10.1.2　复数的几何意义-2020-2021学年高二数学人教B版（2019）必修第四册第十章课时作业

10.1.2　复数的几何意义
1.已知复数z=1-i,则复数z的模为(　　)
A.
B.
C.2
D.4
2.在复平面内,复数1-i的共轭复数对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则点Z的轨迹是(　　)
A.直线
B.线段
C.圆
D.单位圆以及圆内的部分
4.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量对应的复数为(　　)
A.-2-i
B.-2+i
C.1+2i
D.-1+2i
5.当A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.若a为实数,复数z=a-2i在复平面上对应的点位于第四象限,且|z|=,则a=(　　)
A.±1
B.-1
C.1
D.2
7.已知复数z在复平面上对应的点为Z(2,-1),则下列说法正确的是(　　)
A.z=-1+2i
B.|z|=5
C.=2+i
D.z是纯虚数
8.已知复数z=x-2+yi的模是2,则点(x,y)的轨迹方程是　　　　　.?
9.复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为　　　　　.?
10.已知复数z=sin
θ+1+icos
θ(θ∈R),则|z|的最大值为　　　　　.?
11.设z=(sin
θ-1)+(sin
θ-cos
θ)i在复平面内对应的点在直线x+y+1=0上,则tan
θ的值为　　　　　,若θ∈,则z=　　　　　.?
12.已知复数z=(a2-4)+(a+2)i,a∈R.
(1)若z为纯虚数,求实数a的值;
(2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,求实数a的值.
素养提升
1.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　)
A.4+8i
B.8+2i
C.2+4i
D.4+i
2.已知0A.(1,)
B.(1,)
C.(1,3)
D.(1,5)
3.若复数x=sin
θ-i(θ∈R)是纯虚数,则cos
θ+icos
2θ的共轭复数在复平面内对应的点位于
(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos
B-tan
A)+itan
B对应的点位于复平面的(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.已知复数z1=cos
x+2f(x)i,z2=(sin
x+cos
x)+i,x∈R,在复平面上,设复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐标原点,则函数f(x)的最大值为(　　)
A.-
　B.
C.-
D.
6.(多选题)设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,i为虚数单位,则以下结论正确的是
(　　)
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z一定不为纯虚数
C.z一定不为实数
D.在复平面内对应的点在实轴的下方
7.下列命题正确的是
(　　)
A.复数z1,z2的模相等,则z1,z2是共轭复数
B.在复平面内,虚轴上的点对应的复数都是纯虚数
C.复数z是实数的充要条件是z=是z的共轭复数)
D.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,其中O为坐标原点,若=x+y(x,y∈R),则x+y=1
8.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-+mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值.
9.设z为纯虚数,且|1-z|=|-1+i|,求复数z.
10.已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正向的夹角为120°,的终点Z在第二象限,且复数z的模为2,求复数z.
答案
1.已知复数z=1-i,则复数z的模为(　　)
A.
B.
C.2
D.4
答案C
解析|z|==2.故选C.
2.在复平面内,复数1-i的共轭复数对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案A
解析复数z=1-i的共轭复数为=1+i,对应的点位于第一象限.故选A.
3.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则点Z的轨迹是(　　)
A.直线
B.线段
C.圆
D.单位圆以及圆内的部分
答案D
解析∵复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),|z|≤1,
∴点z的轨迹是在以原点为圆心,1为半径的圆上及其内部,故选D.
4.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量对应的复数为(　　)
A.-2-i
B.-2+i
C.1+2i
D.-1+2i
答案B
解析∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),∴向量对应的复数为-2+i.
5.当A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案D
解析∵∴3m-2>0,m-1<0,
∴点(3m-2,m-1)在第四象限.
6.若a为实数,复数z=a-2i在复平面上对应的点位于第四象限,且|z|=,则a=(　　)
A.±1
B.-1
C.1
D.2
答案C
解析因为z=a-2i在复平面上对应的点位于第四象限,所以a>0.又因为|z|=,所以a2+4=5,解得a=1.故选C.
7.已知复数z在复平面上对应的点为Z(2,-1),则下列说法正确的是(　　)
A.z=-1+2i
B.|z|=5
C.=2+i
D.z是纯虚数
答案C
解析根据复数z在复平面上对应的点为Z(2,-1),则z=2-i,故A错;|z|=,故B错;=2+i,故C正确;D显然错误.故选C.
8.已知复数z=x-2+yi的模是2,则点(x,y)的轨迹方程是　　　　　.?
答案(x-2)2+y2=8
解析由模的计算公式得
=2,
∴(x-2)2+y2=8.
9.复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为　　　　　.?
答案5
解析由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知a=5.
10.已知复数z=sin
θ+1+icos
θ(θ∈R),则|z|的最大值为　　　　　.?
答案2
解析|z|=,当sin
θ=1,即θ=2kπ+,k∈Z时,|z|取最大值为2.
11.设z=(sin
θ-1)+(sin
θ-cos
θ)i在复平面内对应的点在直线x+y+1=0上,则tan
θ的值为　　　　　,若θ∈,则z=　　　　　.?
答案-1-i
解析由题意,得sin
θ-1+sin
θ-cos
θ+1=0,∴tan
θ=.若θ∈0,,则sin
θ=,cos
θ=,则z=-1-i.
12.已知复数z=(a2-4)+(a+2)i,a∈R.
(1)若z为纯虚数,求实数a的值;
(2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,求实数a的值.
解(1)若z为纯虚数,则a2-4=0,且a+2≠0,解得实数a的值为2;
(2)z在复平面上对应的点(a2-4,a+2)在直线x+2y+1=0上,则a2-4+2(a+2)+1=0,解得a=-1.
素养提升
1.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　)
A.4+8i
B.8+2i
C.2+4i
D.4+i
答案C
解析A(6,5),B(-2,3),
∵C为AB的中点,∴C(2,4),
∴点C对应的复数为2+4i,故选C.
2.已知0A.(1,)
B.(1,)
C.(1,3)
D.(1,5)
答案B
解析|z|=,∵0∴13.若复数x=sin
θ-i(θ∈R)是纯虚数,则cos
θ+icos
2θ的共轭复数在复平面内对应的点位于
(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案C
解析∵复数x=sin
θ-i(θ∈R)是纯虚数,∴即sin
θ=,cos
θ=-.
则cos
2θ=1-2sin2
θ=1-2×.
∴cos
θ+icos
2θ的共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.
4.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos
B-tan
A)+itan
B对应的点位于复平面的(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案B
解析因A,B为锐角三角形的两个内角,
所以A+B>,
即A>-B,sin
A>cos
B.
cos
B-tan
A=cos
B-B-sin
A<0,
又tan
B>0,
所以点(cos
B-tan
A,tan
B)在第二象限,故选B.
5.已知复数z1=cos
x+2f(x)i,z2=(sin
x+cos
x)+i,x∈R,在复平面上,设复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐标原点,则函数f(x)的最大值为(　　)
A.-
　B.
C.-
D.
答案B
解析由题意,Z1(cos
x,2f(x)),Z2(sin
x+cos
x,1),
∵∠Z1OZ2=90°,
∴sin
xcos
x+cos2x+2f(x)=0,
即2f(x)=-sin
2x-=-sin
2x-cos
2x-,
∴f(x)=-sin,
则函数f(x)的最大值为.故选B.
6.(多选题)设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,i为虚数单位,则以下结论正确的是
(　　)
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z一定不为纯虚数
C.z一定不为实数
D.在复平面内对应的点在实轴的下方
答案CD
解析因为2t2+5t-3=2t+2-≥-,t2+2t+2=(t+1)2+1>0,
所以复数z在复平面内对应的点可能在第一象限,也可能在第二象限,故A错误;
当即t=-3,或t=时,z为纯虚数,故B错误;
因为t2+2t+2>0恒成立,所以z一定不为实数,故C正确;
由选项A的分析知,因为z对应的点在实轴的上方,所以对应的点在实轴的下方,故D正确.故选CD.
7.下列命题正确的是
(　　)
A.复数z1,z2的模相等,则z1,z2是共轭复数
B.在复平面内,虚轴上的点对应的复数都是纯虚数
C.复数z是实数的充要条件是z=是z的共轭复数)
D.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,其中O为坐标原点,若=x+y(x,y∈R),则x+y=1
答案C
解析对于A,模相等的复数不一定是共轭复数,比如:z1=1+i,z2=-1+i,这两个复数的模相等,但不是共轭复数,故A不正确;对于B,除原点外,虚轴上的点都对应纯虚数,故B不正确;对于C,设z=a+bi,=a-bi,若z=,则b=0,所以复数z是实数,若z是实数,则b=0,则z=,所以C正确;对于D,由条件可知=(3,-2),=(-1,2),=(1,-1),若=x+y(x,y∈R),则(3,-2)=(-x+y,2x-y),所以
解得所以x+y=5,故D不正确.故选C.
8.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-+mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值.
解因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=-+mi(m∈R),
所以a=(-3,0),b=.
又a,b的夹角为60°,
所以cos
60°=,
即,解得m=±.
9.设z为纯虚数,且|1-z|=|-1+i|,求复数z.
解∵z为纯虚数,
∴设z=ai(a∈R且a≠0),
又|-1+i|=,
由|1-z|=|-1+i|,得,
解得a=±1.
∴z=±i.
10.已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正向的夹角为120°,的终点Z在第二象限,且复数z的模为2,求复数z.
解根据题意可画图形如图所示.
设点Z的坐标为(a,b),a<0,b>0.
∵||=|z|=2,∠xOZ=120°,
∴a=-1,b=,
即点Z的坐标为(-1,),
∴z=-1+i.
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