10.2.1复数的加法与减法同步作业2020-2021学年高二数学人教B版（2019）必修第四册第十章复数

10.2.1　复数的加法与减法
1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于(　　)
A.0
B.2i
C.6
D.6-2i
2.若复数z=|4+3i|+a-2ai(a∈R)为纯虚数,则实数a=(　　)
A.-5
B.0
C.5
D.-10
3.设z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.1或-1
4.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是(　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
5.已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|=(　　)
A.0
B.1
C.
D.2
6.复数z满足|z-2+i|=1,则|z|的最大值是(　　)
A.
B.
C.+1
D.-1
7.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=　　　　　.?
8.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b=　　　　　.?
9.已知z1=cos
α+isin
α,z2=cos
β-isin
β,且z1-z2=i,则cos(α+β)的值为　　　　　.?
10.在复平面内,O是原点,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为　　　　　,对应的复数为　　　　　.?
11.已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面内的四个点,且向量对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
素养提升
1.设向量对应的复数分别为z1,z2,z3,那么
(　　)
A.z1+z2+z3=0
B.z1-z2-z3=0
C.z1-z2+z3=0
D.z1+z2-z3=0
2.
z∈C,若|z|-=1+2i,则z=(　　)
A.-2i
B.+2i
C.2+2i
D.2-2i
3.在?ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是(　　)
A.2-3i
B.4+8i
C.4-8i
D.1+4i
4.z1=3+4i,z2=-2-i,则z1-的共轭复数为(　　)
A.1-3i
B.5-3i
C.5+3i
D.1+3i
5.复数z满足|z-i|=|z+3i|,则|z|(　　)
A.最小值为1,无最大值
B.最大值为1,无最小值
C.恒等于1
D.无最大值,也无最小值
6.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是(　　)
A.若复数z满足|z-i|=,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模
D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则
7.设复数z1=m+5i,z2=3+ni,m,n均为实数.若z1+z2=4+3i,z=m+ni,则=　　　　　.?
8.复数z1=cos
θ+i,z2=sin
θ-i,则|z1-z2|的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　.?
9.设z=a+bi(a,b∈R),且(4a+4bi)+(2a-2bi)=3+i,又ω=sin
θ-icos
θ,求|z-ω|的取值范围.
10.已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=i,求复数z1,z2及|z1-z2|.
答案
1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0
B.2i
C.6
D.6-2i
答案D
解析z=3-i-(i-3)=6-2i.
2.若复数z=|4+3i|+a-2ai(a∈R)为纯虚数,则实数a=(　　)
A.-5
B.0
C.5
D.-10
答案A
解析由题可得z=a+5-2ai,又z为纯虚数,所以a=-5.故选A.
3.设z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.1或-1
答案A
解析由z1=x2-i,z2=-1+xi,则z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i,若z1+z2为纯虚数,则解得x=-1.故选A.
4.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是(　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案A
解析|AB|=|2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.
5.已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|=(　　)
A.0
B.1
C.
D.2
答案B
解析设z1=a+bi,z2=c+di(其中a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.依题意得a2+b2=1,c2+d2=1,由|z1+z2|=得(a+c)2+(b+d)2=3,所以得2(ac+bd)=1.所以|z1-z2|==1.
6.复数z满足|z-2+i|=1,则|z|的最大值是(　　)
A.
B.
C.+1
D.-1
答案C
解析|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1,则z对应的点构成以C(2,-1)为圆心,1为半径的圆,|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离,则最大值为|OC|+1=+1=+1.故选C.
7.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=　　　　　.?
答案5
解析|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|==5.
8.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b=　　　　　.?
答案3
解析∵z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+(a-b-1)i=4,
由复数相等的条件知
解得∴a+b=3.
9.已知z1=cos
α+isin
α,z2=cos
β-isin
β,且z1-z2=i,则cos(α+β)的值为　　　　　.?
答案
解析∵z1=cos
α+isin
α,z2=cos
β-isin
β,
∴z1-z2=(cos
α-cos
β)+i(sin
α+sin
β)=i,
∴
由①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=.
10.在复平面内,O是原点,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为　　　　　,对应的复数为　　　　　.?
答案-1+6i　4-4i
解析　=(-2+i)+(1+5i)=-1+6i,=(3+2i)-(-1+6i)=4-4i.
11.已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面内的四个点,且向量对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
解(1)∵=(a-1,-1),=(-3,b-3),
∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,
所以z1+z2=(a-4)+(b-4)i.
又z1+z2=1+i,∴
∴z1=4-i,z2=-3+2i.
(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i.
∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,
∴
素养提升
1.设向量对应的复数分别为z1,z2,z3,那么
(　　)
A.z1+z2+z3=0
B.z1-z2-z3=0
C.z1-z2+z3=0
D.z1+z2-z3=0
答案D
解析∵,∴z1+z2=z3,
即z1+z2-z3=0.
2.
z∈C,若|z|-=1+2i,则z=(　　)
A.-2i
B.+2i
C.2+2i
D.2-2i
答案B
解析设z=a+bi(a,b∈R),则|z|--a+bi=1+2i,
故解得故z=+2i.
3.在?ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是(　　)
A.2-3i
B.4+8i
C.4-8i
D.1+4i
答案C
解析对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,设点D对应的复数为z,则对应的复数为(3-5i)-z.
由平行四边形法则,知,
∴-1+3i=(3-5i)-z,
∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故选C.
4.z1=3+4i,z2=-2-i,则z1-的共轭复数为(　　)
A.1-3i
B.5-3i
C.5+3i
D.1+3i
答案B
解析因为z1=3+4i,z2=-2-i,
所以z1-=(3+4i)-(-2+i)=5+3i.
所以z1-的共轭复数为5-3i,故选B.
5.复数z满足|z-i|=|z+3i|,则|z|(　　)
A.最小值为1,无最大值
B.最大值为1,无最小值
C.恒等于1
D.无最大值,也无最小值
答案A
解析设复数z=x+yi,其中x,y∈R,
由|z-i|=|z+3i|,得
|x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|,
∴x2+(y-1)2=x2+(y+3)2,
解得y=-1.
∴|z|=≥1,
即|z|有最小值为1,没有最大值.故选A.
6.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是(　　)
A.若复数z满足|z-i|=,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模
D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则
答案CD
解析满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0,1)为圆心、为半径的圆上,A错误;设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=.
由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,
∴解得
∴z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以所在线段为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选CD.
7.设复数z1=m+5i,z2=3+ni,m,n均为实数.若z1+z2=4+3i,z=m+ni,则=　　　　　.?
答案1+2i
解析∵z1=m+5i,z2=3+ni,
∴z1+z2=m+5i+3+ni=(m+3)+(5+n)i.
又z1+z2=4+3i,
∴(m+3)+(5+n)i=4+3i.
∴解得
∴m+ni=1-2i,∴=1+2i.
8.复数z1=cos
θ+i,z2=sin
θ-i,则|z1-z2|的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　.?
答案　2
解析|z1-z2|=|(cos
θ-sin
θ)+2i|
=
=
=,
当sin
2θ=-1时,得最大值,
当sin
2θ=1时,得最小值2.
9.设z=a+bi(a,b∈R),且(4a+4bi)+(2a-2bi)=3+i,又ω=sin
θ-icos
θ,求|z-ω|的取值范围.
解∵(4a+4bi)+(2a-2bi)=3+i,
∴6a+2bi=3+i,∴
∴z=i,
∴z-ω=-(sin
θ-icos
θ)
=i,
∴|z-ω|=
=
=,
∵-1≤sin≤1,∴0≤2-2sin≤4,
∴0≤|z-ω|≤2,
故|z-ω|的取值范围是[0,2].
10.已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=i,求复数z1,z2及|z1-z2|.
解由于|z1+z2|==1.
设z1,z2,z1+z2对应的向量分别为,
则||=||=||=1,
故A,B,C三点均在以原点为圆心,半径为1的圆上,如图.
易得:cos∠AOC=,故∠AOC=60°,
又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形,
∴?OACB为菱形,且△BOC,△COA都是等边三角形,即∠AOB=120°.
又与x轴正半轴的夹角为60°,∴点A在x轴上,即A(1,0).
而xB=||cos
120°=-,
yB=||sin
120°=,
∴点B的坐标为.
∴
∴|z1-z2|=.
2