2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第6章 图形的相似》单元测试卷（word有答案）

2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第6章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．若2x﹣y与x+y的比是2：3，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列四条线段成比例得是（　　）
A．4、6、5、10
B．12、8、16、20
C．1、
D．、2
3．已知：如图，DE∥AC，DF∥AB，则下列比例式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下列四个三角形，与已知图构成相似的三角形是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（　　）
A．只能选在原图形的外部
B．只能选在原图形的内部
C．只能选在原图形的边上
D．可以选择任意位置
6．在同一时刻，一竹竿高2m，影长3m，而一大楼的影长是45m，这个大楼的高是（　　）
A．15m
B．67.5m
C．20m
D．30m
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝（　　）
A．4
B．4﹣4
C．﹣4+4
D．4﹣4或﹣4+4
8．语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有边长相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有（　　）
A．4句
B．3句
C．2句
D．1句
9．△ABC中，AB＝4，BC＝，CA＝，△ABC∽△A1B1C1，若△A1B1C1的最大边为，则它的最短边为（　　）
A．
B．
C．15
D．
10．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD＝3S△ABD，则AB：AC等于（　　）
A．1：3
B．1：4
C．1：
D．1：2
二．填空题
11．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，△ABC的周长为18厘米，则△DEF的周长为　
　厘米．
12．同一时刻，身高2.26m的姚明在阳光下影长为1.13m；小林浩在阳光下的影长为0.64m，则小林浩的身高为　
　．
13．在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，若AB＝，DC＝2，则BD＝　
　，AC＝　
　．
14．已知：△ABC中，DE∥BC交AB于D，AC于E，AB＝10，AD﹣DB＝2，BC＝9，则DE＝　
　．
15．同一底片印出来的不同尺寸的照片也是　
　．
16．某木材加工厂生产一种豪华型办公桌，其宽b与长a的比恰好为黄金分割数（即）．现在办公桌四周镶上某种规格的合金作为装饰，当a＝2m时，需要合金的长度为　
　m．
17．如图，△ABC与△DEF是位似三角形，且AC＝2DF，则OE：OB＝　
　．
18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似（相似比不为1）．
　
　．
19．已知：AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP＝　
　时，△ABP与△PCD相似．
20．如图所示，AD是△ABC的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF：FD＝1：3，则AE：AB＝　
　．
三．解答题
21．在比例尺为1：50000的地图上，一块多边形地区的周长是72cm，多边形的两个顶点A、B之间的距离是25cm，求这个地区的实际边界长和A、B两地之间的实际距离．
22．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝2BC，请在图中按如下要求进行操作和证明：
（1）用圆规在CA上截取CD＝CB，保留痕迹，标注点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧交AB于点P，保留痕迹，标注点P；
（2）证明点P是线段AB的黄金分割点．
23．已知△ABC和点O为位似中心作△ABC的位似三角形A′B′C′，并使△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．
24．高明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE＝27m，他与镜子的距离是2.1m时，∠BEF＝∠DEF，刚好能从镜子中看到楼顶B，已知他的眼睛到地面的高度CD为1.6m，结果他很快计算出大楼的高度AB，你知道是什么吗？试加以说明．
25．如图，已知△ABC，过顶点A作∠B、∠C的平分线的垂线，AF⊥BF于F，AE⊥CE于E．求证：EF∥BC．
26．如图：在△ABC中，AB＝5，AC＝4，P是AB上一点，且AP＝3，若Q在AC上，试确定Q点的位置，使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
27．如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，AE与CD相交于点F，若S△ABC＝6，求四边形BEFD的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵2x﹣y与x+y的比是2：3
∴3（2x﹣y）＝2（x+y）
则4x＝5y
∴＝．
故选：D．
2．解：A、从小到大排列，由于4×10≠5×6，所以不成比例，不符合题意；
B、从小到大排列，由于8×20≠12×16，所以不成比例，不符合题意；
C、从小到大排列，由于1×≠×，所以不成比例，不符合题意；
D、从小到大排列，由于2×＝×，成比例，符合题意．
故选：D．
3．解：A、AE和EB的对应线段分别是CD和BD，应为，故本选项错误；
B、根据平行线分线段成比例定理，对应关系正确，故本选项正确；
C、应为，故本选项错误；
D、应为，对应关系错误，故本选项错误．
故选：B．
4．解：设网格的边长是1．
∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，
∴AB：AC：BC＝1：2：．
A、三边之比是，2：：3≠1：2：，所以该三角形不与已知三角形相似；故本选项错误；
B、三边之比是，2：4：2＝1：2：，所以该三角形与已知三角形相似；故本选项正确；
C、三边之比是，2：3：≠1：2：，所以该三角形不与已知三角形相似；故本选项错误；
D、三边之比是，：：4≠1：2：，所以该三角形不与已知三角形相似；故本选项错误；
故选：B．
5．解：位似中心可以选择任意位置．
故选：D．
6．解：大楼的高是＝30（m）．故选D．
7．解：∵AB＝AC＝8，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC＝BC：CD，
∴AC：AD＝AD：CD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD＝AC＝×8＝4（）＝4．
故选：B．
8．解：①角是有公共端点的两条射线组成的图形，只有度数相等，两条射线是可以无限延长的，它们是相似形．所以①正确．
②所有菱形的四条边的比相等，但不能判断它们的对应角相等，它们不一定是相似形．所以②不正确．
③所以正方形的四个角都是90°，对应边的比都相等，它们是相似形．所以③正确．
④圆是以定点为圆心，定长为半径所组成的图形，它们只有大小不同，形状都相同，是相似形．所以④正确．
故选：B．
9．解：∵在△ABC中，AB＝4，BC＝，CA＝，
∴它的最长边是AB＝4，另一个与之相似的三角形最长边为，
∴两个三角形的相似比是3：2，即，
∴在△ABC中，最短边是BC＝2，则另一个与之相似的三角形最短边B′C′＝×3×2＝6．
故选：A．
10．解：∵∠ADC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠BAD
∴△ACD∽△BAD
∵S△CAD＝3S△ABD，且这两三角形高相等
∴AB：AC＝1：
故选：C．
二．填空题
11．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为：1：3，
∴△ABC与△DEF的周长比为：1：3，
∵△ABC的周长为18厘米，
∴，
∴△DEF的周长为54厘米．
故答案为：54．
12．解：∵光线是平行的，影长都在地面上，
∴光线和影长组成的角相等；姚明和小林浩与影长构成的角均为直角，
∴小林浩与影长构成的三角形和姚明和影长构成的三角形相似，
设小林浩的身高为xm，
，
解得x＝1.28．
故答案为：1.28m．
13．解：根据射影定理可得：AB2＝BD×BC；AC2＝CD×BC，
∴解得：BD＝1，AC＝．
故答案为：1，．
14．解：∵△ABC中，AB＝10，AD﹣DB＝2，BC＝9，
∴AD＝6，DB＝4，
∵DE∥BC交AB于D，AC于E，
∴，
∴，
∴DE＝．
故答案为：．
15．解：同一底片印出来的不同尺寸的照片，形状相同，但大小不同，∴是相似图形．
16．解：∵，a＝2m，
∴b＝a＝﹣1，
∴需要合金的长度为：2（a+b）＝2（2+﹣1）＝+2．
即需要合金的长度为（+2）m．
故答案为（+2）．
17．解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，
∴DF∥AC，EF∥BC
∴△OAC∽△ODF，OE：OB＝OF：OC
∴OF：OC＝DF：AC
∵AC＝2DF
∴OE：OB＝DF：AC＝1：2．
故答案为：1：2．
18．解：如图所示：
19．解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，
∴∠C＝∠B＝90°，设BP＝x，
当PB：DC＝AB：PC时，△PAB∽△DPC，
∴，
∴x＝2或12；
当PB：PC＝AB：DC时，△PAB∽△PDC，
∴，
解得：x＝5.6；
解得BP＝2或12或5.6．
故答案为：2或12或5.6．
20．解：∵AF：FD＝1：3
∴
作DG∥CE，交AB于点G
∵D是BC的中点
∴EC＝2DG
∴
∴EF＝DG
∴
∴AG＝4AE
∴EG＝BG＝3AE
∴AB＝7AE
∴AE：AB＝1：7．
三．解答题
21．解：∵实际距离＝图上距离×比例尺，
∴A、B两地之间的实际距离＝25×50000＝1250000cm＝12.5km；
这个地区的实际边界长＝72×50000＝3600000cm＝36km．
22．解：（1）如图所示：
（2）设BC＝x，则AB＝2x，AC＝x，
由题意得，CD＝x，
则AP＝AD＝（﹣1）x，
＝，
则点P是线段AB的黄金分割点．
23．解：
24．解：∵反射角等于入射角，
∴∠BEA＝∠DEC．
又∵AB⊥AC，DC⊥AC，
∴∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
＝，
解得AB＝m．
答：楼高为m．
25．证明：延长AE交BC于点M，延长AF交BC于点N
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠MEC＝90°，
∵∠ACE＝∠MCE，CE是公共边，
∴△AEC≌△MEC（ASA），
同理可证，△ABF≌△NBF，
∴AE＝EM，AF＝FN，
∴EF∥BC．
26．解：∵∠A是公共角，
∴当AP：AB＝AQ：AC时，△APQ∽△ABC，
即3：5＝AQ：4，
解得：AQ＝；
当AP：AC＝AQ：AB时，△APQ∽△ACB，
即3：4＝AQ：5，
解得：AQ＝；
∴当AQ＝或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
27．解：∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△ADC＝S△ABC＝4，S△BDC＝S△ABC＝2．
过E作EG∥AB交CD于G，
∵BE＝CE，
∴CG＝DG，
∴BD＝2EG，
∵AD＝2BD，
∴AD＝4EG．
设S△EGF＝x．
∵EG∥BD，
∴△CEG∽△CBD，
∴S△CEG：
S△CBD＝（）2＝，
∴S△CEG＝S△CBD＝×2＝，S梯形EGDB＝2﹣＝，
设S△FEG＝x，则S四边形BEFD＝﹣x，
∵S△ABE＝S△ABC＝3，
∴S△ADF＝S△ABE﹣S四边形BEFD＝3﹣（﹣x）＝+x．
∵EG∥AD，
∴△FEG∽△FAD，
∴S△FEG：S△FAD＝（）2＝，
∴S△FAD＝16S△FEG＝16x，
∴16x＝+x，
解得x＝，
∴S四边形BEFD＝﹣x＝﹣＝．