6.3平面向量基本定理及坐标表示专题练习－2020-2021学年下学期（人教A版2019必修第一册）高一数学第六章Word含答案解析

2020-2021学年第二学期人教版高一数学第六章6.3平面向量基本定理及坐标表示专题练习
一、单选题
1．在三角形中，点，在边上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，则与向量共线的单位向量为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．已知，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，，，若，则实数t的值为（ ）
A． B． C．4 D．
5．向量在向量上的射影为（ ）
A． B． C． D．
6．己知如图，在平行四边形中，，，，，分别是线段与的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE= CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ）
A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D．λ+μ=的的点P有且只有一个
8．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
10．已知为原点，若点、的坐标分别为、，，当点在线段AB上，且，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
12．已知向量，，若，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
13．下列说法中错误的为（ ）
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影为
D．非零向量和满足，则与的夹角为60°
14．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（ ）
A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个
B．满足的格点共有3个
C．存在格点，，使得
D．满足的格点共有4个
三、填空题
17．如图，在矩形中，分别为和上的中点，若，其中则的值为_______．
18．已知向量，若，则___________.
19．已知向量，且，则__________．
20．已知，点是平面上任意一点，且（），给出以下命题：
①若，，则为的内心；
②若，则直线经过的重心；
③若，且，则点在线段上；
④若，则点在外；
⑤若，则点在内．
其中真命题为______
21．已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.
四、解答题
22．已知平面向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，与共线，求实数m的值.
23．已知，，．
（1）若四边形是矩形，试确定点的坐标；
（2）已知为坐标原点，在（1）的情况下，求．
24．在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）若四边形为平行四边形，求与夹角的余弦值；
（2）若、分别是线段、的中点，点在线段上运动，求的最大值．
25．设向量，，，.
（1）若，求的值；
（2）设，求的最大值和最小值以及对应的x的值.
26．已知，，
（1）若，求的值；
（2）设，求函数在上的单调减区间；
27．已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．
（1）若∥，，求x的值；
（2）若f（x）?，，求f（x）的最大值及相应x的值．
参考答案
1．C
，
故选：C.
2．B
因为，，
所以向量，
所以与向量共线的单位向量为或.
3．D
因为，，，
所以，，
设，，所以，
由可得，解得，所以，
由可得，解得，所以，
所以，
4．A
因为向量，，，
所以，
又因为，
所以，
解得，
5．C
向量在向量上的射影为
.
6．B
，
，
，
7．C
如图建系，取，∵，

∴，
动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
综上，，
选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；
选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故B错误；
选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确；
选项D，当点取的中点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故D错误；
8．D
,
即，得.
9．D
解：、是平面内所有向量的一组基底，
与，不共线，可以作为基底，
与，不共线，可以作为基底，
与不共线，可以作为基底，
与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底，
10．C
设
、的坐标分别为、，
则
，，
，即
，，
即所求的最大值为
11．BC
由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.
对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.
对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.
12．AC
因为向量，，所以，
若，则，即，解得或，
故A正确，B错；
当时，；
当时，；
故C正确，D错.
13．ACD
对于A，∵，，与的夹角为锐角，
∴
，
且(时与的夹角为0)，
所以且，故A错误；
对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；
对于C，若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，
则，
，
故，
而向量的夹角范围为，
得与的夹角为30°，故D项错误.
故错误的选项为ACD
14．ABD
，正确；
，正确；
，错误；
，正确.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
15．BC
对于A选项：，故A错；
对于 B选项：因为D为BC的中点，，故B正确；
对于C选项：，故正确；
对于D选项：，而，故D不正确.
16．BCD
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，，
设，若，
所以，，，且，，
得，，共三个，故正确．
当，时，使得，故正确．
若，则，，，且，，
得，，，共4个，故正确．
故选：．
17．
由题意，，
因为,,
所以两式相加得，,
所以，
得，所以，
18．26
因为，所以，解得，所以.
故答案为：26
19．1
因为，
所以.
故答案为：1.
20．②④
①若，，则，因为是和同向的单位向量，则在的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；
②若，则，则根据平行四边形法则可得，在BC边中线的延长线上，故直线经过的重心，故②正确；
③若，且，则，即，即，则点在线段上或的延长线上，故③错误；
④若，，整理可得，，根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外，故④正确；
⑤若，则令，则，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外，故⑤错误.
21．
设点的坐标是，即，
因为向量，，
所以，
，
，
当时，有最小值，此时点的坐标是，
故答案为：.
22．（1）；（2）4.
(1)，
所以；
(2)，
因为与共线，所以，解得m＝4.
23．（1）；（2）.
（1）设，因为四边形是矩形，
所以，
，,
所以，解得 ，
所以点的坐标，
（2）因为，，，，
所以，
所以.
24．（1）；（2）.
（1）设点，因为、，所以．
因为四边形为平行四边形，所以．
所以，，即点，，，
所以，
所以与夹角的余弦值为；
（2）因为、分别是线段、的中点，且、、，
所以、，所以，，，
因为点在线段上运动，令，，则，
所以，，
所以，
令，其中，
当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，取得最大值，即的最大值为.
25．（1）；（2）时，最小值为；时，最大值为.
（1）因为向量，，且，
所以，即.
若，则，与矛盾，
故.
于是.又，
所以，，
所以，，
则，
所以.
（2）因为，，
所以，
所以，
又，
所以，
所以当，即时，取到最小值；
∵.
∴当，即时，取到最大值.
26．（1）3；（2）.
（1），，
（2），
由递减得：，
即，，，，
在上的单调减区间是.
27．（1）或（2）的最大值为，此时
解：（1）∵，，
，
∴，
∴，
∴cosx＝0或，
即cosx＝0或tanx，
∵，
∴或；
（2）



∵，
∴，
∴，
∴，
故f（x）的最大值为，此时．