2020-2021学年高中数学人教B版（2019）必修第四册第十一章立体几何初步 11.2平面的基本事实与推论同步作业（Word版含解析）
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| 名称 | 2020-2021学年高中数学人教B版（2019）必修第四册第十一章立体几何初步 11.2平面的基本事实与推论同步作业（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 510.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-08 08:48:26 | ||
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文档简介
11.2 平面的基本事实与推论
1.空间中,可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线
B.一点和一条直线
C.一个三角形
D.三个点
2.下列命题正确的是
( )
A.三点确定一个平面
B.圆心和圆上两个点确定一个平面
C.如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点
D.如果两条直线没有交点,则这两条直线平行
3.若平面α和平面β有三个公共点A,B,C,则平面α和平面β的位置关系为( )
A.平面α和平面β只能重合
B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线
C.若点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A,B,C的一条直线
D.以上都不对
4.(多选题)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是( )
A.如果A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.如果l?α,A∈l,则A?α
C.如果A∈α,A∈l,l?α,则l∩α=A
D.如果A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
5.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
6.下图中正确表示两个相交平面的是( )
7.
如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β且C?l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的平面为γ,则β∩γ等于( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线CR
D.以上都不对
8.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α.且AB∩l=C,则AB∩β= .?
9.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定的平面的个数是 .?
10.下列命题中,不正确的是 (填序号).?
①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;
②三条两两垂直的直线共面;
③两两相交直线上的三个点确定一个平面;
④每两条都相交但不共点的四线共面.
11.
如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:
(1)点C与平面β: .?
(2)点A与平面α: .?
(3)直线AB与平面α: .?
(4)直线CD与平面α: .?
(5)平面α与平面β: .?
12.
(1)用符号表示下列语句,并画出同时满足这四个语句的一个几何图形:
①直线l在平面α内;②直线m不在平面α内;③直线m与平面α交于点A;④直线l不经过点A.
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,F为棱CC1的三等分点,画出由D1,E,F三点所确定的平面β与平面ABCD的交线.(保留作图痕迹)
素养提升
1.(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是( )
A.若线段AB在平面α内,则直线AB不在平面α内
B.两条平行直线共面
C.两个不重合的平面有一个公共点,则一定有无数个公共点
D.空间三点确定一个平面
2.下列四个命题:
①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.(多选题)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题,正确的是( )
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l?α,A∈l,则A?α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α?a?α
②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α
④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
5.
如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.?
6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是 (填序号).?
7.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
(2)求证:D,E,P三点共线.
8.
如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.
9.
如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.
求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
答案
1.空间中,可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线
B.一点和一条直线
C.一个三角形
D.三个点
答案C
2.下列命题正确的是
( )
A.三点确定一个平面
B.圆心和圆上两个点确定一个平面
C.如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点
D.如果两条直线没有交点,则这两条直线平行
答案C
解析共线的三点不能确定一个平面,故A错误;当圆上的两个点恰为直径的端点时,不能确定一个平面,故B错误;如果两个平面相交有一个交点,则这两个平面相交于过该点的一条直线,故C正确;如果两条直线没有交点,则这两条直线平行或异面,故D错误.
3.若平面α和平面β有三个公共点A,B,C,则平面α和平面β的位置关系为( )
A.平面α和平面β只能重合
B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线
C.若点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A,B,C的一条直线
D.以上都不对
答案C
解析应分点A,B,C共线与不共线两种情况讨论.
4.(多选题)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是( )
A.如果A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.如果l?α,A∈l,则A?α
C.如果A∈α,A∈l,l?α,则l∩α=A
D.如果A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
答案ACD
解析对于A,由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,根据平面的基本事实2,可得l?α,所以A正确;对于B,由l?α,A∈l,根据直线与平面的位置关系,则A?α或A∈α,所以B不正确;对于C,由A∈α,A∈l,l?α,根据直线与平面位置关系,则l∩α=A,所以C正确;对于D,由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,根据平面的基本事实3,可得α∩β=AB,所以D正确.
5.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
答案D
解析连接A1C1,AC,由于平面A1C∩平面C1BD=OC1,故有C1,M,O三点共线,C1,M,O,C四点共面,C1,O,A,M四点共面,而D1,D,O,M四点不共面.故选D.
6.下图中正确表示两个相交平面的是( )
答案D
解析A中无交线;B中不可见线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画,也不正确.D的画法正确.
7.
如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β且C?l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的平面为γ,则β∩γ等于( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线CR
D.以上都不对
答案C
解析由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ=CR.故选C.
8.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α.且AB∩l=C,则AB∩β= .?
答案C
解析因为A∈α,B∈α,AB∩l=C,所以C∈AB,又因为C∈l,l?β,所以C∈β,所以AB∩β=C.
9.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定的平面的个数是 .?
答案6
解析如图,这4条直线每2条直线确定1个平面,共确定的平面的个数是6.
10.下列命题中,不正确的是 (填序号).?
①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;
②三条两两垂直的直线共面;
③两两相交直线上的三个点确定一个平面;
④每两条都相交但不共点的四线共面.
答案②③
解析三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故②错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面,故③错误;①④正确.
11.
如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:
(1)点C与平面β: .?
(2)点A与平面α: .?
(3)直线AB与平面α: .?
(4)直线CD与平面α: .?
(5)平面α与平面β: .?
答案(1)C?β (2)A?α (3)AB∩α=B (4)CD?α (5)α∩β=BD
12.
(1)用符号表示下列语句,并画出同时满足这四个语句的一个几何图形:
①直线l在平面α内;②直线m不在平面α内;③直线m与平面α交于点A;④直线l不经过点A.
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,F为棱CC1的三等分点,画出由D1,E,F三点所确定的平面β与平面ABCD的交线.(保留作图痕迹)
解(1)l?α;m?α;m∩α=A;A?l;示意图如下:
(2)如图,直线IL即为所求.
素养提升
1.(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是( )
A.若线段AB在平面α内,则直线AB不在平面α内
B.两条平行直线共面
C.两个不重合的平面有一个公共点,则一定有无数个公共点
D.空间三点确定一个平面
答案BC
解析对A,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,故A不正确;对B,两条平行直线共面,故B正确;对C,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,则一定有无数个公共点,故C正确;对D,过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面,但若三个点共线,不能确定一个平面,故D不正确.综上所述,只有C正确.
2.下列四个命题:
①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案A
解析①错,如果两个平面有三个公共点,那么这三个公共点共线,或这两个平面重合;
②错,两条异面直线不能确定一个平面;
③对;
④错,空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内.
3.(多选题)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题,正确的是( )
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l?α,A∈l,则A?α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
答案ABD
解析若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α,由平面的基本事实2,可得A正确;
由平面的基本事实2,知AB?α,AB?β,即α∩β=AB,可得B正确;
若l?α,A∈l,则A∈α或A?α,可得C不正确;
若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本事实1和过A,B,C确定一平面且与α,β重合,可得D正确.故选ABD.
4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α?a?α
②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α
④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
答案D
解析当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a?α,∴①错;
a∩β=P时,②错;如图,
∵a∥b,P∈b,∴P?a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b?α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.故选D.
5.
如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.?
答案AC
解析若EF∩GH=Q,则点Q∈平面ABC,Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.
6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是 (填序号).?
答案①③
解析图形①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确.分析可知③中四点与另外两棱中点构成正六边形,所以四点共面,②④中四点均不共面.
7.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
(2)求证:D,E,P三点共线.
(1)解延长AB交平面α于点P,如图所示.
(2)证明平面ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
又P∈α,所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上,即P∈DE.故D,E,P三点共线.
8.
如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.
证明因为PQ∩CB=M,所以M∈直线PQ.
因为PQ?平面PQR,所以M∈平面PQR.
又因为M∈直线CB,CB?平面BCD,
所以M∈平面BCD,从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上.
同理可证,K,N也在l上,所以M,N,K三点共线.
9.
如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.
求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB,
所以AA',BB'在同一平面A'B内.
设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.
同理BB',CC'同在平面BB'C'C内,CC',AA'同在平面AA'C'C内.
因为P∈AA',AA'C'C?平面AA'C'C,所以P∈平面AA'C'C.同理点P∈平面BB'C'C,所以点P在平面AA'C'C与平面BB'C'C的交线上,而平面AA'C'C∩平面BB'C'C=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
5
1.空间中,可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线
B.一点和一条直线
C.一个三角形
D.三个点
2.下列命题正确的是
( )
A.三点确定一个平面
B.圆心和圆上两个点确定一个平面
C.如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点
D.如果两条直线没有交点,则这两条直线平行
3.若平面α和平面β有三个公共点A,B,C,则平面α和平面β的位置关系为( )
A.平面α和平面β只能重合
B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线
C.若点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A,B,C的一条直线
D.以上都不对
4.(多选题)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是( )
A.如果A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.如果l?α,A∈l,则A?α
C.如果A∈α,A∈l,l?α,则l∩α=A
D.如果A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
5.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
6.下图中正确表示两个相交平面的是( )
7.
如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β且C?l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的平面为γ,则β∩γ等于( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线CR
D.以上都不对
8.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α.且AB∩l=C,则AB∩β= .?
9.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定的平面的个数是 .?
10.下列命题中,不正确的是 (填序号).?
①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;
②三条两两垂直的直线共面;
③两两相交直线上的三个点确定一个平面;
④每两条都相交但不共点的四线共面.
11.
如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:
(1)点C与平面β: .?
(2)点A与平面α: .?
(3)直线AB与平面α: .?
(4)直线CD与平面α: .?
(5)平面α与平面β: .?
12.
(1)用符号表示下列语句,并画出同时满足这四个语句的一个几何图形:
①直线l在平面α内;②直线m不在平面α内;③直线m与平面α交于点A;④直线l不经过点A.
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,F为棱CC1的三等分点,画出由D1,E,F三点所确定的平面β与平面ABCD的交线.(保留作图痕迹)
素养提升
1.(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是( )
A.若线段AB在平面α内,则直线AB不在平面α内
B.两条平行直线共面
C.两个不重合的平面有一个公共点,则一定有无数个公共点
D.空间三点确定一个平面
2.下列四个命题:
①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.(多选题)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题,正确的是( )
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l?α,A∈l,则A?α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α?a?α
②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α
④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
5.
如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.?
6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是 (填序号).?
7.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
(2)求证:D,E,P三点共线.
8.
如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.
9.
如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.
求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
答案
1.空间中,可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线
B.一点和一条直线
C.一个三角形
D.三个点
答案C
2.下列命题正确的是
( )
A.三点确定一个平面
B.圆心和圆上两个点确定一个平面
C.如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点
D.如果两条直线没有交点,则这两条直线平行
答案C
解析共线的三点不能确定一个平面,故A错误;当圆上的两个点恰为直径的端点时,不能确定一个平面,故B错误;如果两个平面相交有一个交点,则这两个平面相交于过该点的一条直线,故C正确;如果两条直线没有交点,则这两条直线平行或异面,故D错误.
3.若平面α和平面β有三个公共点A,B,C,则平面α和平面β的位置关系为( )
A.平面α和平面β只能重合
B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线
C.若点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A,B,C的一条直线
D.以上都不对
答案C
解析应分点A,B,C共线与不共线两种情况讨论.
4.(多选题)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是( )
A.如果A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.如果l?α,A∈l,则A?α
C.如果A∈α,A∈l,l?α,则l∩α=A
D.如果A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
答案ACD
解析对于A,由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,根据平面的基本事实2,可得l?α,所以A正确;对于B,由l?α,A∈l,根据直线与平面的位置关系,则A?α或A∈α,所以B不正确;对于C,由A∈α,A∈l,l?α,根据直线与平面位置关系,则l∩α=A,所以C正确;对于D,由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,根据平面的基本事实3,可得α∩β=AB,所以D正确.
5.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
答案D
解析连接A1C1,AC,由于平面A1C∩平面C1BD=OC1,故有C1,M,O三点共线,C1,M,O,C四点共面,C1,O,A,M四点共面,而D1,D,O,M四点不共面.故选D.
6.下图中正确表示两个相交平面的是( )
答案D
解析A中无交线;B中不可见线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画,也不正确.D的画法正确.
7.
如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β且C?l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的平面为γ,则β∩γ等于( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线CR
D.以上都不对
答案C
解析由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ=CR.故选C.
8.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α.且AB∩l=C,则AB∩β= .?
答案C
解析因为A∈α,B∈α,AB∩l=C,所以C∈AB,又因为C∈l,l?β,所以C∈β,所以AB∩β=C.
9.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定的平面的个数是 .?
答案6
解析如图,这4条直线每2条直线确定1个平面,共确定的平面的个数是6.
10.下列命题中,不正确的是 (填序号).?
①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;
②三条两两垂直的直线共面;
③两两相交直线上的三个点确定一个平面;
④每两条都相交但不共点的四线共面.
答案②③
解析三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故②错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面,故③错误;①④正确.
11.
如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:
(1)点C与平面β: .?
(2)点A与平面α: .?
(3)直线AB与平面α: .?
(4)直线CD与平面α: .?
(5)平面α与平面β: .?
答案(1)C?β (2)A?α (3)AB∩α=B (4)CD?α (5)α∩β=BD
12.
(1)用符号表示下列语句,并画出同时满足这四个语句的一个几何图形:
①直线l在平面α内;②直线m不在平面α内;③直线m与平面α交于点A;④直线l不经过点A.
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,F为棱CC1的三等分点,画出由D1,E,F三点所确定的平面β与平面ABCD的交线.(保留作图痕迹)
解(1)l?α;m?α;m∩α=A;A?l;示意图如下:
(2)如图,直线IL即为所求.
素养提升
1.(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是( )
A.若线段AB在平面α内,则直线AB不在平面α内
B.两条平行直线共面
C.两个不重合的平面有一个公共点,则一定有无数个公共点
D.空间三点确定一个平面
答案BC
解析对A,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,故A不正确;对B,两条平行直线共面,故B正确;对C,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,则一定有无数个公共点,故C正确;对D,过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面,但若三个点共线,不能确定一个平面,故D不正确.综上所述,只有C正确.
2.下列四个命题:
①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案A
解析①错,如果两个平面有三个公共点,那么这三个公共点共线,或这两个平面重合;
②错,两条异面直线不能确定一个平面;
③对;
④错,空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内.
3.(多选题)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题,正确的是( )
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l?α,A∈l,则A?α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
答案ABD
解析若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α,由平面的基本事实2,可得A正确;
由平面的基本事实2,知AB?α,AB?β,即α∩β=AB,可得B正确;
若l?α,A∈l,则A∈α或A?α,可得C不正确;
若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本事实1和过A,B,C确定一平面且与α,β重合,可得D正确.故选ABD.
4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α?a?α
②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α
④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
答案D
解析当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a?α,∴①错;
a∩β=P时,②错;如图,
∵a∥b,P∈b,∴P?a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b?α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.故选D.
5.
如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.?
答案AC
解析若EF∩GH=Q,则点Q∈平面ABC,Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.
6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是 (填序号).?
答案①③
解析图形①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确.分析可知③中四点与另外两棱中点构成正六边形,所以四点共面,②④中四点均不共面.
7.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
(2)求证:D,E,P三点共线.
(1)解延长AB交平面α于点P,如图所示.
(2)证明平面ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
又P∈α,所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上,即P∈DE.故D,E,P三点共线.
8.
如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.
证明因为PQ∩CB=M,所以M∈直线PQ.
因为PQ?平面PQR,所以M∈平面PQR.
又因为M∈直线CB,CB?平面BCD,
所以M∈平面BCD,从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上.
同理可证,K,N也在l上,所以M,N,K三点共线.
9.
如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.
求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB,
所以AA',BB'在同一平面A'B内.
设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.
同理BB',CC'同在平面BB'C'C内,CC',AA'同在平面AA'C'C内.
因为P∈AA',AA'C'C?平面AA'C'C,所以P∈平面AA'C'C.同理点P∈平面BB'C'C,所以点P在平面AA'C'C与平面BB'C'C的交线上,而平面AA'C'C∩平面BB'C'C=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
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