，同位角相等，错误，为假命题；
C.若a2=b2 ， 则a=b或a=-b，错误，为假命题；
D.若a＞b，则-2a＜-2b，错误，为假命题。
故答案为：A.
5.【答案】 B
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故此命题是假命题；
B、数轴上的点与实数一一对应，故此命题是真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，故此命题是假命题；
D、π是无理数，但不是开方开不尽的数，故此命题是假命题；．
故答案为：B．
二、填空题
6.【答案】 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两直线互相平行
【解析】解：“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果???，那么???”的形式为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”.
7.【答案】 相等的两个角是对顶角；假
【解析】解：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，该逆命题是一个假命题．
8.【答案】 假
【解析】∵两直线平行，内错角相等，
∴若两直线不平行，内错角不相等，
∴此命题为假命题，
故答案为：假.
9.【答案】 3
【解析】（1）共有：①②作为条件，③作为结论，
①③作为条件，②作为结论，
②③作为条件，①作为结论，3种情况，都是真命题，
故可以写出3个正确的命题；
故答案为3.
三、解答题
10.【答案】 （1）解：条件是两直线平行；结论是同位角相等。
（2）解：条件是直线外有一点，过这一点做一条直线和已知直线平行；结论是这样的平行线有且只有一条。
【解析】命题都由条件和结论两部分组成，常可写成“如果…那么…”的形式，即“如果p，那么q”的形式，p是条件，q是结论。本题重在区分命题的条件和结论。
11.【答案】 （1）解：如果小亮今年上八年级，那么明年一定上九年级。条件是小亮今年上八年级；结论是明年一定上九年级。有可能留级，所以是假命题。
（2）解：不是命题。
（3）解：如果两个数互为倒数，那么它们的积为1。条件是两个数互为倒数；结论是它们的积为1。是真命题。
（4）解：如果两个角是内错角，那么它们相等。条件是两个角是内错角；结论是它们相等。因为两直线不一定平行，所以是假命题。
（5）解：如果不等式的两边同时乘以一个数，那么不等号的方向改变。条件是不等式的两边同时乘以一个数；结论是不等号的方向改变。只有乘以的是负数才改变，乘以正数不改变，所以是假命题。
【解析】命题是可以判断真假的语句，疑问句、感叹句、祈使句一般都不是命题，所以（2）不是命题。命题一般由条件和结论两部分组成，一般可改写成“如果…，那么…”，如果是条件，那么是结论。
12.【答案】 解：①内错角相等是假命题，应该是两直线平行，内错角相等.
②两直线平行，同旁内角互补，真命题;
③若x＝2，则:x＋1＞1，真命题;
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向，真命题.
⑤三角形两边之和大于第三边，真命题.
故由分析可知，真命题是②③④⑤，假命题是①.
【解析】命题是可以判断真假的语句，判断出是正确的命题为真命题，判断结论不正确的为假命题。
13.【答案】 解：已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC?∠EBC=∠DCB?∠FCB，
∴∠1=∠2.
【解析】选择两个条件作为题设，即为已知条件；另外一个条件为结论，即为证明的结论。根据任选的题设和结论进行证明即可。
?
14.【答案】 解：已知，DE∥BC，∠1＝∠2.
求证：∠B＝∠C.
证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
又∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C
【解析】命题由题设和结论组成，根据选取的两个条件是否可以推出第三个条件，即可证明其是否组成一个命题。
四、综合题
15.【答案】 （1）解：由题意可得：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④.
（2）解：当选取条件②③④，结论：①时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
又∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴AB CD
当选取条件①③④，结论：②时
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵DE平分∠BDC
∴∠CDE=∠2
∴∠ABE+∠2=90°
∴∠ABE=∠1
∴BE平分∠ABD
当选取条件①②④，结论：③时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴2∠1+2∠2=180°
∴∠1+∠2=90°
当选取条件①②③，结论：④时
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠1
∴∠1+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠2
∴DE平分∠BDC
【解析】（1）根据题意可得出有四种情况，分别为：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④.（2）条件为②③④时，可通过内错角互补证出结论①成立，故为真命题；条件为①③④，①②④和①②③时，可通过两条直线平行，内错角互补等量代换证出相应结论成立，故都为真命题.