2020-2021学年高二数学人教B版（2019）必修第四册 11.1.1空间几何体与斜二测画法 同步作业（Word版含解析）

11.1.1　空间几何体与斜二测画法
1.下列说法正确的是(　　)
A.相等的角在直观图中仍然相等
B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°
D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
2.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是等边三角形A'B'C',则△ABC是(　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
3.
如图所示的正方形O'A'B'C'的边长为1
cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是(　　)
A.6
cm
B.8
cm
C.(2+3)cm
D.(2+2)cm
4.
如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是(　　)
A.AB
B.AD
C.BC
D.AC
5.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2
cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　)
A.2
cm
B.3
cm
C.2.5
cm
D.5
cm
6.已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积是(　　)
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
7.
如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形ABCD为　　　　　.?
8.用斜二测画法画边长为2的正方形ABCD的直观图时,以射线AB,AD分别为x轴、y轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图A'B'C'D',则该直观图的面积为　　　　　.?
9.
如图,平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图,若O'P'=3,O'R'=1,则原四边形OPQR的周长为　　　　　.?
10.
水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的长度为　　　　.?
11.
如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4
cm,CD=2
cm,∠DAB=30°,AD=3
cm,试画出它的直观图.
素养提升
1.下列说法正确的是(　　)
A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图可能是平行四边形
2.
如图,一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图为直角梯形O'A'B'C',且O'A'=2,O'C'=1,A'B'平行于y'轴,则这个平面图形OABC的面积为(　　)
A.5
B.5
C.
D.
3.如图所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'与x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为(　　)
A.2
B.4
C.2
D.4
4.
如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是(　　)
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
5.
如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O'A'B'C',在直观图中梯形的高为　　　　　,面积为　　　　　.?
6.如图是水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',则△AOB的周长是　　　　　.?
7.
如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的等边三角形,那么原△ABC的面积为　　　　.?
8.画出各条棱长都相等的正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.
9.一个圆锥的底面直径是1.6
cm,在它的内部有一个底面直径为0.7
cm,高为1
cm的内接圆柱.
(1)画出它们的直观图;
(2)求圆锥的母线长.
答案
1.下列说法正确的是(　　)
A.相等的角在直观图中仍然相等
B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°
D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
答案D
解析等腰三角形的两底角相等,但在直观图中不相等,故A错误.正方形的两邻边相等,但在直观图中不相等,故B错误.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'可以是45°也可以是135°,故C错误.故选D.
2.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是等边三角形A'B'C',则△ABC是(　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
答案C
解析如图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC是钝角三角形.
3.
如图所示的正方形O'A'B'C'的边长为1
cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是(　　)
A.6
cm
B.8
cm
C.(2+3)cm
D.(2+2)cm
答案B
解析直观图中,O'B'=,OB=2.原图形中OC=AB==3,OA=BC=1,∴原图形的周长是2×(3+1)=8(cm).
4.
如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是(　　)
A.AB
B.AD
C.BC
D.AC
答案D
解析还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.
5.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2
cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　)
A.2
cm
B.3
cm
C.2.5
cm
D.5
cm
答案D
解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5
cm.故选D.
6.已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积是(　　)
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
答案D
解析如图①为实际图形,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
如图②,建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,由直观图画法知:A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,过点C'作C'D'⊥O'x'于点D',则C'D'=O'C'=a.所以△A'B'C'的面积是S=·A'B'·C'D'=·a·a=a2.
7.
如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形ABCD为　　　　　.?
答案正方形
解析因为∠D'A'B'=45°,由斜二测画法规则知∠DAB=90°,又因四边形A'B'C'D'为平行四边形,且AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.
8.用斜二测画法画边长为2的正方形ABCD的直观图时,以射线AB,AD分别为x轴、y轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图A'B'C'D',则该直观图的面积为　　　　　.?
答案
解析设原图的面积为S,直观图的面积为S',则S=2S',即S'=S.
因为正方形ABCD的面积为S=2×2=4,所以其直观图的面积为S'=S=×4=.
9.
如图,平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图,若O'P'=3,O'R'=1,则原四边形OPQR的周长为　　　　　.?
答案10
解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形,且OP=3,OR=2,所以原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.
10.
水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的长度为　　　　.?
答案
解析在直观图中,A'C'=3,B'C'=2,所以在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,C=90°,
∴AB==5,因此,AB边上的中线的长度为AB=.
11.
如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4
cm,CD=2
cm,∠DAB=30°,AD=3
cm,试画出它的直观图.
解第一步:如图①所示,在梯形ABCD中,以边AB所在直线为x轴,A为原点,建立平面直角坐标系xOy;如图②所示,画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°;
第二步:在图①中,过点D作DE⊥x轴,垂足为点E;在图②中,在x'轴上取A'B'=AB=4
cm,A'E'=AE=≈2.598(cm),过点E'作E'D'∥y'轴,使E'D'=ED==0.75(cm),再过点D'作D'C'∥x'轴,且使D'C'=DC=2
cm;
第三步:连接A'D',B'C',并擦去x'轴与y'轴多余的部分及其他一些辅助线,如图③所示,则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图.
素养提升
1.下列说法正确的是(　　)
A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图可能是平行四边形
答案D
解析A项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误.
B项,原图形中平行的两条线段仍然平行,不平行的两条线段也不会平行,所以梯形的直观图不可能为平行四边形,故B项错误.
C项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,但是原图形中相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行,所以矩形的直观图中对边仍然平行,所以矩形的直观图可能为平行四边形而不可能为梯形.故C项错误,故D项正确.
2.
如图,一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图为直角梯形O'A'B'C',且O'A'=2,O'C'=1,A'B'平行于y'轴,则这个平面图形OABC的面积为(　　)
A.5
B.5
C.
D.
答案B
解析根据斜二测画法的规则可知,水平放置的平面图形OABC为直角梯形,由题意可知上底为OA=2,高为AB=2,下底为BC=2+1=3,所以这个平面图形OABC的面积为S=×(3+2)×2=5.
3.如图所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'与x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为(　　)
A.2
B.4
C.2
D.4
答案D
解析设△AOB的边OB上的高为h,因为S原图形=2S直观图,所以×OB×h=2×O'B'×2,
又OB=O'B',所以h=4.
4.
如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是(　　)
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
答案C
解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2.在原图形中,OD=4,CD=2,且OD⊥CD,所以OC==6=OA,所以原图形是菱形.
5.
如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O'A'B'C',在直观图中梯形的高为　　　　　,面积为　　　　　.?
答案　2
解析因为OA=6,CB=2,所以OD=2.
又因为∠COD=45°,
所以CD=2.梯形的直观图如图,则C'D'=1.所以梯形的高C'E'=.面积为=2.
6.如图是水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',则△AOB的周长是　　　　　.?
答案4+4
解析根据直观图画出原图如图所示,
根据原图和直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,所以OA=AB==2,所以△AOB的周长是4+2×2=4+4.
7.
如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的等边三角形,那么原△ABC的面积为　　　　.?
答案a2
解析法一:过C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于M'.
过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于D',则C'D'=a.
所以∠C'M'D'=45°,所以C'M'=a.
所以原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2.
法二:因为S△A'B'C'=×a×a=a2.
由S直观图=S原图得,
S△ABC=S△A'B'C'=a2=a2.
8.画出各条棱长都相等的正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.
解第一步:画x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°;
第二步:按x'轴、y'轴,画正六边形的直观图ABCDEF;
第三步:过A,B,C,D,E,F各点分别作z'轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA',BB',CC',DD',EE',FF'都等于棱AB的长;
第四步:顺次连接A',B',C',D',E',F',去掉辅助线及字母,将被遮挡的部分改为虚线,就得到所求作的正六棱柱的直观图.
9.一个圆锥的底面直径是1.6
cm,在它的内部有一个底面直径为0.7
cm,高为1
cm的内接圆柱.
(1)画出它们的直观图;
(2)求圆锥的母线长.
解(1)①画轴.取x轴、y轴、z轴,记坐标原点为O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°(如图①所示).
②画底面.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于1.6
cm的圆的直观图.
③画内接圆柱.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于0.7
cm的圆的直观图,然后在z轴上取线段OO'=1
cm,过点O'作平行于x轴的x'轴,平行于y轴的y'轴,再以O'为中心,利用x'轴、y'轴画一个直径为0.7
cm的圆的直观图.再画圆柱的两条母线,使它们与这两个椭圆相切.
④成图.画圆锥的两条母线,再加以整理,就得到所要画的直观图(如图②所示).
(2)设圆锥的高为h,则,解得h=.
所以圆锥的母线长为
l=.
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