6.4.3第2课时正弦定理讲义2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第六章平面向量及其应用

第2课时　正弦定理
(教师独具内容)
课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理．
教学重点：1.用向量的方法推导正弦定理.2.用正弦定理解三角形．
教学难点：正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用．
核心素养：1.通过正弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过正弦定理的应用培养数学运算素养.
1．深入理解正弦定理
(1)适用范围：正弦定理对任意三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
若A反之，若a(4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化．
2．正弦定理的变形
设三角形的三边长为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形：
(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
(4)＝＝＝.
3．三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
(1)利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理＝，得sinB＝.若sinB>1，无解；若sinB＝1，一解；若sinB<1，一解或两解．
(2)利用余弦定理讨论：已知a，b，A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
4．三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝，cosA＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(　　)
(2)在△ABC中必有asinA＝bsinB.(　　)
(3)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB.(　　)
2．做一做
(1)已知△ABC外接圆的半径是2，∠A＝60°，则BC边长为____.
(2)在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，则C＝____.
(3)在△ABC中，若＝，则B＝____.
(4)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则＝____.
题型一 已知两角及一边解三角形
例1　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.
[跟踪训练1]　(1)若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为____.
(2)已知三角形的两角分别是45°和60°，它们所夹边的长为1，则最小边的长为____.
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
例2　根据下列条件解三角形：
(1)b＝，B＝60°，c＝1；
(2)c＝，A＝45°，a＝2.
[跟踪训练2]　根据下列条件解三角形：
(1)a＝2，C＝60°，c＝；
(2)b＝，B＝30°，c＝2.
题型三 三角形解的个数的判断
例3　已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
[跟踪训练3]　(1)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A．{x|x>2} B．{x|x<2}
C．{x|2(2)已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答．
①b＝4，c＝8，B＝30°；
②b＝4，c＝2，C＝30°.
题型四 判断三角形的形状
例4　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
[跟踪训练4]　在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
题型五 正弦、余弦定理的综合运用
例5　(1) 如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.
①求C；
②若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[跟踪训练5]　(1)设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c，且cosB＝，b＝2.
①当A＝30°时，求a的值；
②当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.
①求A；
②若a＋b＝2c，求sinC.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2asinB，则角A等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)
A．4 B．4
C．4 D．
3．(多选)在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则角B的度数可能为(　　)
A．15° B．45°
C．105° D．135°
4．在△ABC中，若sinA>sinB，则角A与角B的大小关系为____.
5．在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，且A＝60°，a＝，b＝4，那么满足条件的△ABC有几个？
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝(　　)
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C.∶1∶1 D．∶1∶1
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，A＝60°，则tanB等于(　　)
A．1 B．
C. D．
3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30° B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝6，b＝9，A＝45° D．a＝30，b＝40，A＝30°
4．(多选)在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是(　　)
A．2 B．
C．3 D．4
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　)
A．120° B．105°
C．90° D．75°
二、填空题
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝____.
7．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝____.
8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且＝，则角B的大小为____.
三、解答题
9．(1)在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形；
(2)在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，解三角形．
1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.求A.
2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，＋＝.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求边b，c.
第2课时　正弦定理
(教师独具内容)
课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理．
教学重点：1.用向量的方法推导正弦定理.2.用正弦定理解三角形．
教学难点：正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用．
核心素养：1.通过正弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过正弦定理的应用培养数学运算素养.
1．深入理解正弦定理
(1)适用范围：正弦定理对任意三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
若A反之，若a(4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化．
2．正弦定理的变形
设三角形的三边长为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形：
(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
(4)＝＝＝.
3．三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
(1)利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理＝，得sinB＝.若sinB>1，无解；若sinB＝1，一解；若sinB<1，一解或两解．
(2)利用余弦定理讨论：已知a，b，A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
4．三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝，cosA＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(　　)
(2)在△ABC中必有asinA＝bsinB.(　　)
(3)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．做一做
(1)已知△ABC外接圆的半径是2，∠A＝60°，则BC边长为____.
(2)在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，则C＝____.
(3)在△ABC中，若＝，则B＝____.
(4)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则＝____.
答案　(1)2　(2)75°　(3)45°　(4)
题型一 已知两角及一边解三角形
例1　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.
[解]　∵A＝30°，C＝45°，
∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
又由正弦定理，得c＝＝10，
b＝＝＝20sin(60°＋45°)
＝5(＋)，
∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10.
已知两角及一边解三角形的基本思路
(1)当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．
(2)当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．
[跟踪训练1]　(1)若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为____.
(2)已知三角形的两角分别是45°和60°，它们所夹边的长为1，则最小边的长为____.
答案　(1)2　(2)－1
解析　(1)在△ABC中，由＝，
得b＝＝＝＝2.
(2)设△ABC的三个内角中，A＝45°，B＝60°，则C＝75°.∵C>B>A，∴最小边为a.∵c＝1，∴由正弦定理，得a＝＝＝＝－1，即最小边的长为－1.
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
例2　根据下列条件解三角形：
(1)b＝，B＝60°，c＝1；
(2)c＝，A＝45°，a＝2.
[解]　(1)∵＝，
∴sinC＝＝＝.
∵b>c，B＝60°，∴C<60°，∴C＝30°，A＝90°，
∴a＝＝2.
(2)∵＝，∴sinC＝＝＝，
∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1.
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
已知两边及一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)．
(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．
[跟踪训练2]　根据下列条件解三角形：
(1)a＝2，C＝60°，c＝；
(2)b＝，B＝30°，c＝2.
解　(1)因为＝，所以sinA＝＝.
因为c＞a，所以C＞A，所以A为锐角，所以A＝45°.
所以B＝75°，b＝＝＝＋1.
(2)由正弦定理，得sinC＝＝＝，
因为c＞b,0°＜C＜180°，所以C＝45°或135°.
当C＝45°时，A＝105°，a＝＝＝＋1，
当C＝135°时，A＝15°，a＝＝＝－1.
所以a＝＋1，C＝45°，A＝105°或a＝－1，C＝135°，A＝15°.
题型三 三角形解的个数的判断
例3　已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
[解]　(1)a＝10，b＝20，a讨论如下：∵bsinA＝20sin80°>20sin60°＝10，
∴a(2)a＝2，b＝6，a∵bsinA＝6sin30°＝3，∴bsinA由正弦定理，得sinB＝＝＝，
又B∈(0，π)，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝＝＝2.
∴B＝60°时，C＝90°，c＝4；B＝120°时，C＝30°，c＝2.
从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a，b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：
图形 关系式 解的个数
A为锐角
①a＝bsinA；
②a≥b 一解

bsinA
aA为钝 角或直角
a>b 一解

a≤b 无解
[跟踪训练3]　(1)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A．{x|x>2} B．{x|x<2}
C．{x|2(2)已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答．
①b＝4，c＝8，B＝30°；
②b＝4，c＝2，C＝30°.
答案　(1)C　(2)见解析
解析　(1)解法一：要使三角形有两解，则a>b且sinA<1.
由正弦定理，得sinA＝＝x.
∴∴2解法二：要使三角形有两解，
则即
∴2(2)①∵b＝4，c＝8，b又csinB＝8sin30°＝4＝b，即c>b＝csinB，∴本题有一解．
由正弦定理，得sinC＝＝＝1.
又c>b，C>B，∴30°∴A＝180°－(B＋C)＝60°.∴a＝＝4.
②解法一：由正弦定理和已知条件，得＝，
∴sinB＝.∵>1，∴此三角形无解．
解法二：∵c＝2，bsinC＝2，∴c解法三：在角C的一边上确定顶点A，使AC＝b＝4，作∠ACD＝30°，以顶点A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆，如图所示，该圆与CD没有交点，说明该三角形解的个数为0.
题型四 判断三角形的形状
例4　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
[解]　解法一：∵A，B，C为三角形的内角，
∴A＝π－(B＋C)．
∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.
∵sinA＝2sinBcosC，
∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.
∵－π∴A＝π－2B.∴sin2A＝sin22B.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C＝2sin2B，
∴sin22B＝2sin2B.∴2sinBcosB＝sinB.
∵sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∴C＝，A＝.
∴△ABC为等腰直角三角形．
解法二：由正弦定理，得＝＝.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2.
∴A＝，B＋C＝.
∵sinA＝2sinBcosC，即sinA＝2sinBcos，
∴1＝2sin2B，∵B∈(0，π)，∴sinB＝，∴B＝，
∴△ABC为等腰直角三角形．
判断三角形形状的方法
(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
(3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
[跟踪训练4]　在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案　D
解析　将a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆的半径)代入已知条件，得sin2AtanB＝sin2BtanA，则＝.∵sinAsinB≠0，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
题型五 正弦、余弦定理的综合运用
例5　(1) 如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.
①求C；
②若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解]　(1)在△ADC中，由余弦定理的推论，得cos∠ADC＝＝＝－，
因为∠ADC∈(0°，180°)，所以∠ADC＝120°，
所以∠ADB＝180°－120°＝60°.
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝＝＝5.
(2)①2cosC(acosB＋bcosA)＝c，
由正弦定理，得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
2cosCsin(A＋B)＝sinC.
因为A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，
所以sin(A＋B)＝sinC>0，所以2cosC＝1，cosC＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
②由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC,7＝a2＋b2－2ab·，
即(a＋b)2－3ab＝7，S＝absinC＝ab＝，
所以ab＝6，所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
1．用正弦定理进行边角互化的方法
2．三角形面积计算的解题思路
对于此类问题，一般用公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
[跟踪训练5]　(1)设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c，且cosB＝，b＝2.
①当A＝30°时，求a的值；
②当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.
①求A；
②若a＋b＝2c，求sinC.
解　(1)①因为cosB＝，所以sinB＝，
又因为A＝30°，所以由正弦定理可知a＝＝＝.
②因为S△ABC＝acsinB，所以ac＝3，ac＝，
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB，
所以4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－9，
即a2＋c2＝13，则(a＋c)2－2ac＝13，
(a＋c)2＝28，故a＋c＝2.
(2)①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cosA＝＝.
因为0°②由①知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，
即＋cosC＋sinC＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－.
因为0°故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)·sin60°＝.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2asinB，则角A等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
答案　A
解析　∵b＝2asinB，∴利用正弦定理的变式得sinB＝2sinAsinB.∵sinB≠0，∴sinA＝，A为锐角，∴A＝30°.
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)
A．4 B．4
C．4 D．
答案　C
解析　A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定理得b＝＝＝4.
3．(多选)在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则角B的度数可能为(　　)
A．15° B．45°
C．105° D．135°
答案　AC
解析　根据正弦定理＝，得sinC＝＝＝.∴C＝45°或135°.当C＝45°时，B＝105°；当C＝135°时，B＝15°.故选AC.
4．在△ABC中，若sinA>sinB，则角A与角B的大小关系为____.
答案　A＞B
解析　由sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.
5．在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，且A＝60°，a＝，b＝4，那么满足条件的△ABC有几个？
解　由正弦定理＝，得＝.∴sinB＝＝>1，∴无解．∴没有满足上述条件的三角形．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝(　　)
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C.∶1∶1 D．∶1∶1
答案　D
解析　∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝∶∶＝∶1∶1.故选D.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2，A＝60°，则tanB等于(　　)
A．1 B．
C. D．
答案　B
解析　由正弦定理，得sinB＝＝×＝，根据题意，得b3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30° B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝6，b＝9，A＝45° D．a＝30，b＝40，A＝30°
答案　D
解析　在A中，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解；在B中，a＝30，b＝25，故a>b，又A＝150°，故△ABC只有一解；在C中，bsinA＝9sin45°＝>6＝a，故△ABC无解；在D中，bsinA＝40sin30°＝20，因bsinA4．(多选)在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是(　　)
A．2 B．
C．3 D．4
答案　AB
解析　在△ABC中，因为B＝30°，AB＝2，AC＝2，所以由＝，得sinC＝＝，又因为AB·sin30°5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　)
A．120° B．105°
C．90° D．75°
答案　A
解析　∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，即sinC＝－cosC.∴tanC＝－.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
二、填空题
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝____.
答案　
解析　∵cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝.
∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
又sinC＝sin(π－C)＝sin(A＋B)，∴sinC＝，
由正弦定理，得＝，∴c＝＝.
7．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝____.
答案　30°
解析　∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，
化简，得sinA＝cosA，∴tanA＝，∴A＝30°.
8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且＝，则角B的大小为____.
答案　60°
解析　∵＝，根据正弦定理，得
＝＝.
化简，得2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．
在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝.
∵0°三、解答题
9．(1)在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形；
(2)在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，解三角形．
解　(1)因为＝＝，
所以b＝＝＝＝4.
因为C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
所以c＝＝＝＝2＋2.
(2)由正弦定理，得＝，得sinB＝＝.
因为b＞c，所以B＞C＝30°，所以B＝60°或120°.
当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12.
当B＝120°时，A＝30°，a＝＝＝6.
所以a＝6，A＝30°，B＝120°或a＝12，A＝90°，B＝60°.
1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.求A.
解　由正弦定理及acosC＋asinC－b－c＝0，
得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.
又sinB＝sin(A＋C)，于是sinAcosC＋sinAsinC－(sinAcosC＋cosAsinC)－sinC＝0，
得sinC(sinA－cosA－1)＝0，
因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，
即sinA－cosA＝1，即sin＝，
所以A－＝，即A＝.
2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，＋＝.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求边b，c.
解　(1)由＋＝及正弦定理得＋＝，
整理，得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosA，
即sin(A＋B)＝2sinCcosA.
因为sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，
且sinC≠0，所以cosA＝.
又0(2)因为△ABC的面积S＝bcsinA＝bcsin＝，
所以bc＝4.①
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，
即22＝b2＋c2－2bccos，所以b2＋c2＝8，②
联立①②，解得b＝c＝2.