10.2.2　复数的乘法与除法-2020-2021学年高二数学人教B版（2019）必修第四册第十章课时作业

10.2.2　复数的乘法与除法
1.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则=(　　)
A.2-3i
B.2+3i
C.-2-3i
D.-2+3i
2.z=的共轭复数是(　　)
A.i
B.i
C.1-i
D.1+i
3.已知(1+ai)(2-i)=x+yi(a,x,y∈R),i是虚数单位,则(　　)
A.x-2y=0
B.2x+y-3=0
C.2x-y-5=0
D.2x+y+2=0
4.若复数z=(m∈R)为纯虚数,则m=(　　)
A.2
B.1
C.-1
D.-2
5.若z1=(2-mi)(3-2i)(m∈R)是纯虚数,则在复平面内复数z2=所对应的点位于
(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.若复数z满足z(1-i)=1+i,i为虚数单位,则z2
021=(　　)
A.-2i
B.i
C.-i
D.2i
7.(多选题)下面关于复数z=的叙述正确的是(　　)
A.z的虚部为-i
B.|z|=
C.z的共轭复数为1+i
D.z2=2i
8.定义运算=ad-bc,若复数z满足=2,其中i为虚数单位,则复数|z|=　　　　　.?
9.已知复数z=2+6i,若复数m
+m2(1+i)为非零实数,则实数m的值为　　　　　.?
10.四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C,D四点对应的复数分别为1+3i,2i,2+i,z.
(1)求复数z;
(2)z是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
素养提升
1.已知i是虚数单位,则复数z1=2+ai,z2=1-i,若是实数,则实数a的值为(　　)
A.-2
B.2
C.0
D.
2.设i为虚数单位,表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则=(　　)
A.-i
B.2i
C.-1
D.1
3.已知复数z的共轭复数,若,则z在复平面内对应的点为(　　)
A.(-2,-1)
B.(2,-1)
C.(-2,1)
D.(2,1)
4.已知p,q∈R,1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则p·q=(　　)
A.-4
B.0
C.2
D.4
5.已知复数z1=在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为　　　　　.?
6.复数z满足=a-i(其中a>0,i为虚数单位),|z|=,则a=　　　　　;复数z的共轭复数在复平面上对应的点在第　　　　　象限.?
7.若实数m,n满足i2
021·(4+mi)=(n+2i)2,且z=m+ni,则|z|=　　　　　.?
8.设z+1为关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的虚数根,i是虚数单位.
(1)当z=-1+i时,求p,q的值;
(2)若q=1,在复平面上,设复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,试求||的取值范围.
9.已知复数z=(a+i)2,w=4-3i,其中a是实数.
(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限,求a的取值范围;
(2)若是纯虚数,a是正实数,求+…+.
答案
1.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2-3i
B.2+3i
C.-2-3i
D.-2+3i
答案A
解析z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,∴=2-3i.
2.z=的共轭复数是(　　)
A.i
B.i
C.1-i
D.1+i
答案B
解析由题意,复数z=i,所以z的共轭复数为i,故选B.
3.已知(1+ai)(2-i)=x+yi(a,x,y∈R),i是虚数单位,则(　　)
A.x-2y=0
B.2x+y-3=0
C.2x-y-5=0
D.2x+y+2=0
答案C
解析∵(1+ai)(2-i)=(2+a)+(2a-1)i=x+yi,
∴即2x-y-5=0.
故选C.
4.若复数z=(m∈R)为纯虚数,则m=(　　)
A.2
B.1
C.-1
D.-2
答案D
解析z=i.因为复数z为纯虚数,所以得解得m=-2.
5.若z1=(2-mi)(3-2i)(m∈R)是纯虚数,则在复平面内复数z2=所对应的点位于
(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案D
解析∵z1=(2-mi)(3-2i)=(6-2m)-(3m+4)i为纯虚数,则解得m=3,∴z2=i,因此,复数z2在复平面内对应的点在第四象限.
6.若复数z满足z(1-i)=1+i,i为虚数单位,则z2
021=(　　)
A.-2i
B.i
C.-i
D.2i
答案B
解析由z(1-i)=1+i,得z==i,∴z2
021=i2
021=i4×505+1=i.故选B.
7.(多选题)下面关于复数z=的叙述正确的是(　　)
A.z的虚部为-i
B.|z|=
C.z的共轭复数为1+i
D.z2=2i
答案BD
解析z==-1-i,则其虚部为-1,A错误;|z|=,B正确;z的共轭复数为-1+i,C错误;z2=(-1-i)2=2i,D正确.故选BD.
8.定义运算=ad-bc,若复数z满足=2,其中i为虚数单位,则复数|z|=　　　　　.?
答案
解析由定义运算=ad-bc,
得=zi+z=2,
即z==1-i.
∴|z|=.
9.已知复数z=2+6i,若复数m
+m2(1+i)为非零实数,则实数m的值为　　　　　.?
答案6
解析∵z=2+6i,∴m+m2(1+i)=m(2-6i)+m2+m2i=(m2+2m)+(m2-6m)i,
由题意,解得m=6.
10.四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C,D四点对应的复数分别为1+3i,2i,2+i,z.
(1)求复数z;
(2)z是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
解(1)复平面内A,B,C对应的点坐标分别为(1,3),(0,2),(2,1),
设D的坐标为(x,y),由于,
∴(x-1,y-3)=(2,-1),
∴x-1=2,y-3=-1,
解得x=3,y=2,故D(3,2),
则点D对应的复数z=3+2i;
(2)∵3+2i是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,
∴3-2i是关于x的方程2x2-px+q=0的另一个根,
则3+2i+3-2i=,(3+2i)(3-2i)=,
即p=12,q=26.
素养提升
1.已知i是虚数单位,则复数z1=2+ai,z2=1-i,若是实数,则实数a的值为(　　)
A.-2
B.2
C.0
D.
答案A
解析∵z1=2+ai,z2=1-i,
∴i,
由是实数,得2+a=0,
即a=-2.故选A.
2.设i为虚数单位,表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则=(　　)
A.-i
B.2i
C.-1
D.1
答案A
解析由z=1+i,得
=-i.
故选A.
3.已知复数z的共轭复数,若,则z在复平面内对应的点为(　　)
A.(-2,-1)
B.(2,-1)
C.(-2,1)
D.(2,1)
答案A
解析设z=x+yi(x,y∈R),
由,得(x-yi)(1+i)=x+yi-1,
即(x+y)+(x-y)i=(x-1)+yi,则
解得.
∴z在复平面内对应的点为(-2,-1).
故选A.
4.已知p,q∈R,1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则p·q=(　　)
A.-4
B.0
C.2
D.4
答案A
解析∵1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,
∴1-i也是方程x2+px+q=0的一个根,
则1+i+1-i=-p,
即-p=2,p=-2,
(1+i)(1-i)=q,即q=1+1=2,
则p·q=-2×2=-4.故选A.
5.已知复数z1=在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为　　　　　.?
答案-
解析∵z1=i,
∴A.
∵向量与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为B,∴z2的虚部为-.
6.复数z满足=a-i(其中a>0,i为虚数单位),|z|=,则a=　　　　　;复数z的共轭复数在复平面上对应的点在第　　　　　象限.?
答案2　四
解析由=a-i可得z=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i,所以|z|=,
整理得a2+2a+1+a2-2a+1=10,所以a2=4.
又因为a>0,所以a=2,所以z=3+i,=3-i.
所以在复平面内对应的点为(3,-1),位于第四象限.
7.若实数m,n满足i2
021·(4+mi)=(n+2i)2,且z=m+ni,则|z|=　　　　　.?
答案
解析由i2
021·(4+mi)=(n+2i)2,
得i(4+mi)=n2+4ni-4,
即-m+4i=n2+4ni-4,∴
即
∴|z|=|3+i|=.
8.设z+1为关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的虚数根,i是虚数单位.
(1)当z=-1+i时,求p,q的值;
(2)若q=1,在复平面上,设复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,试求||的取值范围.
解(1)∵z=-1+i,∴z+1=i,
则方程x2+px+q=0的两根分别为i,-i.
由根与系数的关系有∴p=0,q=1;
(2)设z=a+bi(a,b∈R),
若q=1,则z+1,是方程x2+px+1=0的两虚数根.
则=a+1-bi.
由题意可得:(z+1)=(a+1)2+b2=1.
令a+1=cos
θ,b=sin
θ,θ∈[0,2π).
∵复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,
∴||=
=∈[4,6],其中tan
φ=-.
9.已知复数z=(a+i)2,w=4-3i,其中a是实数.
(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限,求a的取值范围;
(2)若是纯虚数,a是正实数,求+…+.
解(1)∵z=(a+i)2=a2+2ai+i2=a2-1+2ai在复平面内表示的点位于第一象限,
∴解得a>1,故实数a的取值范围为(1,+∞);
(2)依题意得:i,∵是纯虚数,
∴
解得a1=-(舍)或a2=2(a>0),
当a=2时,i=i,
∴+…+=i+i2+i3+…+i2
021=i-1-i+…+i=i.
7