课时素养评价
十七 频率与概率
(20分钟·35分)
1.下列说法:
①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;
②做n次随机试验,事件A发生m次,则就是事件A的概率;
③频率是不能脱离试验次数的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;
④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
其中,正确的是
( )
A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.②③④
【解析】选B.②错误,是频率不是概率.
2.从6名男生,2名女生中任选3人,则下列事件中,不可能事件是
( )
A.3人都是男生
B.至少有1名男生
C.3人都是女生
D.至少有1名女生
【解析】选C.由于女生只有2人,而现在选择3人,故至少要有1名男生,不可能3人都是女生.
3.在一次抛硬币的试验中,同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了45次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为
( )
A.0.45 0.45
B.0.5 0.5
C.0.5 0.45
D.0.45 0.5
【解析】选D.出现正面朝上的频率是45÷100=0.45,出现正面朝上的概率是0.5.
4.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,则可能共进行了________次试验.?
【解析】可能共进行了=500次试验.
答案:500
5.从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个.
①三个正品;
②两个正品,一个次品;
③一个正品,两个次品;
④三个次品;
⑤至少一个次品;
⑥至少一个正品.
其中必然事件是________,不可能事件是________,随机事件是________.?
【解析】从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是:“三个全是正品”,“两个正品一个次品”,“一个正品两个次品”.
答案:⑥ ④ ①②③⑤
6.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1
000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组
[500,900)
[900,1
100)
[1
100,1
300)
[1
300,1
500)
[1
500,1
700)
[1
700,1
900)
[1
900,+∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率.
【解析】(1)频率依次是:
0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1
500小时的频数是48+121+208+223=600,
所以样本中灯管使用寿命不足1
500小时的频率是=0.6,
所以灯管使用寿命不足1
500小时的概率约为0.6.
(30分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,若用C表示“抽到次品”这一事件,则对C的说法正确的是
( )
A.概率为
B.频率为
C.概率接近
D.每抽10台电视机,必有1台次品
【解析】选B.事件C发生的频率为,由于只做了一次试验,故不能得出概率接近的结论.
2.从12件同类产品中(其中10件正品,2件次品),任意抽取6件产品,下列说法中正确的是
( )
A.抽出的6件产品必有5件正品,1件次品
B.抽出的6件产品中可能有5件正品,1件次品
C.抽取6件产品时,逐个不放回地抽取,前5件是正品,第6件必是次品
D.抽取6件产品时,不可能抽得5件正品,1件次品
【解析】选B.从12件产品中抽到正品的概率为=,抽到次品的概率为=,所以抽出的6件产品中可能有5件正品,1件次品.
3.根据某市疾控中心的健康监测,该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到一中学给近视学生配送滴眼液,每人一瓶,该校学生总数为600人,则眼镜商应带滴眼液的数目为
( )
A.600
B.787
C.不少于473
D.不多于473
【解析】选C.由概率的意义,该校近视学生的人数约为78.7%×600=472.2,结合实际情况,应带滴眼液不少于473瓶.
4.一袋中有红球5个、黑球4个,现从中任取5个球,至少有1个红球的概率为
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选D.因为这是一个必然事件,所以其概率为1.
5.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:
组别
(0,10]
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在(10,40]上的频率为
( )
A.0.13
B.0.39
C.0.52
D.0.64
【解析】选C.(10,40]包含(10,20],(20,30],(30,40]三部分,所以数据在(10,40]的频数nA=13+24+15=52,由fn(A)=可得频率为0.52.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.下列说法:
①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;
②甲乙两人做游戏:抛一枚骰子,向上的点数是奇数,甲胜,向上的点数是偶数,乙胜,这种游戏是公平的;
③乒乓球比赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;
④昨天没有下雨,则说明昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的.
其中正确的有________(填序号).?
【解析】对于①,一年按365天计算,两个同学生日可能相同在365天里的任意一天,因此①正确;对于②,甲胜、乙胜的概率都是,是公平的;对于③,用抽签方法抽到每个签的概率均为,所以公平,故③正确;对于④,降水概率为90%只说明下雨的可能性很大,但也可能不下雨,故④错误.
答案:①②③
7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了40
000部汽车,时间从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有1
200部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________.?
【解析】挡风玻璃破碎的频率为=0.03,可作为其概率的近似值.
答案:0.03
8.样本容量为200的样本频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为________,数据落在[2,10)内的概率约为________.?
【解析】由于在[6,10)内,=0.08,所以频率=0.08×组距=0.32,而频数=频率×样本容量,所以频数=0.32×200=64.同样,在[2,6)内的频数为(0.02×4)×
200=16,所以在[2,10)范围内的频数为64+16=80,概率为80÷200=0.4.
答案:64 0.4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在一次试验中,一种血清被注射到500只豚鼠体内,最初,这些豚鼠中150只有圆形细胞,250只有椭圆形细胞,100只有不规则形状细胞,被注射这种血清之后,没有一个有圆形细胞的豚鼠被感染,50个有椭圆形细胞的豚鼠被感染,有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染.根据试验结果,分别估计(1)圆形细胞;(2)椭圆形细胞;(3)不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率.
【解析】(1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A,由题意知,A为不可能事件,所以P(A)=0.
(2)记“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B,
由题意知P(B)===0.2.
(3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C,由题意知事件C为必然事件,所以P(C)=1.
10.为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量.
【解析】(1)由分层抽样的知识知,乙厂生产的产品数量为5÷=35(件).
(2)样品中优等品有编号为2和5的2件产品,所以优等品的频率为,从而估计乙厂生产的优等品的数量为35×=14(件).
1.某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天黑,均未看清该车的车牌号码及颜色,而该市有两家出租车公司,其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,3
000辆帕萨特出租车;乙公司有3
000辆桑塔纳出租车,100辆帕萨特出租车,交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理?
( )
A.甲公司
B.乙公司
C.甲、乙公司均可
D.以上都对
【解析】选B.由题意得肇事车是甲公司的概率为,是乙公司的概率为,认定肇事车为乙公司的车辆较为合理.
2.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果.
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y=估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.
【解析】(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知,当且仅当其质量指标值t≥94时,用B配方生产的一件产品的利润大于0,由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为0.96.所以,用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的产品平均一件的利润为[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元).
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十八 生活中的概率
(20分钟·35分)
1.在某市的天气预报中有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为90%”,这是指
( )
A.明天该地区约有90%的地方会降水,其余地方不降水
B.明天该地区约有90%的时间会降水,其余时间不降水
C.在气象台的专家中,有90%认为明天会降水,其余专家认为不降水
D.明天该地区降水的可能性为90%
【解析】选D.明天降水的概率为90%指的是明天该地区降水的可能性为90%.
2.同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板,落地时这100枚铜板全都正面向上,则这100枚铜板更可能是下面哪种情况
( )
A.这100枚铜板两面是一样的
B.这100枚铜板两面是不一样的
C.这100枚铜板中有50枚两面是一样的,另外50枚两面是不一样的
D.这100枚铜板中有20枚两面是一样的,另外80枚两面是不一样的
【解析】选A.一枚质量均匀的铜板,抛掷一次正面向上的概率为0.5,从题意中知抛掷100枚结果正面都向上,因此这100枚铜板两面是一样的可能性最大.
3.玲玲和倩倩是一对好朋友,她俩都想去观看某歌星的演唱会,可手里只有一张票,怎么办呢?玲玲对倩倩说:“我向空中抛两枚同样的一元硬币,如果落地后一正一反,我就去,如果落地后两面一样,你就去!”这个办法________(选填“公平”或“不公平”).?
【解析】抛掷两枚同样的硬币落地的结果共4种:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).由此可见,她们两人得到门票的概率都是,所以公平.
答案:公平
4.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同),从中任取一球,取了10次有9个白球,估计袋中数量最多的是________.?
【解析】取了10次有9个白球,则取出白球的频率是0.9,估计从该袋中任取一球,是白球的概率约是0.9,是黑球的概率约是0.1,因为取出白球的概率大于取出黑球的概率,所以估计袋中数量最多的是白球.
答案:白球
5.给出下列三个结论:
①小王任意买1张电影票,座号是3的倍数的可能性比座号是5的倍数的可能性大;
②高一(1)班有女生22人,男生23人,从中任找1人,则找出女生的可能性大于找出男生的可能性;
③掷1枚质地均匀的硬币,正面朝上的可能性与反面朝上的可能性相同.
其中正确结论的序号为________.?
【解析】根据概率的意义可知①③正确.
答案:①③
6.(2019·北京高考)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1
000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付金额支付方式
不大于2
000元
大于2
000元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数.
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2
000元的概率.
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2
000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2
000元的人数有变化?说明理由.
【解析】(1)由已知,样本中,仅使用A的有27+3=30(人),仅使用B的有24+1=25(人),都不使用的有5人,所以都使用的有100-30-25-5=40(人),
所以估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为1
000×
=400(人).
(2)样本中仅使用B的有25人,其中支付金额大于2
000元的有1人,所以该学生上个月支付金额大于2
000元的概率为.
(3)参考答案1:不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2
000元的人数有变化.
若人数没有变化,则样本中仅使用B的学生有25人,支付金额大于2
000元的有1人,
由(2)知,随机抽取1人,支付金额大于2
000元的概率为,
虽然此事件是小概率事件,但也有发生的可能性.这体现了概率的随机性.
参考答案2:
可以认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2
000元的人数有变化.
若人数没有变化,则样本中仅使用B的学生有25人,支付金额大于2
000元的有1人,
由(2)知,随机抽取1人,支付金额大于2
000元的概率为,
此事件发生的可能性很小,所以认为有变化.
(30分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.“不怕一万,就怕万一”这句民间谚语说明
( )
A.小概率事件虽很少发生,但也可能发生,需提防
B.小概率事件很少发生,不用怕
C.小概率事件就是不可能事件,不会发生
D.大概率事件就是必然事件,一定发生
【解析】选A.这句谚语是提醒人们需提防小概率事件.
2.下列说法正确的是
( )
A.在2003年出生的367人中,没有两人生日为同一天
B.一位同学做抛硬币试验,掷了10次,一定有5次“反面朝上”
C.某地发行福利彩票,其回报率为45%,某人花了100元买该福利彩票,就有45元的回报
D.某运动员投篮命中的概率为70%,但他投篮10次并不一定命中7次
【解析】选D.由367人中至少有2人生日相同可知,A错误;概率一定的事件在具体的试验中具有偶然性,B、C错误.
3.某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a,b),(a,),(a,),(,b),(,),
(a,b),(a,b),(a,),(,b),(a,),(,),(a,b),(a,),(,b),(a,b).其中,a,分别表示甲组研发成功和失败;b,分别表示乙组研发成功和失败.若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,将频率视为概率,试估算恰有一组研发成功的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.在抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果有8个,故在所抽取的样本中恰有一组研发成功的频率为,将频率视为概率,即得恰有一组研发成功的概率约为.
4.下面有三个游戏规则,袋子中分别装有球,从袋中无放回地取球,问其中不公平的游戏是
( )
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和一个白球
一个黑球和一个白球
2个黑球和2个白球
取1个球,再取1个球
取1个球
取1个球,再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
A.游戏1和游戏3
B.游戏1
C.游戏2
D.游戏3
【解析】选D.游戏3中甲胜的概率为,乙胜的概率为,不相等.
5.某医院治疗一种疾病的治愈率为,前4个病人都未治好,则第5个病人的治愈率为
( )
A.1
B.
C.
D.0
【解析】选B.尽管前4个病人都未治好,但这并不意味着第5个病人一定会治愈,所以其治愈率仍为.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.甲、乙两人比赛,规则是从标号为1,2,3,4,5的乒乓球中一次任取两个,求和,若和为奇数,则甲胜,和为偶数则乙胜,你认为这个规则公平吗?________(填“公平”或“不公平”).?
【解析】从5个数中取2个数相加,试验的样本空间W={(1,2),(1,3),(1,4),
(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共有10个样本点,“和为奇数”={(1,2),(1,4),(2,3),(2,5),(3,4),(4,5)},共有6个样本点,即甲获胜的概率为=.
“和为偶数”={(1,3),(1,5),(2,4),(3,5)},共有4个样本点,故乙获胜的概率为=.由于>,所以这种游戏规则不公平.
答案:不公平
7.给出下列四个结论:
①设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品;
②做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面,因此,出现正面的概率是=;
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率;
④抛掷骰子100次,得点数1的结果是18次,则出现1点的频率是.
其中正确结论的个数为________.?
【解析】只有④正确.①中可能有10件是次品,不是一定有;②中概率为;频率与概率既有联系又有区别,不一定相等.
答案:1
8.某校高一(2)班要选出一名同学参加数学竞赛,由于王明、李强、赵军三人成绩均较好且实力相当,老师只好用抽签的方法决定让谁去参赛.刘佳与王明是好朋友,他鼓动王明先抽,说先抽的机会大,则刘佳的想法________.(填“正确”或“不正确”)?
【解析】刘佳的想法是不正确的.抽签不分先后,抽中的概率都相同.我们取三张卡片,分别标上1,2,3,规定抽中1的获胜.设抽签的次序为甲、乙、丙,则抽签的所有情况列表如下:
情况人名
一
二
三
四
五
六
甲
1
1
2
2
3
3
乙
2
3
1
3
1
2
丙
3
2
3
1
2
1
从表中看出,抽签共有六种情况,甲、乙、丙抽中签的可能性相同,所以先抽、后抽机会是均等的.
答案:不正确
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌的产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
【解析】(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,用频率估计概率,所以估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品有75+70=145个,其中甲品牌产品是75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率为=,用频率估计概率,所以估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
10.如图所示,盒中装有3个完全相同的球,分别标着“A”“B”“C”,从盒中随意摸出一球,并自由转动转盘(转盘被分成相等的3个扇形),小刚和小明用它们做游戏,并约定:如果所摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同,则小明获得1分,如果不同,则小刚获得1分.
(1)你认为这个游戏公平吗?为什么?
(2)如果不公平,该如何修改约定才能使游戏对双方公平?
(3)如果他们认为这个约定不公平,但又不想修改约定,于是便商定只用转盘转动两次做这个游戏,你认为这样公平吗?
【解析】游戏是否公平,关键要看试验很多次后,两人平均每次试验的得分是否相等,相等,则公平;不相等,则不公平.
(1)不公平.因为每进行一次游戏,小明获1分的机会是,而小刚获得1分的机会是.
(2)可这样修改约定:如果所摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同,则小明获2分;如果不同,则小刚获1分.
(3)也不公平.因为每转动两次转盘,小明获得1分的机会仍是,而小刚获得1分的机会仍是.
1.某次数学考试中,共有12道选择题,每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的,则随机选择其中一个选项正确的概率是,某家长说:“要是都不会做,每题都随机选择其一个选项,则一定有3题答对.”这句话
( )
A.正确
B.错误
C.不一定
D.无法解释
【解析】选B.把解答一个选择题作为一次试验,答对的概率是,说明做对的可能性大小是.做12道选择题,即进行了12次试验,每个结果都是随机的,并不一定答对3道.也可能都答错,或仅有2道、3道、4道……甚至12道题都答对.
2.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转盘转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【解析】(1)可以选择B,猜“不是4的整数倍数”或选择C,猜“是大于4的数”.“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是大于4的数”的概率为=0.6,它们都超过了0.5.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,也可以保证游戏的公平性.(答案不唯一)
PAGE课时素养评价十九 古典概型的特征和概率计算公式
(20分钟·35分)
1.下列是古典概型的是
( )
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件
C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
【解析】选C.A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的基本事件是无限的,故B不是;C项中满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性,故D不是.
2.某部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.所有基本事件为:123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件,所以P==.
3.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.依题意,记两次抽得卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a>b的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),
(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率为=.
4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是________.?
【解析】由题意得,a,b有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9),(8,9),(3,2),(8,2),(9,2),(8,3),(9,3),
(9,8),共12种取法.若满足logab为整数,则仅有a=2,b=8和a=3,b=9两种情况,
所以logab为整数的概率为=.
答案:
5.下列随机事件:
①某射手射击一次,可能命中0环,1环,2环,…,10环;
②一个小组有男生5人,女生3人,从中任选1人进行活动汇报;
③一只使用中的灯泡寿命长短;
④抛出一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面的情况;
⑤中秋节前夕,某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量,给该品牌月饼评“优”或“差”.
这些事件中,属于古典概型的有________.?
【解析】
题号
判断
原因分析
①
不属于
命中0环,1环,2环,…,10环的概率不一定相同
②
属于
任选1人与学生的性别无关,仍是等可能的
③
不属于
灯泡的寿命是任何一个非负实数,有无限多种可能
④
属于
该试验结果只有“正”“反”两种,且机会均等
⑤
不属于
该品牌月饼评“优”与“差”的概率不一定相同
答案:②④
6.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖(所有的球除颜色外都相同).
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;
(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.
【解析】(1)所有可能的摸出结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),
(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).
(2)不正确.理由如下:
由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为=,不中奖的概率为1-=>.故这种说法不正确.
(30分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球,现有放回地摸球,规定每次只能摸一个球,若第一次摸到的球的编号为x,第二次摸到的球的编号为y,构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题意可知两次摸球得到的所有数对(x,y)有:(1,1),(1,2),
(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4),共16个,其中满足xy=4的数对有(1,4),(2,2),(4,1),共3个.故所求事件的概率为.
2.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”,从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,出现的情况有:(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土)共10种等可能情况,其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也是5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为.
3.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.袋中的1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a,b1,b2,c1,c2,c3.
从袋中任取两球有{a,b1},{a,b2},{a,c1},{a,c2},{a,c3},{b1,b2},{b1,c1},
{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},{b2,c3},{c1,c2},{c1,c3},{c2,c3},共15个基本事件.
其中满足两球颜色为一白一黑的有{b1,c1},{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},
{b2,c3},共6个基本事件.
所以所求事件的概率为=.
4.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|≤1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),
(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为=.
5.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,从中任取2瓶,取到的全是已过保质期的饮料的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设过保质期的2瓶记为a,b,没过保质期的3瓶用1,2,3表示,试验的结果为:
(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共10种结果,2瓶都过保质期的结果只有1个,所以P=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率为________.?
【解析】基本事件为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6个,其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙,共2个,所以甲站在中间的概率为=.
答案:
7.某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车的概率为________.?
【解析】共有6种发车顺序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车),所以他乘上上等车的概率P==.
答案:
8.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.?
【解析】2本不同的数学书用a1,a2表示,语文书用b表示,则共有(a1,a2,b),
(a1,b,a2),(a2,a1,b),(a2,b,a1),(b,a1,a2),(b,a2,a1)6种不同的排法.其中两本数学书相邻的情况有4种,故所求概率P==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.甲、乙两人参加法律知识竞答,共有10道不同的题目,其中选择题6道,判断题4道,甲、乙两人依次各抽一道题.
(1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少?
【解析】甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题,先抽的有10种抽法,后抽的有9种抽法,故所有可能的抽法是10×9=90种,即基本事件总数是90.
(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,下面求事件A包含的基本事件数:
甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到判断题有4种抽法,所以事件A的基本事件数为6×4=24.P(A)==.
(2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”,即都抽到判断题.
记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,“至少一个人抽到选择题”为事件C,则B包含的基本事件数为4×3=12.所以由古典概型概率公式得P(B)==,所以P(C)=1-P(B)=1-=.
10.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
【解析】用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),
(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B,“3
事件C包含的基本事件数共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=.因为>,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
1.连续抛掷质地均匀的骰子两次,得到的点数分别记为a和b,则使直线3x-4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=4相切的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.连续抛掷质地均匀的骰子两次的所有试验结果有36种,要使直线3x-4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=4相切,则应满足=2,即满足|3a-4b|=10,符合题意的(a,b)有(6,2),(2,4),一共2个.所以由古典概型得所求概率为=.
2.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数则甲赢,否则乙赢.
(1)若以A表示事件“和为6”,求P(A);
(2)若以B表示事件“和大于4而小于9”,求P(B);
(3)这种游戏公平吗?试说明理由.
【解析】将所有可能情况列表如下:
甲乙
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
由上表可知,该试验共包括25个等可能发生的基本事件,属于古典概型.
(1)“和为6”的结果有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种结果,故所求的概率为=.
(2)“和大于4而小于9”包含了(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),
(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),共16个基本事件,所以P(B)=.
(3)这种游戏不公平.因为“和为偶数”包括13个基本事件,即甲赢的概率为,乙赢的概率为=,所以不公平.
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二十 建立概率模型
(20分钟·35分)
1.从甲、乙、丙三人中任选2名代表,甲被选中的概率为
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选C.本题为古典概型.从甲、乙、丙三人中任选两人,共有3种选法(甲乙、甲丙、乙丙),其中甲被选中的有两种选法,所以甲被选中的概率为.
2.若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.任意抽取一本得到任何一本书的可能性是相同的,故为古典概型,其中总基本事件数n=10,事件A“抽得物理书”包含的基本事件数m=3,所以依据古典概型概率的计算公式得P(A)==.
3.(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是
( )
A. B. C. D.
【解析】选D.两位男同学和两位女同学随机排成一列,共有24种不同的排法;其中两位女同学相邻的排法有12种,
所以两位女同学相邻的概率P==.
4.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设Ω={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的基本事件总数n=15,事件“b>a”为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的基本事件数m=3.其概率P==.
5.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________.?
【解析】所有的基本事件有(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,红),(白,白),(白,蓝),(蓝,红),(蓝,白),(蓝,蓝),共9种,其中颜色相同的有(红,红),(白,白),
(蓝,蓝),共3种,故所求的概率为=.
答案:
6.不透明袋子中装有编号为A1,A2,A3的3个黑球和编号为B1,B2的2个红球,所有球除颜色和编号以外均相同,从中任意摸出2个球.
(1)写出所有不同的结果;
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;
(3)求至少摸出1个红球的概率.
【解析】(1)从5个球中任意摸出2个球,有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,
A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10种情况.
(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A,则
事件A包含的基本事件为A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共6个基本事件.
所以P(A)==0.6.
(3)记“至少摸出1个红球”为事件B,则事件B包含的基本事件为A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共7个基本事件,所以P(B)==0.7.
(30分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课,则体育课不排在第一节的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.我们不考虑语文、数学、历史排在第几节,只考虑体育的排法,体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节,共4个基本事件,因此体育课不排在第一节的概率为.
2.从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.从集合A,B中分别选取一个数记为(k,b),则共有9个基本事件,设直线y=kx+b不经过第三象限为事件M,则k<0,b≥0,从而M包含的基本事件是(-1,1),(-1,2),共有2个基本事件,则P(M)=.
3.某同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,则在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x-y=1上的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.先后投掷一枚骰子两次,所有可能的结果有36种,其中以(x,y)为坐标的点落在直线2x-y=1上的结果有(1,1),(2,3),(3,5),共3种,所以所求概率P==.
【补偿训练】
小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.从M,I,N中取一个字母,从1,2,3,4,5中取一个数字,共有如下结果:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),
(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种,其中能打开计算机的只有一种,故成功开机的概率为.
4.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典长篇小说四大名著.若在这四大名著中,任取2部进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.建立古典概型.将四大名著分别编号为1,2,3,a,任取2部进行阅读,记“取到《红楼梦》”为事件A,则所有基本事件(无序)有:12,13,1a,
23,2a,3a,共6个,事件A含有1a,2a,3a,共3个,所以所求的概率P(A)=.
【补偿训练】
(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫)共10种取法,取出的2支彩笔中含有红色彩笔的有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫)共4种取法.因此所求概率为=.
5.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线),其包括10个基本事件,所以所求概率等于=.
【补偿训练】
在5张卡片上分别写1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是
( )
A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8
【解析】选C.一个数能否被2或5整除取决于个位数字,故可只考虑个位数字的情况.因为组成的五位数中,个位数共有1,2,3,4,5五种情况,其中个位数为2或4时能被2整除,个位数为5时能被5整除.故所求概率为P==0.6.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设集合P={-2,-1,0,1,2},x∈P且y∈P,则点(x,y)在圆x2+y2=4内部的概率为________.?
【解析】以(x,y)为基本事件,可知满足x∈P且y∈P的基本事件有25个,且每个基本事件发生的可能性都相等.点(x,y)在圆x2+y2=4内部,则x,y∈{-1,1,0},可知满足x∈{-1,1,0}且y∈{-1,1,0}的基本事件有9个.所以点(x,y)在圆x2+y2=4内部的概率为.
答案:
7.现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品.
(1)如果从中取出一件,然后放回,再任取一件,则连续2次取出的都是正品的概率为________;?
(2)如果从中一次取2件,则2件都是正品的概率为________.?
【解析】(1)由题意知,基本事件数n=10×10=100,连续2次抽取都是正品包含基本事件数为m=8×8=64,故所求的概率P==0.64.
(2)因为是不放回抽取,故所求的概率为P==.
答案:(1)0.64 (2)
8.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________.?
【解析】从题图中的数据知甲的平均成绩为=90.
若甲、乙两人平均成绩相等,则有90×5-(83+83+87+99)=98.
若甲的平均成绩超过乙的平均成绩,则被污损的数字可为0,1,…,7,共8种情况,故其概率P==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设甲、乙、丙3个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这3个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这3个协会中分别抽取的运动员的人数;
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①用所给编号列出所有可能的结果;
②设事件A为“编号为A5和A6的2名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
【解析】(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为(A1,A2),
(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),
(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种.
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共9种.
因此,事件A发生的概率P(A)==.
10.某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.先从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x,y,z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x,y,z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
【解析】(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},
{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},
{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种.
②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.所以P(B)==.
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正十边形A1A2A3…A10的中心,A1在x轴正半轴上,任取不同的两点Ai,Aj(其中1≤i,j≤10,且i∈N,j∈N),点P满足2++=0,则点P落在第二象限的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.在正十边形A1A2A3…A10的十个顶点中任取两个,不同的取法有45种,满足2++=0,且点P落在第二象限的不同取法有(A1,A7),(A1,A8),
(A1,A9),(A1,A10),(A2,A8),(A2,A9),(A8,A10),(A9,A10),共8种,所以点P落在第二象限的概率为.
2.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量(单位:辆)如表:
A类轿车
B类轿车
C类轿车
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值;
(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个样本,从中任取一个数xi(1≤i≤8,i∈N),设样本平均数为,求|xi-|≤0.5的概率.
【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,由题意得=,所以n=2
000,则z=2
000-(100+300)-(150+450)-600=400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,由题意得=,得a=2,所以抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.
用A1,A2分别表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3分别表示3辆标准型轿车,
用E表示事件“在该样本中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车”.从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),
(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个,
其中事件E包含的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),
(A2,B2),(A2,B3),共7个.
故P(E)=,即所求的概率为.
(3)样本平均数=×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8,i∈N),|xi-|≤0.5”,则从样本中任取一个数有8个基本事件,事件D包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个.
所以P(D)==,即所求的概率为.
PAGE课时素养评价
二十一 互
斥
事
件
(20分钟·35分)
1.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数,分别有下列事件:
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
其中,为互斥事件的是
( )
A.①
B.②④
C.③
D.①③
【解析】选C.由互斥事件的定义知,只有③的两个事件不会同时发生.
2.某城市2019年的空气质量状况如表所示:
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.根据题意,空气质量达到良或优的概率为++=.
3.把红、黑、黄、白4球随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1个球,事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是
( )
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.以上答案都不对
【解析】选C.因为两个事件不能同时发生,但可能同时不发生,所以是互斥事件,不是对立事件.
4.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则
( )
A.A?B
B.A?B
C.A与B互斥
D.A与B对立
【解析】选C.显然事件A与B不能同时发生,但又不一定非要发生一个,有可能都不发生,故A与B互斥,不是对立事件.
5.从一批羽毛球产品中任取一个,如果其质量小于4.8
g的概率是0.3,质量不小于4.85
g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)
g范围内的概率是______.?
【解析】设事件A=“质量小于4.8
g的羽毛球”,B=“质量在[4.8,4.85)
g范围内的羽毛球”,C=“质量不小于4.85
g的羽毛球”.则A,B,C互斥,且A+B+C=Ω,所以P(Ω)=P(A+B+C),即1=0.3+P(B)+0.32,所以P(B)=0.38.
答案:0.38
6.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占的比例%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以互相输血,O型血可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血,李明是B型血,若他因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给李明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给李明的概率是多少?
【解析】对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,
P(D′)=0.35.
(1)因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件B′+
D′,根据概率的加法公式,得P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事件A′+C′,且P(A′+
C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.
(30分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”,事件D为“落地时向上的点数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是
( )
A.A与B
B.B与C
C.A与D
D.B与D
【解析】选C.A与D互斥,但不对立.
2.围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,从中取出2粒都是白子的概率是.那么,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选C.“2粒恰好是同一色”包含两个互斥事件:“2粒都是黑子”和“2粒都是白子”,所以所求概率P=+=.
3.据某医疗机构调查,某地区居民血型分布为:O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%.现有一血型为A的病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率约为
( )
A.65%
B.45%
C.20%
D.15%
【解析】选A.A型或者O型可为A型病人输血,所以所求概率约为50%+15%=65%.
4.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是
( )
A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件
B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件
C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件
D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件
【解析】选D.由于A,B,C,D彼此互斥,且A+B+C+D是一个必然事件,故其事件的关系可由图表示.由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.
5.从1,2,3,…,9这九个数字中,随机抽取一个数,则这个数是3的倍数或5的倍数的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.取到的数是3的倍数的概率P1==,取到的数是5的倍数的概率为P2=,所以取到的数是3的倍数或5的倍数的概率P=P1+P2=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.从一篮子鸡蛋中任取一个,其质量小于30克的概率为0.3,质量在[30,40](克)的概率为0.4,则其质量大于40克的概率为________.?
【解析】其质量大于40克的概率P=1-0.3-0.4=0.3.
答案:0.3
7.某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________.?
【解析】该射手在一次射击中不超过8环的概率为P=1-0.2-0.3=0.5.
答案:0.5
8.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为________.?
【解析】所求概率P=1-0.45-0.23=0.32.
答案:0.32
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.袋中装有大小和质地相同的红球、白球、黑球若干个,它们的数量比依次是2∶1∶1,现用分层抽样的方法从中抽取一个样本,抽出的红球和黑球一共有6个.
(1)求样本中红球、白球、黑球的个数;
(2)若从样本中任取2个球,求下列事件的概率:
①含有红球;
②恰有1个黑球.
【解析】(1)因为红球和黑球在总数中所占比例为=,样本中所有球的总数N==8.
所以红球的个数为×8=4,白球的个数为×8=2,黑球的个数为×8=2.
(2)记“2个球1红1白”为事件A,“2个球1红1黑”为事件B,“2个球都是红球”为事件C,“2个球1白1黑”为事件D.
则A中的基本事件个数为8,B中的基本事件个数为8,C中的基本事件个数为6,D中的基本事件个数为4,全部基本事件的总数为28.
①方法一:含有红球的概率P1=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
方法二:“2个都是白球”“2个都是黑球”的基本事件个数都为1,含有红球的概率P1=1-=.
②恰有1个黑球的概率P2=P(B)+P(D)=+=.
10.据统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
5人或更多
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求:(1)至多有两人排队等候的概率;
(2)至少有三人排队等候的概率;
(3)至少有两人排队等候的概率.
【解析】记“在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人或更多”的事件分别为A,B,C,D,E,F.则A,B,C,D,E,F彼此互斥.
(1)至多有两人排队等候的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一:至少有三人排队等候的概率为
P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二:因为至少三人排队等候与至多两人排队等候是对立事件,故由对立事件的概率公式,至少三人排队等候的概率是
P(D+E+F)=1-P(A+B+C)=1-0.56=0.44.
(3)方法一:至少有两人排队等候的概率为P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)
=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.
方法二:至少有两人排队与少于两人排队等候是对立事件,所以所求概率为1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.1+0.16)=0.74.
1.某商店月收入(单位:元)在下列范围内的概率如表所示:
月收入
[1
000,1
500)
[1
500,2
000)
[2
000,2
500)
[2
500,3
000)
概率
0.12
a
b
0.14
已知月收入在[1
000,3
000)内的概率为0.67,则月收入在[1
500,3
000)内的概率为______.?
【解析】令A表示月收入在[1
000,1
500),B表示月收入在[1
500,2
000),C表示月收入在[2
000,2
500),D表示月收入在[2
500,3
000),因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.
答案:0.55
2.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;
(2)求他不乘轮船去的概率;
(3)如果他乘A或B去开会的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?
【解析】记“他乘火车去”为事件A1,“他乘轮船去”为事件A2,“他乘汽车去”为事件A3,“他乘飞机去”为事件A4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥.
(1)P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P,
则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8.
(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,
1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.4+0.1)=0.5,
故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.
【补偿训练】
如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
【解析】(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,
故由调查结果得频率为
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,因为P(A1)>P(A2),所以甲应选择L1.
同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,因为P(B1)PAGE课时素养评价
二十二 互斥事件习题课
(20分钟·35分)
1.事件A与B是对立事件,且P(A)=0.6,则P(B)等于
( )
A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.1
【解析】选A.P(B)=1-P(A)=1-0.6=0.4.
2.小明说:“本周我至少做完三套练习题.”设小明所说的事件为A,则A的对立事件为
( )
A.至多做完三套练习题
B.至多做完二套练习题
C.至多做完四套练习题
D.至少做完三套练习题
【解析】选B.至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题,故它的对立事件为做完0,1,2套练习题,即至多做完2套练习题.
3.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.设“恰有一名女生当选”为事件A,“恰有两名女生当选”为事件B,显然A,B为互斥事件,从10名同学中任选2人共有10×9÷2=45种选法(即45个基本事件),而事件A包括21个基本事件,事件B包括3×2÷2=3个基本事件,故所求概率P=P(A)+P(B)=+=.
4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.记3个红球分别为a1,a2,a3,2个白球分别为b1,b2.从3个红球、2个白球中任取3个,所包含的基本事件有(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),
(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10个.由于每个基本事件发生的机会相等,因此这些基本事件的发生是等可能的.
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”,则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”,则事件包含的基本事件有1个:(a1,a2,a3),所以P()=.
故P(A)=1-P()=1-=.
5.有一种电子产品,它可以正常使用的概率为0.992,则它不能正常使用的概率是________.?
【解析】设电子产品可以正常使用为事件A,其对立事件为电子产品不能正常使用,
P()=1-P(A)=1-0.992=0.008.
答案:0.008
6.某次知识竞赛规则如下:主办方预设3个问题,选手若能正确回答出这3个问题,即可晋级下一轮.假设某选手回答正确的个数为0,1,2的概率分别是0.1,0.2,0.3,求该选手晋级下一轮的概率.
【解析】记“答对0个问题”为事件A,“答对1个问题”为事件B,“答对2个问题”为事件C,这3个事件彼此互斥,“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D,则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件.显然P()=P(A+B+C)=P(A)+
P(B)+P(C)=0.1+0.2+0.3=0.6,故P(D)=1-P()=1-0.6=0.4.
故事件“晋级下一轮”的概率为0.4.
(30分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某产品的设计长度为20
cm,规定误差不超过0.5
cm为合格品,今对一批产品进行测量,测得结果如表:
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意得所求概率P==.
2.一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和小于15的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.从中有放回地取2次,所取号码共有8×8=64种,其中和不小于15的有3种,分别是(7,8),(8,7),(8,8),故所求概率P=1-=.
3.若P(X≤n)=1-a,P(X≥m)=1-b,其中m( )
A.(1-a)(1-b)
B.1-a(1-b)
C.1-(a+b)
D.1-b(1-a)
【解析】选C.P(m≤X≤n)=P(X≤n)+P(X≥m)-1
=(1-a)+(1-b)-1=1-(a+b).
4.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为
( )
A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8
【解析】选C.由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8,①
P(A)=3P(B),②
解①②组成的方程组知P(A)=0.6.
5.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台,其中甲型彩电至多一台的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.从5台彩电中任取2台,都是甲型彩电的概率P1=,所以甲型彩电至多一台的概率P=1-=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为________.?
【解析】记事件A:甲或乙被录用.从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙,丙)、(甲,乙,丁)、(甲,乙,戊)、(甲,丙,丁)、(甲,丙,戊)、(甲,丁,戊)、(乙,丙,丁)、(乙,丙,戊)、(乙,丁,戊)、(丙,丁,戊),共10种可能,而A的对立事件仅有(丙,丁,戊)一种可能,所以A的对立事件的概率P()=,所以P(A)=1-P()=.
答案:
7.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率,则当天商店不进货的概率为________.?
【解析】商店不进货即日销售量少于2件,显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生,彼此互斥.
记“当天商品销售量为0件”为事件A,“当天商品销售量为1件”为事件B,“当天商店不进货”为事件C,则P(C)=P(A)+P(B)=+=.
答案:
8.已知集合A={1,2,3,4,5},x,y∈A,x≠y.记“实数x,y满足不等式x2+y2>10”为事件B,则事件B发生的概率P(B)=________.?
【解析】从集合A中任取两个数,则共有10个结果,事件B的对立事件为x2+y2≤10,而满足x2+y2≤10的只有1和2,1和3,故P()==,
所以P(B)=1-P()=1-=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只(球除颜色外其余均相同),从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:
(1)“3只球颜色全相同”的概率;
(2)“3只球颜色不全相同”的概率.
【解析】(1)“3只球颜色全相同”包括“3只球全是红球”(事件A),“3只球全是黄球”(事件B),“3只球全是白球”(事件C),
且它们彼此互斥,故“3只球颜色全相同”这个事件可记为A+B+C,又P(A)=
P(B)=P(C)=,
故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=
.
(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D,则事件为“3只球颜色全相同”,
又P()=P(A+B+C)=,
所以P(D)=1-P()=1-=,
故“3只球颜色不全相同”的概率为.
10.甲工作室有1名高级工程师和3名普通工程师,乙工作室有2名高级工程师和3名普通工程师,现在要从甲工作室中选出2人,从乙工作室中选出1人支援外地建设.
(1)求选出的3人均是普通工程师的概率;
(2)求选出的3人中至少有1名高级工程师的概率.
【解析】记甲工作室的4人分别为甲g,甲1,甲2,甲3,乙工作室的5人分别为乙,乙,乙1,乙2,乙3.
从甲工作室选取2人的不同结果为(甲g,甲1),(甲g,甲2),(甲g,甲3),
(甲1,甲2),(甲1,甲3),(甲2,甲3),共有6种选法.
从乙工作室中选取1人有5种选法,故从甲工作室中选出2人,从乙工作室中选出1人的所有基本事件为(甲g,甲1,乙),(甲g,甲1,乙),(甲g,甲1,乙1),
(甲g,甲1,乙2),(甲g,甲1,乙3),…,共有30种.
(1)选出的3人均是普通工程师,则从甲工作室中选出的2人都是普通工程师,有(甲1,甲2),(甲1,甲3),(甲2,甲3),共3种情况,从乙工作室中选1名普通工程师的不同结果为乙1,乙2,乙3,共有3种选法,故“选出的3人均是普通工程师”的不同结果为(甲1,甲2,乙1),(甲1,甲2,乙2),(甲1,甲2,乙3),(甲1,甲3,乙1),(甲1,甲3,乙2),(甲1,甲3,乙3),(甲2,甲3,乙1),(甲2,甲3,乙2),(甲2,甲3,乙3),共有9种选法,记“选出的3人均是普通工程师”为事件A,则P(A)==.
(2)记“选出的3人中至少有1名高级工程师”为事件B,则事件A,B对立,故P(B)=1-P(A)=.
1.四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的一枚硬币,所有人同时抛出自己的硬币.若落在圆桌上时硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.抛四枚硬币,总的结果有16种,“没有相邻的两个人站起来”记为事件A,可分为三类:一是没有人站起来,只有1种结果;二是有1人站起来,有4种结果;三是有2人站起来,可以是AC或BD,有2种结果.所以满足题意的结果共有1+4+2=7种结果,P(A)=.
2.“顶香居”食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级,等级系数X依次为A,B,C,D,E.现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:
X
A
B
C
D
E
频率
0.1
0.2
0.45
0.15
0.1
从等级系数为A,D,E的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同).
(1)求取出的两件样品是等级系数为A与D的概率;
(2)求取出的两件样品是不同等级的概率.
【解析】(1)A级所取的样品数为20×0.1=2,D级所取的样品数为20×0.15=3,E级所取的样品数为20×0.1=2.
将等级系数为A的2件样品分别记为a1,a2;等级系数为D的3件样品分别记为x1,x2,x3;等级系数为E的2件样品分别记为y1,y2.现从a1,a2,x1,x2,x3,y1,y2这7件样品中一次性任取两件,共有21种不同的结果,分别为{a1,a2},{a1,x1},
{a1,x2},{a1,x3},{a1,y1},{a1,y2},{a2,x1},{a2,x2},{a2,x3},{a2,y1},{a2,y2},
{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},
{y1,y2}.
记事件M为“取出的两件样品是等级系数为A与D”,则事件M所包含的基本事件有6种,分别为{a1,x1},{a1,x2},{a1,x3},{a2,x1},{a2,x2},{a2,x3}.所以事件M的概率P(M)==.
(2)记事件L为“取出的两件样品是不同等级”,则事件为“取出的两件样品是同等级”,所以事件所含的基本事件有5种,分别为{a1,a2},{x1,x2},{x1,x3},
{x2,x3},{y1,y2},所以事件的概率P()=,所以P(L)=1-P()=1-=,即取出的两件样品是不同等级的概率为.
PAGE课时素养评价二十三 模拟方法——概率的应用
(20分钟·35分)
1.下列关于几何概型的说法中,错误的是
( )
A.几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
【解析】选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型.
2.已知函数f(x)=log2x,x∈,在区间上任取一点x0,则使f(x0)≥0的概率为
( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选C.欲使f(x)=log2x≥0,
则x≥1,而x∈,所以x0∈[1,2],
从而由几何概型概率公式知所求概率P==.
3.如图,A是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.当AA′的长度等于半径长度时,
∠AOA′=,由圆的对称性及几何概型得P==.
4.如图,在边长为2的正方形中,随机撒1
000粒豆子,若按π≈3计算,估计落到阴影部分的豆子数为
( )
A.125
B.150
C.175
D.200
【解析】选A.由题意知圆的半径为1,则圆的面积近似为3,又正方形面积为4,则阴影部分面积为×(4-3)=.设落到阴影部分的豆子数为n,则=,
n=125.
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD
-A1B1C1D1内任取点M,点M在球O内的概率是________.?
【解析】设正方体的棱长为2.
正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O的半径是其棱长的一半,其体积为V1=π×13=.
则点M在球O内的概率是=.
答案:
6.如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122
cm,靶心直径为12.2
cm.运动员在70
m外射箭.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?
【解析】记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为×π×1222
cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为×π×12.22
cm2的黄心时,事件B发生,于是事件B发生的概率为P(B)==0.01.
即“射中黄心”的概率是0.01.
(30分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
( )
A.0.35
B.0.25
C.0.20
D.0.15
【解析】选B.易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,
812,393,所以所求概率P==0.25.
2.已知集合A={x|-1( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.A∩B={x|23.如图,在△AOB中,已知∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,则△AOC为钝角三角形的概率为
( )
A.0.6
B.0.4
C.0.2
D.0.1
【解题指南】试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况,第一种∠ACO为钝角,第二种∠OAC为钝角,根据等可能事件的概率得到结果.
【解析】选B.试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况:
第一种∠ACO为钝角,这种情况的边界是∠ACO=90°的时候,此时OC=1,所以这种情况下,满足要求的是0第二种∠OAC为钝角,这种情况的边界是∠OAC=90°的时候,此时OC=4,所以这种情况下,满足要求的是4综合两种情况,若△AOC为钝角三角形,则04.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一棵类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由题意知BC=2,B′C=5,设AC=x,则AB=AB′=x+2,在Rt△ACB′中,由勾股定理得52+x2=(x+2)2,解得x=,所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率P===.
5.勒洛三角形是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的.其画法是:先画一个正三角形,再以正三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形,如图中实线所示.现要在勒洛三角形中随机取一点,则此点在正三角形ABC内的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】首先明确所求概率类型为一个与面积相关的几何概型,然后明确勒洛三角形的定义:三段圆弧围成的曲边三角形,勒洛三角形的面积需要借助扇形面积与三角形面积求解,最后求出正三角形ABC的面积,代入几何概型的概率计算公式求解即可.
【解析】选B.不妨设BC=2,则以B为圆心的扇形ABC的面积S扇形ABC==,
S△ABC=×2×2×=.由题图可知,勒洛三角形的面积为3个扇形ABC的面积减去2个正三角形ABC的面积,即×3-2=2π-2,所以在勒洛三角形中随机取一点,此点在正三角形ABC内的概率是=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧,在∠DAB内任作射线AP,点P在圆弧上,则射线AP与线段BC有公共点的概率为______.?
【解析】因为在∠DAB内任作射线AP,所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,则区域为∠CAB,所以射线AP与线段BC有公共点的概率为==.
答案:
7.如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=的图像上.若在矩形ABCD内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率等于________.?
【解析】由已知得B(1,0),C(1,2),D(-2,2),F(0,1),则矩形ABCD的面积为3×2=6,阴影部分的面积为×3×1=,故该点取自阴影部分的概率等于=.
答案:
8.已知直线y=x+b的横截距在[-2,3]内,则直线在y轴上的截距b大于1的概率是________.?
【解析】所有的基本事件构成的区间长度为3-(-2)=5,因为直线在y轴上的截距b大于1,
所以直线横截距小于-1,
所以“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为-1-(-2)=1,由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为P=.
答案:
【补偿训练】
在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率为________.?
【解析】如图,区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此
P==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离;
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率.
【解析】(1)由点到直线l的距离公式可得d==5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5,要使圆上的点到直线的距离小于2,设与圆相交且与直线l平行且相距2的直线为l1,其方程为4x+3y=15.则符合题意的点应在l1:4x+3y=15与圆相交所得劣弧上,由半径为2,圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.
故所求概率为P==.
10.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
【解析】设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”,
当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为Δ=4a2-4b2≥0,即a≥b.
(1)基本事件共有12个:
(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),
(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率P(A)==.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.如图,
所以所求概率P(A)==.
1.(2020·惠州高一检测)关于圆周率π,数学发展史上出现过许多有创意的求法,如著名的蒲丰试验.受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对(x,y),再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m,最后根据统计个数m估计π的值.如果统计结果是m=34,那么可以估计π的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意,120对正实数对(x,y)中的x,y满足该不等式组表示的平面区域的面积为1.要使正实数对(x,y)中的x,y能与1构成钝角三角形的三边,则x,y需满足该不等式组表示的平面区域的面积为-,
则-≈,π≈.
2.对某人某两项指标进行考核,每项指标满分100分,设此人每项得分在[0,100]上是等可能出现的.单项80分以上,且总分170分以上才合格,求他合格的概率.
【解析】设某人两项的分数分别为x分、y分,
则0≤x≤100,0≤y≤100,某人合格的条件是8080170,
在同一平面直角坐标系中,作出上述区域(如图阴影部分所示).
由图可知:0≤x≤100,0≤y≤100构成的区域面积为100×100=10
000,
合格条件构成的区域面积为
S五边形BCDEF=S矩形ABCD-S△AEF=400-×10×10=350,
所以所求概率为P==,
该人合格的概率为.
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