6.4.2向量在物理中的应用举例讲义 2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 第六章平面向量及其应用

6.4.2　向量在物理中的应用举例
(教师独具内容)
课程标准：会用向量方法解决简单的力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决实际问题中的作用．
教学重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题．
教学难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题．
核心素养：通过用向量方法解决与物理相关的实际问题培养数学建模素养.
知识点　向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)力是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．(　　)
(2)动量mv的计算是向量的数乘运算．(　　)
(3)物理上力做功的实质是力F与位移s的数量积．(　　)
2．做一做
(1)若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(0,5) B．(4，－1)
C．2 D．5
(2)力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是____.
(3)已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为____.
题型一 向量在力学中的应用
例1　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
[跟踪训练1]　已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
题型二 向量在运动学中的应用
例2　在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
[跟踪训练2]　
已知船速为5 m/s，且船速大于水速，河宽为20 m．如图所示，船从O点垂直到达B点所用的时间为5 s，求水流的速度．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则(　　)
A．|v1|<|v2| B．|v1|>|v2|
C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2|
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
3．某人在静水中游泳时，速度为4 km/h.如果水流的速度为4 km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为(　　)
A．90° B．30°
C．45° D．60°
4．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是____ m/s.
5.如图所示，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(忽略绳子的质量)．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人骑自行车逆风行驶的速度为(　　)
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
2．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a km，则(　　)
A．s>|a| B．s<|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小
3．若物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体所做的功W为(　　)
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
4．如图，在重600 N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(　　)
A．300 N,300 N B．150 N,150 N
C．300 N,300 N D．300 N,300 N
5.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．绳子的拉力不断增大
B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小
D．船的浮力保持不变
二、填空题
6．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是____m，方向是东偏北____.
7．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为____.
8．如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m．则此人对物体所做的功为____.
三、解答题
9.如图，有两条相交成60°的公路xx′，yy′，其交点为O，甲、乙两辆汽车分别在xx′，yy′上行驶，起初甲在离O点30 km的A处，乙在离O点10 km的B处，后来两车均用60 km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．
(1)起初两车的距离是多少？
(2)t h后两车的距离是多少？
(3)何时两车的距离最短？
1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　)
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
2．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10 mile处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东75°，以9 mile/h的速度向前航行，货船以21 mile/h的航速前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，则货船航行的距离为____mile.
3．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
6.4.2　向量在物理中的应用举例
(教师独具内容)
课程标准：会用向量方法解决简单的力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决实际问题中的作用．
教学重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题．
教学难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题．
核心素养：通过用向量方法解决与物理相关的实际问题培养数学建模素养.
知识点　向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)力是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．(　　)
(2)动量mv的计算是向量的数乘运算．(　　)
(3)物理上力做功的实质是力F与位移s的数量积．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．做一做
(1)若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(0,5) B．(4，－1)
C．2 D．5
(2)力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是____.
(3)已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为____.
答案　(1)D　(2)－11　(3)(－5,1)
题型一 向量在力学中的应用
例1　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
[解]　如图建立坐标系，则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)，则F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4)．又位移s＝(4，4)，故合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)，所以合力F所做的功为24 J.
(1)力、速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加法、减法运算．因此，用向量解决力、速度、位移等问题，常用到向量的加法、减法、数乘运算．
(2)力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)．
(3)动量mv(m是物体的质量，v是物体运动的速度)实际上是向量的数乘运算．
[跟踪训练1]　已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102 J.
题型二 向量在运动学中的应用
例2　在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
[解]　设w＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－w.如右图所示．∴vb，va，w构成三角形．
设||＝|va|，||＝|w|，||＝|vb|，
作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.设||＝150，则||＝75(－)．
∴||＝||＝||＝75，||＝75.
从而||＝150，∠CAD＝30°.
∴|vb|＝150 km/h，方向为北偏西60°.
向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题，同时正确作图是前提．
[跟踪训练2]　
已知船速为5 m/s，且船速大于水速，河宽为20 m．如图所示，船从O点垂直到达B点所用的时间为5 s，求水流的速度．
解　设船速为v1，水速为v2，船的实际速度为v3.建立如图所示的坐标系，
则|v1|＝5 m/s，|v3|＝ m/s＝4 m/s.
由v3＝v1＋v2，
得v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．
所以|v2|＝3 m/s.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则(　　)
A．|v1|<|v2| B．|v1|>|v2|
C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2|
答案　B
解析　速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|>|v2|.
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
答案　D
解析　F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．
3．某人在静水中游泳时，速度为4 km/h.如果水流的速度为4 km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为(　　)
A．90° B．30°
C．45° D．60°
答案　D
解析　如图，用表示水速，表示某人径直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.于是tan∠AOC＝＝＝＝.所以∠AOC＝60°.故选D.
4．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是____ m/s.
答案　5
解析　设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图，|v2|＝|v0|·cos60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.
5.如图所示，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(忽略绳子的质量)．
解　由题意，知四边形CEWF是矩形，则有＋＝，⊥，||＝10，∠FCW＝60°.
∴·＝0.
∴||2＝(＋)2＝||2＋2·＋||2.
∴||2＋||2＝100.又·＝0，〈，〉＝60°，
∴·＝·(＋)＝2＋·＝2.
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴||＝||＝5，则||＝5，
即A和B处所受力分别是5 N和5 N.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人骑自行车逆风行驶的速度为(　　)
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
答案　B
解析　对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，人骑自行车逆风行驶的速度为v1＋v2，因此选B.
2．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a km，则(　　)
A．s>|a| B．s<|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小
答案　A
解析　物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.
3．若物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体所做的功W为(　　)
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
答案　D
解析　W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)·(2lg 5,1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2，故选D.
4．如图，在重600 N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(　　)
A．300 N,300 N B．150 N,150 N
C．300 N,300 N D．300 N,300 N
答案　C
解析　作?OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在?OACB中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，||＝||·cos30°＝300 N，||＝||·sin30°＝300 N，||＝||＝300 N.
5.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．绳子的拉力不断增大
B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小
D．船的浮力保持不变
答案　AC
解析　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ.则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．
二、填空题
6．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是____m，方向是东偏北____.
答案　60　60°
解析　如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，则||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°.
7．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为____.
答案　10 N
解析　如图，由题意得，∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
8．如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m．则此人对物体所做的功为____.
答案　30 J
解析　因为绳索长1.5 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m，斜面坡度为30°，所以作用力F与斜面之间所成的角度θ满足sinθ＝＝，所以cosθ＝＝，记沿斜面向上方向的单位向量为e，则位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×＝30(J)，所以此人对物体所做的功为30 J.
三、解答题
9.如图，有两条相交成60°的公路xx′，yy′，其交点为O，甲、乙两辆汽车分别在xx′，yy′上行驶，起初甲在离O点30 km的A处，乙在离O点10 km的B处，后来两车均用60 km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．
(1)起初两车的距离是多少？
(2)t h后两车的距离是多少？
(3)何时两车的距离最短？
解　(1)由题意知，||2＝(－)2＝||2＋||2－2||||cos60°＝700，即||＝10.
故起初两车的距离是10 km.
(2)设甲、乙两车t h后的位置分别为P，Q，
则||＝60t，||＝60t.
当0≤t≤时，||2＝(－)2＝(30－60t)2＋(10＋60t)2－2(30－60t)(10＋60t)cos60°；
当t>时，||2＝(60t－30)2＋(10＋60t)2－2(60t－30)(10＋60t)cos120°.
上面两式可统一为||2＝10800t2－3600t＋700，
即||＝10.
故t h后两车的距离是10 km.
(3)∵108t2－36t＋7＝1082＋4，
∴当t＝，即在第10分钟末时，两车的距离最短，且最短距离为20 km.
1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　)
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
答案　D
解析　由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2 N.
2．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10 mile处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东75°，以9 mile/h的速度向前航行，货船以21 mile/h的航速前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，则货船航行的距离为____mile.
答案　14
解析　如图，设渔船在A处遇险，货船在B处发现渔船遇险，两船在C处相遇，所经时间为t(h)．
由已知，∠BAC＝45°＋75°＝120°，
||＝10，||＝9t，||＝21t.
∵＝－，∴2＝(－)2，
即2＝2－2·＋2，
∴(21t)2＝(9t)2－2×9t×10×cos120°＋100，
化简得36t2－9t－10＝0，即(3t－2)(12t＋5)＝0.
∵t>0，∴t＝.∴||＝×21＝14，
故货船航行的距离为14 mile.
3．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
解　设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到风速为v－a，
设＝－a，＝－2a，＝v，
因为＋＝，
所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为＋＝，所以＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意，得∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，
从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝ PB＝a，
即|v|＝a.
所以实际风速是每小时a千米，方向为西北．