6.4.1平面几何中的向量方法讲义2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 第六章平面向量及其应用

6.4.1　平面几何中的向量方法
(教师独具内容)
课程标准：会用向量方法解决简单的平面几何问题，体会向量在解决数学问题中的作用．
教学重点：用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法和步骤．
教学难点：选择恰当的方法，将几何问题转化为向量问题．
核心素养：通过用向量方法解决平面几何问题培养逻辑推理和数学运算素养.
向量在几何中的应用
(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)
(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)
(3)在△ABC中，∠B的大小等于向量与的夹角的大小．(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．做一做
(1)在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
(2)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为____.
题型一 向量在平面几何证明问题中的应用
例1　在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
[跟踪训练1]　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上．
题型二 向量在平面几何计算问题中的应用
例2　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．
[跟踪训练2]　
如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知|a|＝2，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为(　　)
A．10 B．
C．2 D．22
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
3．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)(x≠0)，若⊥，则满足条件的x，y的关系式是____.
4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是____.
5.如图，在?OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　)
A.＝ B．与共线
C.＝ D．与共线
2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·＝(　　)
A．1 B．
C．－1 D．－
3．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＝＋，则的值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
4．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
5．(多选)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则可能有(　　)
A．b＝0 B．a3b＝0
C．a3＝b D．a3＋－b＝0
二、填空题
6．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝____.
7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝____.
8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是____.
三、解答题
9.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
1．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
2．已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
6.4.1　平面几何中的向量方法
(教师独具内容)
课程标准：会用向量方法解决简单的平面几何问题，体会向量在解决数学问题中的作用．
教学重点：用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法和步骤．
教学难点：选择恰当的方法，将几何问题转化为向量问题．
核心素养：通过用向量方法解决平面几何问题培养逻辑推理和数学运算素养.
向量在几何中的应用
(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)
(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)
(3)在△ABC中，∠B的大小等于向量与的夹角的大小．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．做一做
(1)在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
(2)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为____.
答案　(1)C　(2)1∶2
题型一 向量在平面几何证明问题中的应用
例1　在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
[证明]　证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，
AB∥CD，CD＝DA＝AB，
故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2.
∴＝＋＝e1＋e2，
＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.
而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)
＝e－e＝|e1|2－|e2|2＝0，
∴⊥，即AC⊥BC.
证法二：如图，建立平面直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴＝(－1,1)，＝(1,1)．
∴·＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC.
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．
[跟踪训练1]　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上．
证明　设＝m，＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n，＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n.
所以＝.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
题型二 向量在平面几何计算问题中的应用
例2　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．
[解]　(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D.
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，
∴E，＝，
设F(x,0)，则＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，设＝λ，
即(x，－m)＝λ.
则故λ＝，x＝，∴F，
∴||＝，即AF＝.
用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝.
[跟踪训练2]　
如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝
＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝.
∴||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝，即AC＝.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知|a|＝2，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为(　　)
A．10 B．
C．2 D．22
答案　C
解析　以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为a＋b与a－b.|a＋b|＝＝
＝ ＝＝2，
|a－b|＝＝
＝ ＝2.所以以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线长度为2或2.故选C.
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
答案　A
解析　由题意得＝(3,3)，＝(2,2)，∴∥，||≠||.故选A.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)(x≠0)，若⊥，则满足条件的x，y的关系式是____.
答案　y2＝8x(x≠0)
解析　∵＝＝，＝＝，∴·＝2x－＝0，∴y2＝8x(x≠0)．
4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是____.
答案　[1,4]
解析　解法一：设＝＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ＝λ，＝(1－λ)＝(1－λ)，则·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·[＋(1－λ)]＝·＋(1－λ)2＋λ2＋λ(1－λ)··.∵·＝0，
∴·＝4－3λ.∵0≤λ≤1，∴1≤·≤4，即·的取值范围是[1,4]．
解法二：如图所示，以点A为坐标原点，以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．∵AB＝2，AD＝1，∴A(0,0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2,1)．设＝＝t∈[0,1]，则||＝t，||＝2t.则M(2，t)，N(2－2t,1)，故·＝4－4t＋t＝4－3t，又t∈[0,1]，∴(·)max＝4－3×0＝4，(·)min＝4－3×1＝1.故·的取值范围是[1,4]．
5.如图，在?OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA.
证明　∵O，E，D三点共线，∴向量与向量共线．
则存在实数λ1，使得＝λ1.
而＝＋＝＋，
则＝λ1＋.
又A，E，B三点共线，
∴与共线，则存在实数λ2，使得＝λ2＝λ2(－)．
∴＝λ2－λ2.
而＝＋＝(1－λ2)＋λ2，
∴(1－λ2)＋λ2＝λ1＋.
∵与不共线，∴∴λ2＝.
∴＝，即BE＝BA.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　)
A.＝ B．与共线
C.＝ D．与共线
答案　D
解析　∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，即与共线．
2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·＝(　　)
A．1 B．
C．－1 D．－
答案　A
解析　由题意知，O为BC的中点，且∠ABC＝60°，||＝2，||＝1，∴·＝1×2×＝1.
3．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＝＋，则的值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
答案　A
解析　∵＝＋，∴PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线．∵D为边BC的中点，∴D为PA的中点，∴＝1.
4．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
答案　D
解析　∵·＝0，∴∠A的平分线所在的向量与垂直，所以△ABC为等腰三角形．又·＝，∴cosA＝，∴∠A＝.故△ABC为等边三角形．
5．(多选)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则可能有(　　)
A．b＝0 B．a3b＝0
C．a3＝b D．a3＋－b＝0
答案　CD
解析　由题意，知＝(0，b)，＝(a，a3)，＝(a，a3－b)．因为△OAB为直角三角形，所以①若⊥，则·＝0，即a3b＝0，当b＝0时，点O与点A重合；当a＝0时，点O与点B重合，故a3b≠0，即OA与OB不垂直．
②若⊥，则·＝0，即b(a3－b)＝0，又b≠0，故a3＝b.
③若⊥，则·＝0，即a2＋a3(a3－b)＝0，又a≠0，故a3＋－b＝0.故当△OAB为直角三角形时，有a3＝b或a3＋－b＝0.故选CD.
二、填空题
6．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝____.
答案　2
解析　根据题意可得·＝·＝－||2＋·－·＋·＝－×()2＋××1×cos135°－××2×cos135°＋2×1×cos0°＝－－＋1＋2＝2.
7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝____.
答案　10
解析　将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则＝＝
＝＝－6＝42－6＝10.
8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是____.
答案　
解析　以α，β为邻边的平行四边形的面积为
S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，
所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，
即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈.
三、解答题
9.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解　(1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3.故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
∵cosθ＝＝＝
＝＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
1．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0<λ<)，则A(0,1)，P，E，F，
∴＝，＝，
∴||＝＝，
||＝＝，
∴||＝||，∴PA＝EF.
2．已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
证明　建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，
则E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)．
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y－1)，＝(2,1)，
∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
∴点P的坐标为.
∴||＝ ＝2＝||，即AP＝AB.