第十章复数单元测试题2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第十章
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(1+2i)(2+i)=(　　)
A.4+5i
B.5i
C.-5i
D.2+3i
2.=(　　)
A.1
B.-1
C.i
D.-i
3若z=1+2i+i3,则|z|=(　　)
A.0
B.1
C.
D.2
4.若(1+i)=1-i,则z=(　　)
A.1-i
B.1+i
C.-i
D.i
5.复数4化成代数形式,正确的是(　　)
A.4
B.-4
C.4i
D.-4i
6.4(cos
60°+isin
60°)×3(cos
150°+isin
150°)=(　　)
A.6+6i
B.6-6i
C.-6+6i
D.-6-6i
7.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
8.若复数z满足|z+3-4i|=2,则z的最大值为(　　)
A.9
B.81
C.7
D.49
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.在复数范围内,方程2x2-3x+2=0的解是(　　)
A.
B.
C.
D.
10.已知i为虚数单位,下列命题正确的是(　　)
A.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2
B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
C.若=0,则z1=z2=0
D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数
11.已知z=i,则以下关系成立的有(　　)
A.z3=-1
B.z2=-
C.
D.z2-z+1=0
12.复数z的共轭复数记为,复数z,在复平面内分别对应点Z,.设A是一些复数在复平面内对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有∈A,就称A为“共轭点集”.下列点集中是“共轭点集”的有(　　)
A.{(x,y)|y=log2x}
B.{(x,y)|y2=x}
C.
D.{(x,y)|y=2x}
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知i为虚数单位,若复数为纯虚数,则实数m=　　　　.?
14.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　　.?
15.对于任意复数z1,z2,任意向量a,b,给出下列说法:①|z1+z2|≤|z1|+|z2|;②|a+b|≤|a|+|b|;③若,则z1=±z2;④若a2=b2,则a=±b.其中正确的是　　　　　(填序号).?
16.欧拉是一位杰出的数学家,他发明的公式eix=cos
x+isin
x(i为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,在复平面内对应的点位于第　　　象限,|eix-2|的最大值为　　　　.?
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,求|z1|,|z2|,|z1z2|;
(2)根据(1)的计算结果猜想|z1|·|z2|与|z1z2|的关系,并证明该关系的一般性.
18.(12分)已知i为虚数单位,m为实数,复数z=(m+i)(1-2i).
(1)当m为何值时,z是纯虚数?
(2)若|z|≤5,求|z-1|的取值范围.
19.(12分)已知i为虚数单位,复数z满足|z|i+z=3+9i.
(1)求z;
(2)在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数分别是z,c+(2-c)i,若∠AOB是直角,求实数c的值.
20.(12分)若z∈C,4z+2=3+i,ω=sin
θ-icos
θ(θ为实数),i为虚数单位.
(1)求复数z;
(2)求|z-ω|的取值范围.
21.(12分)(2020江苏徐州一中高二月考)在①|z|=,且z2的虚部是2;②z=;③.在以上三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作出解答.注:选择不同的条件,结果可能不同.
已知i为虚数单位,复数z满足　　　　　,设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.?
22.(12分)已知复数z=是关于x的实系数一元二次方程mx2+nx+1=0(m,n∈R)的一个根.
(1)求m和n的值;
(2)若z1=(a-2i)z,a∈R,z1为纯虚数,求|a+2i|的值.
答案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(1+2i)(2+i)=(　　)
A.4+5i
B.5i
C.-5i
D.2+3i
答案B
解析(1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i.
2.=(　　)
A.1
B.-1
C.i
D.-i
答案D
解析=-i,故选D.
3若z=1+2i+i3,则|z|=(　　)
A.0
B.1
C.
D.2
答案C
解析因为z=1+2i+i3=1+2i+i2·i=1+2i-i=1+i,
所以|z|=.
4.若(1+i)=1-i,则z=(　　)
A.1-i
B.1+i
C.-i
D.i
答案D
解析由(1+i)=1-i,知=-i,则z=i.故选D.
5.复数4化成代数形式,正确的是(　　)
A.4
B.-4
C.4i
D.-4i
答案D
解析4=4[0+i(-1)]=-4i.故选D.
6.4(cos
60°+isin
60°)×3(cos
150°+isin
150°)=(　　)
A.6+6i
B.6-6i
C.-6+6i
D.-6-6i
答案D
解析4(cos
60°+isin
60°)×3(cos
150°+isin
150°)
=12[cos(60°+150°)+isin(60°+150°)]
=12(cos
210°+isin
210°)
=12
=-6-6i.
故选D.
7.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
答案C
解析由题意可得z=x+yi,
z-i=x+(y-1)i,
则|z-i|==1,
则x2+(y-1)2=1.故选C.
8.若复数z满足|z+3-4i|=2,则z的最大值为(　　)
A.9
B.81
C.7
D.49
答案D
解析由|z+3-4i|=2,得复数z在复平面内对应点的集合图形如图,
∴|z|max=7,则z
=|z|2的最大值为49.
故选D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.在复数范围内,方程2x2-3x+2=0的解是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案AB
解析根据求根公式,方程2x2-3x+2=0的解是x=.故选AB.
10.已知i为虚数单位,下列命题正确的是(　　)
A.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2
B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
C.若=0,则z1=z2=0
D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数
答案BD
解析对于A,a-bi=3+2i,则故A错误;
对于B,?a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;
对于C,取z1=i,z2=1,则=0,但z1≠z2,故C错误;
对于D,当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.
11.已知z=i,则以下关系成立的有(　　)
A.z3=-1
B.z2=-
C.
D.z2-z+1=0
答案ABD
解析因为z=i,
所以z2=i2=+2×i+i2=-i,
所以z3=-ii=i2-=-1,A正确;
因为i,
所以z2=-,B正确;
i,C不正确;
z2-z+1=-i-i+1=0,D正确.
12.复数z的共轭复数记为,复数z,在复平面内分别对应点Z,.设A是一些复数在复平面内对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有∈A,就称A为“共轭点集”.下列点集中是“共轭点集”的有(　　)
A.{(x,y)|y=log2x}
B.{(x,y)|y2=x}
C.
D.{(x,y)|y=2x}
答案BC
解析复数z的共轭复数记为,复数z,分别对应点Z,.设A是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有∈A,就称A为“共轭点集”.即z,表示的点(x,y),(x,-y)都满足集合,即为“共轭点集”.B,C中的集合都满足,A,D中的集合不满足.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知i为虚数单位,若复数为纯虚数,则实数m=　　　　.?
答案2
解析∵i是纯虚数,
∴解得m=2.
14.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　　.?
答案2
解析设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.
又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,
∴a+c=,b+d=1.
∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.
∴2ac+2bd=-4.
∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.
∴|z1-z2|==2.
15.对于任意复数z1,z2,任意向量a,b,给出下列说法:①|z1+z2|≤|z1|+|z2|;②|a+b|≤|a|+|b|;③若,则z1=±z2;④若a2=b2,则a=±b.其中正确的是　　　　　(填序号).?
答案①②③
解析对于①②,复数在复平面内的运算与平面向量的运算相似,均满足平行四边形法则,根据向量的三角不等式有|a+b|≤|a|+|b|,故|z1+z2|≤|z1|+|z2|也成立.故①②正确.对于③,,则(z1+z2)(z1-z2)=0,由复数的运算可知,z1=±z2.故③正确.对于④,若a2=b2,则|a|=|b|,不一定有a=±b.故①②③正确.
16.欧拉是一位杰出的数学家,他发明的公式eix=cos
x+isin
x(i为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,在复平面内对应的点位于第　　　象限,|eix-2|的最大值为　　　　.?
答案三　3
解析=cos+isin=-i,
故其对应点的坐标为-,-,在第三象限;
|eix-2|=|cos
x+isin
x-2|
=
=≤3,
当且仅当cos
x=-1时,等号成立.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,求|z1|,|z2|,|z1z2|;
(2)根据(1)的计算结果猜想|z1|·|z2|与|z1z2|的关系,并证明该关系的一般性.
解(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,
|z1|=|1+2i|=,|z2|=|3+4i|=5,
|z1z2|=|(1+2i)(3+4i)|=|-5+10i|=5.
(2)由(1)猜测,|z1|·|z2|=|z1z2|.
证明如下:
∵z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
∴|z1|=,|z2|=,
|z1|·|z2|=
=;
z1z2=(a+bi)(c+di)
=(ac-bd)+(ad+bc)i,
∴|z1z2|=
=.
∴|z1|·|z2|=|z1z2|.
18.(12分)已知i为虚数单位,m为实数,复数z=(m+i)(1-2i).
(1)当m为何值时,z是纯虚数?
(2)若|z|≤5,求|z-1|的取值范围.
解(1)z=(m+i)(1-2i)=(m+2)+(1-2m)i.
当即m=-2时,z是纯虚数.
(2)由|z|≤5,可知z的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆及其内部,如图,
则|z-1|表示圆及其内部的点到(1,0)的距离,由图像可知,|z-1|的取值范围是[0,6].
19.(12分)已知i为虚数单位,复数z满足|z|i+z=3+9i.
(1)求z;
(2)在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数分别是z,c+(2-c)i,若∠AOB是直角,求实数c的值.
解(1)设z=a+bi(a,b∈R),
由|z|i+z=3+9i,得a+(b+)i=3+9i,
∴解得
∴z=3+4i;
(2)由题意,A,B,O的坐标分别为(3,4),(c,2-c),(0,0),
∴=(3,4),=(c,2-c),
∵∠AOB是直角,∴3c+4(2-c)=0,即c=8.
20.(12分)若z∈C,4z+2=3+i,ω=sin
θ-icos
θ(θ为实数),i为虚数单位.
(1)求复数z;
(2)求|z-ω|的取值范围.
解(1)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
∴4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,
即6a+2bi=3+i,
∴解得
∴z=i.
(2)|z-ω|=i-(sin
θ-icos
θ)
=-sin
θ++cos
θi
=
=,
∵-1≤sinθ-≤1,
∴0≤2-2sinθ-≤4.
∴0≤|z-ω|≤2,故|z-ω|的取值范围是[0,2].
21.(12分)(2020江苏徐州一中高二月考)在①|z|=,且z2的虚部是2;②z=;③.在以上三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作出解答.注:选择不同的条件,结果可能不同.
已知i为虚数单位,复数z满足　　　　　,设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.?
解选①:设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,
由题意得a2+b2=2,且2ab=2,解得a=b=1,或a=b=-1,
所以z=1+i,或z=-1-i.
当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以S△ABC=1.
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
所以S△ABC=1.
综上,△ABC的面积为1.
选②:z==1+i,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以S△ABC=1.
选③:=1-i,
故z=1+i,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.
22.(12分)已知复数z=是关于x的实系数一元二次方程mx2+nx+1=0(m,n∈R)的一个根.
(1)求m和n的值;
(2)若z1=(a-2i)z,a∈R,z1为纯虚数,求|a+2i|的值.
解(1)∵z=i=-i是一元二次方程mx2+nx+1=0的一个根,
∴-i是一元二次方程mx2+nx+1=0的另一个根,
∴=1,则m=1.
=-,得n=1;
(2)z1=(a-2i)z=(a-2i)i为纯虚数,
则即a=-2.
∴|a+2i|=|-2+2i|==4.
5